Ветвящиеся процессы

Пусть $Z_{n}$ — размер $n$-го поколения в обычном ветвящемся процессе с $Z_{0} = 1, \mathbb {E}\left[Z_{1}\right] = \mu$ и $\operatorname {Var}\left(Z_{1}\right) > 0$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[Z_{n} Z_{m}\right] = \mu^{n-m} \mathbb {E}\left[Z_{m}^{2}\right]$ при $m \leq n$. Отсюда найдите коэффициент корреляции $\rho \left(Z_{m}, Z_{n}\right)$ через $\mu$.

Рассмотрим ветвящийся процесс с размерами поколений $Z_{n}$, удовлетворяющими $Z_{0} = 1$ и $\mathbb {P}\left(Z_{1} = 0\right) = 0$. Выберем наугад (с возвращением) двух особей из $n$-го поколения и пусть $L$ — номер поколения, содержащего их ближайшего общего предка. Покажите, что $\mathbb {P}\left(L \geq r\right) \geq \mathbb {E}\left[Z_{r}^{-1}\right]$ при $0 \leq r < n$. Покажите, что при $r \neq 0$ равенство достигается тогда и только тогда, когда $Z_{1}$ п.н. постоянна. Что можно сказать, если $\mathbb {P}\left(Z_{1} = 0\right) > 0$?

Рассмотрим ветвящийся процесс, размеры семей которого имеют геометрическую функцию вероятности $f(k) = q p^{k}$, $k \geq 0$, где $p+q = 1$, и пусть $Z_{n}$ — размер $n$-го поколения. Пусть $T = \min \left\{ n: Z_{n} = 0\right\}$ — момент вырождения, и предположим, что $Z_{0} = 1$. Найдите $\mathbb {P}\left(T = n\right)$. При каких значениях $p$ выполняется $\mathbb {E}\left[T\right] < \infty$?

Пусть $Z_{n}$ — размер $n$-го поколения ветвящегося процесса, и предположим $Z_{0} = 1$. Найдите выражение для производящей функции $G_{n}$ величины $Z_{n}$ в случаях, когда $Z_{1}$ имеет производящую функцию:

Каждое поколение ветвящегося процесса (с единственным родоначальником) пополняется случайным числом иммигрантов, неотличимых от остальных членов популяции. Предположим, что числа иммигрантов в разных поколениях независимы друг от друга и от прошлой истории ветвящегося процесса, причём каждое такое число имеет производящую функцию вероятностей $H(s)$. Покажите, что производящая функция вероятностей $G_{n}$ размера $n$-го поколения удовлетворяет $G_{n+1}(s) = G_{n}(G(s)) H(s)$, где $G$ — производящая функция вероятностей типичной семьи потомков.

Пусть $Z_{n}$ — размер $n$-го поколения в ветвящемся процессе с $\mathbb {E}\left[s^{Z_{1}}\right] = (2-s)^{-1}$ и $Z_{0} = 1$. Пусть $V_{r}$ — общее число поколений размера $r$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[V_{1}\right] = \frac{1}{6} \pi^{2}$ и $\mathbb {E}\left[2 V_{2}-V_{3}\right] = \frac{1}{6} \pi^{2}-\frac{1}{90} \pi^{4}$.

Пусть $T$ — общее число особей в ветвящемся процессе с распределением размера семьи $\operatorname {bin}(2, p)$, где $p \neq \frac{1}{2}$. Покажите, что

Каково распределение размера семьи при условии $T < \infty$?

Пусть $Z$ — ветвящийся процесс с $Z_{0} = 1, \mathbb {E}\left[Z_{1}\right] = \mu > 1$ и $\operatorname {Var}\left(Z_{1}\right) = \sigma^{2}$. Используя неравенство Пэли–Зигмунда, покажите, что вероятность вырождения $\eta_{n} = \mathbb {P}\left(Z_{n} = 0\right)$ удовлетворяет