Функции случайных величин

Пусть $X, Y$ и $Z$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на $[0,1]$. Найдите совместную плотность распределения $X Y$ и $Z^{2}$, и покажите, что $\mathbb {P}\left(X Y < Z^{2}\right) = \frac{5}{9}$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые экспоненциальные случайные величины с параметром 1. Найдите совместную плотность распределения $U = X+Y$ и $V = X /(X+Y)$, и выведите отсюда, что $V$ равномерно распределена на $[0,1]$.

Пусть $X$ равномерно распределена на $\left[0, \frac{1}{2} \pi \right]$. Найдите плотность распределения $Y = \sin X$.

Найдите плотность распределения $Y = \sin^{-1} X$, если:

Пусть $X$ и $Y$ имеют двумерную нормальную плотность распределения

Покажите, что $X$ и $Z = (Y-\rho X) / \sqrt{1-\rho^{2}}$ — независимые случайные величины $N(0,1)$, и выведите отсюда, что

Пусть $X$ и $Y$ имеют стандартную двумерную нормальную плотность распределения из Упражнения (4.7.5), и пусть $Z = \max \left\{ X, Y\right\}$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[Z\right] = \sqrt{(1-\rho ) / \pi }$, и $\mathbb {E}\left[Z^{2}\right] = 1$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые экспоненциальные случайные величины с параметрами $\lambda$ и $\mu$. Покажите, что $Z = \min \left\{ X, Y\right\}$ независима от события $\left\{ X < Y\right\}$. Найдите:

Точка $(X, Y)$ выбирается случайно и равномерно в единичном круге. Найдите совместную плотность распределения $R$ и $X$, где $R^{2} = X^{2}+Y^{2}$.

Точка $(X, Y, Z)$ выбирается равномерно случайно внутри единичного шара в $\mathbb {R}^{3}$. Найдите совместную плотность распределения $Z$ и $R$, где $R^{2} = X^{2}+Y^{2}+Z^{2}$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с экспоненциальным распределением с параметрами $\lambda$ и $\mu$. Найдите совместное распределение $S = X+Y$ и $R = X /(X+Y)$. Какова плотность распределения $R$?

Найдите плотность распределения $Y = a /\left(1+X^{2}\right)$, где $X$ имеет распределение Коши.

Пусть $(X, Y)$ имеет двумерную нормальную плотность распределения из Упражнения (4.7.5) с $0 \leq \rho < 1$. Покажите, что

где $c = (b-\rho a) / \sqrt{1-\rho^{2}}, d = (a-\rho b) / \sqrt{1-\rho^{2}}$, а $\phi$ и $\Phi$ — плотность распределения и функция распределения $N(0,1)$.

Пусть $X$ имеет распределение Коши. Покажите, что $Y = X^{-1}$ также имеет распределение Коши. Найдите ещё одно нетривиальное распределение, обладающее этим свойством инвариантности.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с гамма-распределением $\Gamma (\lambda , \alpha ), \Gamma (\lambda , \beta )$ соответственно.

Пусть $X, Y$ — независимые положительные непрерывные случайные величины, такие что $1-F_{Y}(y) = \left(1-F_{X}(y)\right)^{\lambda }$ при $y > 0$. Положительный параметр $\lambda$ можно назвать хрупкостью или пропорциональной интенсивностью риска. В более общих моделях $\lambda$ сама может быть случайной величиной.

Покажите, что

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, где $X$ имеет распределение арксинуса, а $Y$ — распределение Рэлея:

Запишите совместную плотность распределения пары $(Y, X Y)$, и выведите отсюда, что $X Y$ имеет стандартное нормальное распределение.

Пусть $U$ равномерно распределена на интервале $(0,1)$.

Пусть $(X, Y)$ имеет стандартное двумерное нормальное распределение с корреляцией $\rho$.

Пусть $(X, Y)$ имеет стандартное двумерное нормальное распределение с корреляцией $\rho$. Покажите, что

где $\phi$ и $\Phi$ — плотность распределения и функция распределения $N(0,1)$.

Пусть $(X, Y)$ имеет стандартное двумерное нормальное распределение с плотностью распределения $f$ и корреляцией $\rho$. Покажите, что вероятность того, что $(X, Y)$ лежит внутри эллипса $f(x, y) = k$, равна $1-\exp \left\{ -A /\left(2 \pi \sqrt{1-\rho^{2}}\right)\right\}$, где $A$ — площадь этого эллипса.

Пусть $R = X / Y$, где $X, Y$ независимы и равномерно распределены на $(0,1)$. Найдите вероятность того, что ближайшее к $R$ целое число нечётно.

Пусть $(X, Y)$ имеет стандартное двумерное нормальное распределение с корреляцией $\rho$ и плотностью распределения $f$. Покажите, что $f(X, Y)$ равномерно распределена на интервале $(0, \zeta )$, где $\zeta = 1 /\left\{ 2 \pi \sqrt{1-\rho^{2}}\right\}$.

$n$ друзей независимо и равномерно случайно посещают кофейню Old Slaughter's во время своего обеденного перерыва с полудня до часу дня. Каждый уходит через $\delta$ часов (или в час дня, если это раньше), где $\delta < 1 /(n-1)$. Покажите, что вероятность того, что никто из них не встретится внутри, равна $(1-(n-1) \delta )^{n}$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с равномерным распределением на $(0,1)$. Найдите совместную плотность распределения $W = X Y$ и $Z = Y / X$, и выведите отсюда их маргинальные плотности распределения.

Пусть $X$ имеет распределение $N(0,1)$, и пусть $G$ — функция с производной $g$. Покажите, что

Совместная плотность распределения пары $(X, Y)$ равна

Найдите совместную плотность распределения пары $U = X$ и $V = X+Y$, и выведите отсюда плотность распределения $V$.