Суммы случайных величин

Пусть $X$ и $Y$ — независимые величины, причём $X$ с равной вероятностью принимает любое значение из $\left\{ 0,1, \ldots , m\right\}$, а $Y$ аналогично из $\left\{ 0,1, \ldots , n\right\}$. Найдите функцию вероятностей $Z = X+Y$. Говорят, что случайная величина $Z$ имеет трапецеидальное распределение.

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную функцию вероятностей

Найдите функции вероятностей $U = X+Y$ и $V = X-Y$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые геометрические случайные величины с параметрами $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Покажите, что

Пусть $\left\{ X_{r}: 1 \leq r \leq n\right\}$ — независимые геометрические случайные величины с параметром $p$. Покажите, что $Z = \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$ имеет отрицательное биномиальное распределение.

Сэм бросает $6 n$ костей один раз; ему нужно как минимум $n$ шестёрок. Айзек бросает $6(n+1)$ костей; ему нужно как минимум $n+1$ шестёрок. У кого больше шансов получить требуемое число шестёрок?

Пусть $N$ имеет пуассоновское распределение с параметром $\lambda$. Покажите, что для любой функции $g$, для которой существуют математические ожидания, $\mathbb {E}\left[N g(N\right]) = \lambda \mathbb {E}\left[g(N+1)\right]$. В более общем случае, если $S = \sum_{r = 1}^{N} X_{r}$, где $\left\{ X_{r}: r \geq 0\right\}$ — независимые одинаково распределённые неотрицательные целочисленные случайные величины, покажите, что

Пусть $S = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}$, где $X_{i}, i \geq 1$, — независимые, одинаково распределённые случайные величины со средним $\mu$ и дисперсией $\sigma^{2}$, а $N$ — положительная, целочисленная случайная величина, независимая от $X_{i}$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[S\right] = \mu \mathbb {E}\left[N\right]$, и

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с геометрическими распределениями $f_{X}(k) = p q^{k-1}$, $f_{Y}(k) = \lambda \mu^{k-1}$, при $k \geq 1$, где $p+q = \lambda +\mu = 1$ и $q \neq \mu$. Запишите $\mathbb {P}\left(X+Y = n+1, X = k\right)$, и, исходя из этого, найдите распределение $X+Y$ и условное распределение $X$ при условии $X+Y = n+1$. Происходит ли что-то особенное при $q = \mu$?