Условные распределения и условное математическое ожидание

Точка выбирается равномерно случайно на поверхности единичной сферы. Обозначив $\Theta$ и $\Phi$ её долготу и широту, найдите условные плотности распределения $\Theta$ при заданном $\Phi$ и $\Phi$ при заданном $\Theta$.

Покажите, что условное математическое ожидание $\psi (X) = \mathbb {E}\left[Y \mid X\right]$ удовлетворяет $\mathbb {E}\left[\psi (X\right] g(X)) = \mathbb {E}\left[Y g(X\right])$ для любой функции $g$, при которой обе части существуют.

Постройте пример двух случайных величин $X$ и $Y$, для которых $\mathbb {E}\left[Y\right] = \infty$, но при этом $\mathbb {E}\left[Y \mid X\right] < \infty$ почти наверное.

Найдите условную плотность распределения и условное математическое ожидание $Y$ при заданном $X$, если их совместная плотность распределения равна:

Пусть $Y$ распределена как $\operatorname {bin}(n, X)$, где $X$ — случайная величина, имеющая бета-распределение на $[0,1]$ с параметрами $a$ и $b$. Опишите распределение $Y$ и найдите его математическое ожидание и дисперсию. Каково распределение $Y$ в частном случае, когда $X$ равномерна?

Пусть $\left\{ X_{r}: r \geq 1\right\}$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на $[0,1]$. Пусть $0 < x < 1$, и определим

Покажите, что $\mathbb {P}\left(N > n\right) = x^{n} / n!$, и, используя это, найдите математическое ожидание и дисперсию $N$.

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины с корреляцией $\rho$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[\operatorname {Var}\left(Y \mid X\right)\right] \leq \left(1-\rho^{2}\right) \operatorname {Var}\left(Y\right)$.

Пусть $X, Y, Z$ — независимые экспоненциальные случайные величины с параметрами $\lambda , \mu , \nu$ соответственно. Найдите $\mathbb {P}\left(X < Y < Z\right)$.

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность $f(x, y) = c x(y-x) e^{-y}, 0 \leq x \leq y < \infty$.

Пусть $\left\{ X_{r}: r \geq 0\right\}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с плотностью распределения $f$ и функцией распределения $F$. Пусть $N = \min \left\{ n \geq 1: X_{n} > X_{0}\right\}$ и $M = \min \left\{ n \geq 1 : X_{0} \geq X_{1} \geq \cdots \geq X_{n-1} < X_{n}\right\}$. Покажите, что $X_{N}$ имеет функцию распределения $F+(1-F) \log (1-F)$, и найдите $\mathbb {P}\left(M = m\right)$.

Пусть точка $P = (X, Y)$ равномерно распределена в квадрате $S = [0,1]^{2}$, и обозначим через $f(x \mid D)$ плотность распределения $X$ при условии события $D$, состоящего в том, что $P$ лежит на диагонали $S$, проходящей через начало координат.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, каждая с плотностью распределения $f: \mathbb {R} \rightarrow [0, \infty )$. Индекс $r > 1$ называется моментом рекорда, если $X_{r} > \max \left\{ X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{r-1}\right\}$, а $r = 1$ по соглашению также называется моментом рекорда. Пусть $A_{r}$ — событие, состоящее в том, что $r$ является моментом рекорда.

Единичная палка разламывается в случайной точке, равномерно распределённой, и более длинный кусок разламывается снова в случайной точке, равномерно распределённой. Покажите, что вероятность того, что из трёх кусков можно составить треугольник, равна $2 \log 2-1$

Пусть $U_{1}, U_{2}, \ldots , U_{n+1}$ — независимые случайные величины с равномерным распределением на $[0,1]$, и пусть

Покажите, что $\mathbb {E}\left[U_{(1)}\right] = 1 /(n+1)$, и выведите отсюда, что