Зависимость

Пусть

Покажите, что $f$ — непрерывная совместная плотность распределения, но (первая) маргинальная плотность распределения $g(x) = \int_{-\infty }^{\infty } f(x, y) d y$ не является непрерывной.

Пусть $Q = \left\{ q_{n}: n \geq 1\right\}$ — множество действительных чисел, и определим

Покажите, что $f_{Q}$ — непрерывная совместная плотность распределения, первая маргинальная плотность распределения которой разрывна в точках множества $Q$. Можете ли вы построить непрерывную совместную плотность распределения, первая маргинальная плотность распределения которой не является непрерывной нигде?

Две сетки параллельных линий накладываются друг на друга: первая сетка содержит линии на расстоянии $a$ друг от друга, а вторая содержит линии на расстоянии $b$ друг от друга, перпендикулярные линиям первой сетки. Игла длины $r( < \min \left\{ a, b\right\} )$ бросается случайным образом. Покажите, что вероятность того, что она пересечёт линию, равна $r(2 a+2 b-r) /(\pi a b)$.

Плоскость расчерчена линиями $y = n$ при $n = 0, \pm 1, \ldots$, и на эту плоскость бросается крест, образованный сваркой двух единичных игл перпендикулярно друг другу в их серединах.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, каждая из которых имеет равномерное распределение на $[0,1]$. Пусть $U = \min \left\{ X, Y\right\}$ и $V = \max \left\{ X, Y\right\}$. Найдите $\mathbb {E}\left[U\right]$ и, используя это, вычислите $\Cov {U, V}$.

Три точки A, B, C выбираются независимо и случайно на окружности круга. Пусть $b(x)$ — вероятность того, что хотя бы один из углов треугольника ABC превышает $x \pi$. Покажите, что

Отсюда найдите плотность распределения и математическое ожидание наибольшего угла треугольника.

Пусть $\left\{ X_{r}: 1 \leq r \leq n\right\}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечной дисперсией, и пусть $\bar{X} = n^{-1} \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$. Покажите, что $\Cov {\bar{X}, X_{r}-\bar{X}} = 0$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с конечными дисперсиями, и пусть $U = X+Y$ и $V = X Y$. При каком условии $U$ и $V$ некоррелированы?

Пусть $X$ и $Y$ — независимые непрерывные случайные величины, и пусть $U$ независима от $X$ и $Y$ и принимает значения $\pm 1$ с вероятностью $\frac{1}{2}$. Определим $S = U X$ и $T = U Y$. Покажите, что $S$ и $T$ в общем случае зависимы, но $S^{2}$ и $T^{2}$ независимы.

Пусть $X, Y, Z$ — независимые одинаково распределённые непрерывные случайные величины. Покажите, что $\mathbb {P}\left(X > Y\right) = \mathbb {P}\left(Z > Y\right) = \frac{1}{2}$. Чему равно $\mathbb {P}\left(Z > Y \mid X > Y\right)$?

Пусть $(X, Y)$ и $(U, V)$ — независимые случайные векторы с общей функцией распределения $F(x, y)$ и маргинальными функциями распределения $F_{X}(x)$ и $F_{Y}(y)$. Покажите, что при $\left|\Cov {X, Y}\right| < \infty$ выполняется $\mathbb {E}\left[(X-U)(Y-V)\right] = 2 \Cov {X, Y}$, и

Пусть пара $X, Y$ имеет двумерное нормальное распределение с нулевыми математическими ожиданиями, единичными дисперсиями и корреляцией $\rho$. Покажите, что

Пусть $X$ имеет экспоненциальное распределение с параметром $\lambda$. Пусть $N$ — наибольшее целое число, не превосходящее $X$, и пусть $M = X-N$. Покажите, что $M$ и $N$ независимы. Найдите плотность распределения $M$ и распределение $N$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины $N(0,1)$. Покажите, что если $2 a < 1,2 b < 1$ и $4 b^{2} < (1-2 a)(1-2 c)$, то

Пусть $X, Y$ — случайные величины с совместной плотностью распределения $f(x, y)$ и маргинальными плотностями $g, h$. Их коэффициент сопряжённости задаётся как

Если $X, Y$ имеют двумерное нормальное распределение с корреляцией $\rho \in (-1,1)$, покажите, что $1+\phi^{2} = 1 /\left(1-\rho^{2}\right)$. Покажите также, что их взаимная информация (см. Упражнение (3.6.5)) равна $I = -\frac{1}{2} \log \left(1-\rho^{2}\right)$.

Пусть $X$ равномерно распределена на $[-1,1]$. Коррелированы ли случайные величины $Z_{n} = \cos (n \pi X), n = 1,2, \ldots$? Независимы ли они? Обоснуйте свои ответы.

Среднее абсолютное различие, или MAD, двух независимых случайных величин $X, Y$ с общей функцией распределения $F$ задаётся как $\operatorname {MAD} = \mathbb {E}\left[\left|X-Y\right|\right]$. Покажите, что для неотрицательных случайных величин $X, Y$

В более общем случае, для $X$ и $Y$, принимающих значения в $\mathbb {R}$, с общей непрерывной функцией распределения с единственной обратной функцией $Q$, покажите, что

Найдите $\operatorname {MAD}$ для следующих распределений:

Пусть $X, Y$ — независимые случайные величины $N(0,1)$, и $U = \min \left\{ \left|X\right|,\left|Y\right|\right\}$, $V = \max \left\{ \left|X\right|,\left|Y\right|\right\}$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[U / V\right] = (4 / \pi ) \log \sqrt{2}$.

Точка $P = (X, Y)$ выбирается равномерно случайно внутри треугольника $\Delta$ с вершинами $(1,0),(1,1),(0,1)$. Покажите, что треугольник ABC с $\mathrm{BC} = X, \mathrm{CA} = Y, \mathrm{AB} = 2-X-Y$ всегда может быть построен, и докажите, что угол $\widehat{\mathrm{ABC}}$ тупой с вероятностью $3-4 \log 2$.

Случайные величины $X, Y$ имеют совместную плотность распределения $f(x, y) = 3\left((x+y)-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)$ при $x, y \in [0,1]$. Покажите, что $X$ и $Y$ некоррелированы, но зависимы.