Случайное блуждание

Для простого случайного блуждания $S$ с $S_{0} = 0$ и $p = 1-q < \frac{1}{2}$ покажите, что максимум $M = \max \left\{ S_{n}: n \geq 0\right\}$ удовлетворяет равенству $\mathbb {P}\left(M \geq r\right) = (p / q)^{r}$ при $r \geq 0$.

Используя производящие функции, покажите, что для симметричного случайного блуждания

Частица совершает случайное блуждание по вершинам квадрата $A B C D$. На каждом шаге вероятность перехода из вершины $c$ в вершину $d$ равна $\rho_{c d}$, где

и $\alpha , \beta > 0, \alpha +\beta = 1$. Пусть $G_{\mathrm{A}}(s)$ — производящая функция последовательности $\left(p_{\mathrm{AA}}(n): n \geq 0\right)$, где $p_{\mathrm{AA}}(n)$ — вероятность того, что частица находится в A после $n$ шагов, начав движение из A. Покажите, что

Отсюда найдите производящую функцию вероятностей времени первого возвращения в A.

Частица совершает симметричное случайное блуждание в двух измерениях, начиная с начала координат: каждый шаг имеет единичную длину и с равной вероятностью $\frac{1}{4}$ направлен на север, юг, восток или запад. Частица впервые достигает прямой $x+y = m$ в точке $(X, Y)$ и в момент времени $T$. Найдите производящие функции вероятностей $T$ и $X-Y$, и укажите, где они сходятся.

Выведите закон арксинуса для времён пребывания, теорема (3.10.21), используя производящие функции. А именно, пусть $L_{2 n}$ — время (до момента $2 n$), проведённое простым симметричным случайным блужданием справа от начальной точки. Покажите, что

Пусть $\left\{ S_{n}: n \geq 0\right\}$ — простое симметричное случайное блуждание с $S_{0} = 0$, и пусть $T = \min \left\{ n > 0 : S_{n} = 0\right\}$. Покажите, что

Пусть $S_{n} = \sum_{r = 0}^{n} X_{r}$ — лево-непрерывное случайное блуждание по целым числам с удерживающим барьером в нуле. Точнее, предположим, что $X_{r}$ — одинаково распределённые целочисленные случайные величины с $X_{1} \geq -1, \mathbb {P}\left(X_{1} = 0\right) \neq 0$, и

Покажите, что распределение $S_{0}$ можно выбрать так, что $\mathbb {E}\left[z^{S_{n}}\right] = \mathbb {E}\left[z^{S_{0}}\right]$ для всех $n$, тогда и только тогда, когда $\mathbb {E}\left[X_{1}\right] < 0$, и в этом случае

Рассмотрим простое случайное блуждание, начинающееся с 0, в котором каждый шаг направлен вправо с вероятностью $p( = 1-q)$. Пусть $T_{b}$ — число шагов до первого достижения блужданием точки $b$, где $b > 0$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[T_{b} \mid T_{b} < \infty \right] = b /\left|p-q\right|$.

Пусть $S = \left\{ S_{k}: k = 0,1,2, \ldots \right\}$ — простое случайное блуждание по неотрицательным целым числам, с $S_{0} = i$ и поглощающим барьером в 0. Типичный скачок $X$ имеет функцию вероятности $\mathbb {P}\left(X = 1\right) = p$ и $\mathbb {P}\left(X = -1\right) = q = 1-p$, где $p \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)$. Пусть $H$ — событие, состоящее в том, что блуждание в конце концов поглощается в 0. Покажите, что при условии $H$ блуждание имеет то же распределение, что и простое случайное блуждание $W = \left\{ W_{k}: k = 0,1,2, \ldots \right\}$, для которого типичный скачок $Y$ удовлетворяет $\mathbb {P}\left(Y = 1\right) = q$, $\mathbb {P}\left(Y = -1\right) = p$.