Банк задач по математике

Задача 4.8.1

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с экспоненциальным распределением с параметрами $\lambda$ и $\mu$ соответственно. Найдите плотность распределения $X+Y$ .

?

Задача 4.8.2

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с распределением Коши. Найдите плотность распределения $\alpha X+\beta Y$ , где $\alpha \beta \neq 0$ . (Знакомы ли вы с контурным интегрированием?)

?

Задача 4.8.3

Найдите плотность распределения $Z = X+Y$ , если $X$ и $Y$ имеют совместную плотность распределения $f(x, y) = \frac{1}{2}(x+y) e^{-(x+y)}, x, y \geq 0$ .

?

Задача 4.8.4

Пусть $\left\{ X_{r}: r \geq 1\right\}$ — независимые экспоненциальные случайные величины с параметрами $\left\{ \lambda_{r}: r \geq 1\right\}$ , никакие два из которых не равны. Найдите плотность распределения $S_{n} = \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$ . [Указание: используйте индукцию.]

?

Задача 4.8.5

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $X, Y, Z$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на $[0,1]$ . Найдите плотность распределения $X+Y+Z$ .

(b)

Если $\left\{ X_{r}: r \geq 1\right\}$ независимы и равномерно распределены на $[0,1]$ , покажите, что плотность распределения $S_{n} = \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$ в любой точке $x \in (0, n)$ является многочленом от $x$ степени $n-1$ . Покажите, в частности, что плотность распределения $f_{n}$ величины $S_{n}$ удовлетворяет $f_{n}(x) = x^{n-1} /(n-1)$ ! при $x \in [0,1]$ .

(c)

Пусть $n \geq 3$ . Какова вероятность того, что $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ из пункта (b) могут быть длинами сторон $n$ -угольника?

Задача 4.8.6

Для независимых одинаково распределённых случайных величин $X$ и $Y$ покажите, что $U = X+Y$ и $V = X-Y$ некоррелированы, но не обязательно независимы. Покажите, что $U$ и $V$ независимы, если $X$ и $Y$ имеют распределение $N(0,1)$ .

?

Задача 4.8.7

(a)(b)(c)(d)

Пусть $X$ и $Y$ имеют двумерную нормальную плотность распределения с нулевыми математическими ожиданиями, дисперсиями $\sigma^{2}, \tau^{2}$ и корреляцией $\rho$ . Покажите, что:

?

(a)

$\mathbb {E}\left[X \mid Y\right] = \frac{\rho \sigma }{\tau } Y$ ,

(b)

$\operatorname {Var}\left(X \mid Y\right) = \sigma^{2}\left(1-\rho^{2}\right)$ ,

(c)

$\mathbb {E}\left[X \mid X+Y = z\right] = \frac{\left(\sigma^{2}+\rho \sigma \tau \right) z}{\sigma^{2}+2 \rho \sigma \tau +\tau^{2}}$ ,

(d)

$\operatorname {Var}\left(X \mid X+Y = z\right) = \frac{\sigma^{2} \tau^{2}\left(1-\rho^{2}\right)}{\tau^{2}+2 \rho \sigma \tau +\sigma^{2}}$ .

Задача 4.8.8

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины $N(0,1)$ , и пусть $Z = X+Y$ . Найдите распределение и плотность распределения $Z$ при условии, что $X > 0$ и $Y > 0$ . Покажите, что

\mathbb {E}\left[Z \mid X > 0, Y > 0\right] = 2 \sqrt{2 / \pi }

?

Задача 4.8.9

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины $N(0,1)$ . Найдите совместную плотность распределения $U = a X+b Y$ и $V = b X-a Y$ , и, используя это, покажите, что $U$ имеет распределение $N\left(0, a^{2}+b^{2}\right)$ . Выведите отсюда доказательство последней части Примера (4.8.3).

?

Задача 4.8.10

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную функцию распределения $F$ с маргинальными функциями распределения $F_{X}$ и $F_{Y}$ . Покажите, что если $\mu = \mathbb {E}\left[X+Y\right]$ корректно определено, то его значение определяется знанием $F_{X}$ и $F_{Y}$ .

?

Задача 4.8.11

(a)(b)

Пусть $S = U+V+W$ — сумма трёх независимых случайных величин с равномерным распределением на $(0,1)$ .

?

(a)

Покажите, что $\mathbb {E}\left[\operatorname {Var}\left(U \mid S\right)\right] = \frac{1}{18}$ .

(b)

Найдите $v(s) = \operatorname {Var}\left(U \mid S = s\right)$ при $0 < s < 3$ .

Суммы случайных величин