Две теоремы о пределах

Докажите, что при $x \geq 0$, при $n \rightarrow \infty$,

Хорошо известно, что младенцы, рождённые от курящих матерей, как правило, мельче и более подвержены различным заболеваниям. Высказывается предположение, что они также выглядят необычно. Медсёстрам показывали подборки фотографий младенцев, половина из которых были детьми курящих матерей; медсёстрам предлагалось по внешнему виду младенца определить, курила мать или нет. В 1500 испытаниях правильный ответ был дан 910 раз. Правдоподобно ли это предположение? Если да, то почему?

Пусть $X$ имеет распределение $\Gamma (1, s)$; при условии $X = x$ пусть $Y$ имеет распределение Пуассона с параметром $x$. Найдите характеристическую функцию $Y$ и покажите, что

Объясните связь с центральной предельной теоремой.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, принимающие значения в положительных целых числах, общее распределение которых неарифметическое, то есть $\operatorname {gcd}\left\{ n: \mathbb {P}\left(X_{1} = n\right) > 0\right\} = 1$. Докажите, что для всех целых $x$ существуют неотрицательные целые $r = r(x), s = s(x)$, такие что

Докажите локальную центральную предельную теорему для сумм случайных величин, принимающих целые значения. Для простоты можете считать, что слагаемые имеют шаг $1$, то есть $\operatorname {gcd}\left\{ |x|: \mathbb {P}\left(X = x\right) > 0\right\} = 1$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины с общей плотностью $f(x) = 1 /\left\{ 2\left|x\right|(\log \left|x\right|)^{2}\right\}$ при $\left|x\right| < e^{-1}$. Покажите, что $X_{i}$ имеют нулевое среднее и конечную дисперсию, и что плотность $f_{n}$ суммы $X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$ удовлетворяет $f_{n}(x) \rightarrow \infty$ при $x \rightarrow 0$. Выведите, что $X_{i}$ не удовлетворяют локальной предельной теореме.

Пусть $X$ имеет плотность $f(x) = \sqrt{2 \pi x^{-3}} \exp \left(-\left\{ 2 x\right\}^{-1}\right), x > 0$. Покажите, что $\phi (is) = \mathbb {E}\left[e^{-s X}\right] = e^{-\sqrt{2 s}}, s > 0$, и выведите, что $X$ имеет характеристическую функцию

Пусть $\left\{ X_{r}: r \geq 1\right\}$ независимы и имеют распределение из предыдущего упражнения (5.10.7). Пусть $U_{n} = n^{-1} \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$ и $T_{n} = n^{-1} U_{n}$. Покажите, что:

Подбрасывается последовательность несимметричных монет; вероятность того, что $r$-я монета выпадет орлом, равна $\Theta_{r}$, где $\Theta_{r}$ — случайная величина, принимающая значения в $(0,1)$. Пусть $X_{n}$ — число орлов после $n$ подбрасываний. Подчиняется ли $X_{n}$ центральной предельной теореме, когда:

На выборах с двумя кандидатами каждый из $v$ избирателей с равной вероятностью голосует за любого из кандидатов, и голосуют они независимо друг от друга. Покажите, что при большом $v$ вероятность того, что победитель был впереди в момент, когда было подсчитано $\lambda v$ голосов (где $\lambda \in (0,1)$), приближённо равна $\frac{1}{2}+(1 / \pi ) \sin^{-1} \sqrt{\lambda }$.

Рассматривая центральную предельную теорему для суммы независимых пуассоновски распределённых случайных величин, покажите, что

Пусть $f$ — функция вероятности на $\left\{ 1,2, \ldots \right\}$ с конечным средним $\mu$. Рассмотрим большую популяцию домохозяйств с независимыми размерами, распределёнными как $f$. Индивид A выбирается равномерно наугад из всей популяции. Покажите, что вероятность того, что A принадлежит домохозяйству размера $x$, приближённо равна $x f(x) / \mu$. Найдите производящую функцию вероятностей этого распределения через производящую функцию $f$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые строго положительные непрерывные случайные величины с общей плотностью $f_{X}$ и конечным средним, и пусть $Z_{r} = X_{r} / S_{n}$, где $S_{k} = \sum_{r = 1}^{k} X_{r}$. Величины $Z_{r}$ порождают разбиение $(0,1]$ на интервалы $I_{r} = \left(S_{r-1}, S_{r}\right] / S_{n}$ при $r = 1,2, \ldots , n$. Пусть $U$ равномерно распределена на $(0,1]$ и не зависит от $X_{r}$, и пусть $L$ — длина интервала, в который попадает $U$. Покажите, что $L$ имеет плотность $f_{L}(z) = (z / \mathbb {E}\left[Z\right]) f_{Z}(z)$, где $Z = Z_{1}$. Найдите характеристическую функцию $L$ через характеристическую функцию $Z$.

Процесс площади для случайного блуждания. Пусть $S_{n} = \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$ — непрерывное симметричное случайное блуждание по $\mathbb {R}$, начинающееся с $0$, скачки которого — независимые случайные величины $X_{i}$ с распределением $N(0,1)$. Определим процесс площади $A_{n} = \sum_{m = 1}^{n} S_{m}$. Пусть $I_{m} = \left\{ -1 < A_{m} < 1\right\}$, и покажите, что с вероятностью $1$ лишь конечное число событий $I_{m}$ происходит.

В начале 1950-х годов в Bell Labs Дэвид Хагельбаргер и Клод Шеннон построили машины, предсказывающие, назовёт ли человек, подбрасывающий монету, орла или решку. Машина Хагельбаргера («робот, экстраполирующий последовательности», или «SEER») оказалась права в 5218 испытаниях из 9795, а машина Шеннона («машина, читающая мысли (?)») — в 5010 испытаниях из 8517. В каждом случае какова вероятность добиться такого же результата случайно?