Ветвящиеся процессы, зависящие от возраста

[2/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 5.5.1

Пусть $Z(t)$ — размер популяции в момент времени $t$ в возрастно-зависимом ветвящемся процессе, распределение времени жизни которого показательное с параметром $\lambda$ . Если $Z(0) = 1$ , покажите, что производящая функция вероятностей $G_{t}(s)$ величины $Z(t)$ удовлетворяет

\frac{\partial }{\partial t} G_{t}(s) = \lambda \left\{ G\left(G_{t}(s)\right)-G_{t}(s)\right\}

где $G$ — производящая функция вероятностей типичного размера семьи. Покажите в случае «показательного бинарного деления», когда $G(s) = s^{2}$ , что

G_{t}(s) = \frac{s e^{-\lambda t}}{1-s\left(1-e^{-\lambda t}\right)}

и отсюда выведите функцию вероятности размера популяции $Z(t)$ в момент времени $t$ .

Задача 5.5.2

Решите дифференциальное уравнение из упражнения (5.5.1) при $\lambda = 1$ и $G(s) = \frac{1}{2}\left(1+s^{2}\right)$ , чтобы получить

G_{t}(s) = \frac{2 s+t(1-s)}{2+t(1-s)}

Отсюда найдите $\mathbb {P}\left(Z(t\right) \geq k)$ , и выведите, что

\mathbb {P}\left(Z(t\right) / t \geq x \mid Z(t) > 0) \rightarrow e^{-2 x} \quad \text{ при } t \rightarrow \infty