Выборка из распределения

Если $U$ равномерно распределена на $[0,1]$, каково распределение $X = \lfloor n U\rfloor +1$?

Дана последовательность $S_{0}$ первых $n$ целых чисел в произвольном порядке. Поступайте следующим образом:

(a) выберите случайно любую позицию $P_{0}$ из $\left\{ 1,2, \ldots , n\right\}$ и поменяйте местами число в этой позиции $S_{0}$ с числом на $n$-м месте $S_{0}$, получив $S_{1}$.

(b) выберите случайно любую позицию $P_{1}$ из $\left\{ 1,2, \ldots , n-1\right\}$ и поменяйте местами число в этой позиции $S_{1}$ с числом на $(n-1)$-м месте $S_{1}$, получив $S_{2}$,

(c) на $(r-1)$-м шаге число в позиции $P_{r-1}$, выбранной случайно из $\left\{ 1,2, \ldots , n-r+1\right\}$, меняется местами с числом на $(n-r+1)$-м месте последовательности $S_{r-1}$. Покажите, что $S_{n-1}$ равновероятно может быть любой из $n$ ! перестановок $\left\{ 1,2, \ldots , n\right\}$.

Используйте метод отбраковки для моделирования выборки из гамма-плотности $\Gamma (\lambda , t)$, где $t( \geq 1)$ не обязательно целое. [Указание: возможно, стоит начать с экспоненциальной случайной величины с параметром $1 / t$.]

Покажите, как получить выборку из бета-плотности $\beta (\alpha , \beta )$, где $\alpha , \beta \geq 1$. [Указание: используйте Упражнение (4.11.3).]

Опишите три различных метода получения выборки из плотности распределения $f(x) = 6 x(1-x), 0 \leq x \leq 1$.

Конечный вещественный вектор называется вероятностным вектором, если все его элементы неотрицательны и в сумме дают 1. Покажите, что вероятностный вектор $\mathbf{p}$ длины $n$ может быть записан в виде

где каждый $\mathbf{v}_{r}$ — вероятностный вектор, имеющий не более двух ненулевых элементов. Опишите метод, основанный на этом наблюдении, для генерации выборки из $\mathbf{p}$, рассматриваемого как функция вероятности.

Пусть $U_{1}$ и $U_{2}$ независимы и равномерно распределены на $[0,1]$, и пусть $T_{i} = 2 U_{i}-1$. Покажите, что при условии события $R = \sqrt{T_{1}^{2}+T_{2}^{2}} \leq 1$,

являются независимыми стандартными нормальными случайными величинами.

Пусть $U$ равномерно распределена на $[0,1]$ и $0 < q < 1$. Покажите, что $X = 1+\lfloor \log U / \log q\rfloor$ имеет геометрическое распределение.

Точка $(X, Y)$ выбирается равномерно случайным образом в полукруге $x^{2}+y^{2} \leq 1, x \geq 0$. Каково распределение $Z = Y / X$?

Пусть $X$ — неотрицательная целочисленная случайная величина с $h(r) = \mathbb {P}\left(X = r \mid X \geq r\right)$. Если $\left\{ U_{i}: i \geq 0\right\}$ независимы и равномерно распределены на $[0,1]$, покажите, что $Z = \min \left\{ n : U_{n} \leq h(n)\right\}$ имеет то же распределение, что и $X$.

Пусть $g\left(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right)$ — функция, возрастающая по каждой из своих переменных, и пусть $\left\{ U_{r}: r \geq 1\right\}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, имеющие равномерное распределение на $[0,1]$. Покажите, что

[Указание: используйте неравенство ФКГ из задачи (3.11.18).] Объясните, как это может помочь в эффективном оценивании $I = \int_{0}^{1} g(\mathbf{x}) d \mathbf{x}$.

Мы хотим оценить $I = \int g(x) f_{X}(x) d x = \mathbb {E}\left[g(X\right])$, где либо трудно производить выборку из плотности $f_{X}$, либо $g(X)$ имеет очень большую дисперсию. Пусть $f_{Y}$ эквивалентна $f_{X}$, то есть для всех $x, f_{X}(x) = 0$ тогда и только тогда, когда $f_{Y}(x) = 0$. Пусть $\left\{ Y_{i}: 0 \leq i \leq n\right\}$ — независимые случайные величины с плотностью $f_{Y}$, и определим

Метод, изобретённый Дж. М. Хаммерсли и К. У. Мортоном в 1956 году.

Покажите, что:

Постройте два различных метода генерации выборки из арксинусной плотности распределения

Пусть $(X, Y)$ — случайная точка, выбранная равномерно на единичном диске. Покажите, что

равномерно распределена на единичной сфере.

Требуется генерировать выборку из плотности $f_{X}$, удовлетворяющей $f_{X} = f_{1}+f_{2}$, где $f_{1}, f_{2}: \mathbb {R} \rightarrow [0, \infty )$, и $f_{1} \leq f_{Y}$ для некоторой случайной величины $Y$. Пусть $U$ равномерно распределена на $[0,1]$ и независима от $Y$. Из $Y$ и $U$ мы генерируем другую случайную величину $Z$ следующим образом. Если $U > f_{1}(Y) / f_{Y}(Y)$, пусть $Z$ имеет плотность $f_{2}(z) / \int_{-\infty }^{\infty } f_{2}(u) d u$; в противном случае положим $Z = Y$. Покажите, что $Z$ имеет функцию плотности $f_{X}$.

Функцию $F^{-1}$, определённую в теореме (4.11.1), можно назвать квантильной функцией рассматриваемой случайной величины.

Для произвольной (не обязательно непрерывной) функции распределения $F = F_{X}$ определим

Пусть $U$ равномерно распределена на $(0,1)$ и независима от $X$. Назовём $G(X, U)$ обобщённым распределительным преобразованием величины $X$. Покажите, что $W = G(X, U)$ равномерно распределена на $(0,1)$, и что случайная величина $F^{-1}(W)$ имеет функцию распределения $F$.

Пусть $\left(X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}\right)$ — случайный вектор с совместной функцией распределения $F$ и непрерывными маргинальными функциями распределения $F_{1}, F_{2}, \ldots , F_{n}$. Покажите, что существует функция распределения «копульного вида» $G\left(u_{1}, u_{2}, \ldots , u_{n}\right)$, такая что $F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right) = G\left(F_{1}\left(x_{1}\right), F_{2}\left(x_{2}\right), \ldots , F_{n}\left(x_{n}\right)\right)$. [Функция распределения «копульного вида» — это такая функция, все маргинальные распределения которой равномерны на $[0,1]$].