Распределения, возникающие из нормального распределения

Пусть $X_{1}$ и $X_{2}$ — независимые случайные величины с распределениями $\chi^{2}(m)$ и $\chi^{2}(n)$ соответственно. Покажите, что $X_{1}+X_{2}$ имеет распределение $\chi^{2}(m+n)$.

Покажите, что математическое ожидание распределения $t(r)$ равно $0$, а математическое ожидание распределения $F(r, s)$ равно $s /(s-2)$, если $s > 2$. Что происходит, если $s \leq 2$?

Покажите, что распределение $t(1)$ и распределение Коши совпадают.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с экспоненциальным распределением с параметром 1. Покажите, что $X / Y$ имеет распределение $F$. Какое именно?

Покажите независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии для независимой выборки из распределения $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$. Это можно сделать, используя (i) результат Упражнения (4.5.7), (ii) индукцию по $n$, либо оба способа.

Пусть $\left\{ X_{r}: 1 \leq r \leq n\right\}$ — независимые случайные величины $N(0,1)$. Пусть $\Psi \in [0, \pi ]$ — угол между вектором $\left(X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}\right)$ и некоторым фиксированным вектором в $\mathbb {R}^{n}$. Покажите, что $\Psi$ имеет плотность распределения $f(\psi ) = (\sin \psi )^{n-2} / B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} n-\frac{1}{2}\right), 0 \leq \psi < \pi$, где $B$ — бета-функция.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые случайные величины $N(0,1)$, и пусть $V_{n} \geq 0$ задаётся как $V_{n}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}$. Покажите, что случайный вектор $Y = \left(X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}\right) / V_{n}$ равномерно распределён на единичной сфере. Выведите отсюда результат Упражнения (4.10.6).