5.9

Теоремы об инверсии и непрерывности

[9/100%]
Показать
LaTeX
Задача 5.9.1

Пусть XnX_{n} — дискретная случайная величина, принимающая значения в {1,2,…,n}\left\{ 1,2, \ldots , n\right\}, причём каждое возможное значение имеет вероятность n−1n^{-1}. Покажите, что при n→∞,P(n−1Xn≤y)→yn \rightarrow \infty , \mathbb {P}\left(n^{-1} X_{n} \leq y\right) \rightarrow y, для 0≤y≤10 \leq y \leq 1.

?
Задача 5.9.2

Пусть XnX_{n} имеет функцию распределения

Fn(x)=x−sin⁡(2nπx)2nπ,0≤x≤1 F_{n}(x) = x-\frac{\sin (2 n \pi x)}{2 n \pi }, \quad 0 \leq x \leq 1
?
(a)

Покажите, что FnF_{n} действительно является функцией распределения, и что XnX_{n} имеет плотность.

(b)

Покажите, что при n→∞,Fnn \rightarrow \infty , F_{n} сходится к функции равномерного распределения, но что плотность FnF_{n} не сходится к равномерной плотности.

Задача 5.9.3

Монету подбрасывают многократно, и орёл выпадает с вероятностью pp при каждом подбрасывании. Пусть NN — минимальное число подбрасываний, необходимое для получения kk орлов. Покажите, что при p↓0p \downarrow 0 функция распределения 2Np2 N p сходится к функции распределения гамма-распределения.

?
Задача 5.9.4

Если XX — целочисленная случайная величина с характеристической функцией ϕ\phi, покажите, что

P(X=k)=12π∫−ππe−itkϕ(t)dt \mathbb {P}\left(X = k\right) = \frac{1}{2 \pi } \int _{-\pi }^{\pi } e^{-i t k} \phi (t) d t

Каков соответствующий результат для случайной величины, распределение которой арифметическое с шагом λ\lambda (то есть с вероятностью единица XX кратна λ\lambda, и λ\lambda — наибольшее положительное число с этим свойством)?

?
Задача 5.9.5

Используя теорему обращения, покажите, что

∫−∞∞sin⁡(at)sin⁡(bt)t2dt=πmin⁡{a,b} \int _{-\infty }^{\infty } \frac{\sin (a t) \sin (b t)}{t^{2}} d t = \pi \min \left\{ a, b\right\}
?
Задача 5.9.6

Пусть fn(x)f_{n}(x) — дифференцируемая на R\mathbb {R} функция с глобальным максимумом в точке a>0a > 0, такая что ∫0∞exp⁡{fn(x)}dx<∞\int_{0}^{\infty } \exp \left\{ f_{n}(x)\right\} d x < \infty. Метод наискорейшего спуска Лапласа (связанный с леммой Ватсона и методами перевала) утверждает при мягких условиях, что

∫0∞exp⁡{fn(x)}dx∼∫0∞exp⁡{fn(a)+12(x−a)2fn′′(a)}dx при n→∞ \int _{0}^{\infty } \exp \left\{ f_{n}(x)\right\} d x \sim \int _{0}^{\infty } \exp \left\{ f_{n}(a)+\frac{1}{2}(x-a)^{2} f_{n}^{\prime \prime }(a)\right\} d x \quad \text{ при } n \rightarrow \infty

Полагая fn(x)=nlog⁡x−xf_{n}(x) = n \log x-x, докажите формулу Стирлинга: n!∼nne−n2πnn!\sim n^{n} e^{-n} \sqrt{2 \pi n}.

?
Задача 5.9.7

Пусть X=(X1,X2,…,Xn)\mathbf{X} = \left(X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}\right) имеет многомерное нормальное распределение с нулевыми средними и ковариационной матрицей V=(vij)\mathbf{V} = \left(v_{i j}\right), удовлетворяющей ∣V∣>0\left|\mathbf{V}\right| > 0 и vij>0v_{i j} > 0 для всех i,ji, j. Покажите, что

∂f∂vij={∂2f∂xi∂xj если i≠j12∂2f∂xi2 если i=j \frac{\partial f}{\partial v_{i j}} = \begin{cases} \frac{\partial ^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} & \text{ если } i \neq j \\ \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial x_{i}^{2}} & \text{ если } i = j\end{cases}

и выведите, что P(max⁡k≤nXk≤u)≥∏k=1nP(Xk≤u)\mathbb {P}\left(\max_{k \leq n} X_{k} \leq u\right) \geq \prod_{k = 1}^{n} \mathbb {P}\left(X_{k} \leq u\right).

?
Задача 5.9.8

Пусть X1,X2X_{1}, X_{2} имеют двумерное нормальное распределение с нулевыми средними, единичными дисперсиями и корреляцией ρ\rho. Используя теорему обращения, покажите, что

∂∂ρP(X1>0,X2>0)=12π1−ρ2 \frac{\partial }{\partial \rho } \mathbb {P}\left(X_{1} > 0, X_{2} > 0\right) = \frac{1}{2 \pi \sqrt{1-\rho ^{2}}}

Отсюда найдите P(X1>0,X2>0)\mathbb {P}\left(X_{1} > 0, X_{2} > 0\right).

?
Задача 5.9.9
?
(a)

Пусть X1,X2,…X_{1}, X_{2}, \ldots — независимые одинаково распределённые случайные величины с характеристической функцией, удовлетворяющей ϕ(t)=1−c∣t∣+o(t)\phi (t) = 1-c\left|t\right|+\mathrm{o}(t) при t→0t \rightarrow 0, где c>0c > 0. Покажите, что при n→∞n \rightarrow \infty распределение Yn=(X1+X2+⋯+Xn)/(cn)Y_{n} = \left(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}\right) /(c n) сходится к распределению Коши.

(b)

Пусть UU имеет равномерное распределение на [−1,1][-1,1], и покажите, что

ϕ1/U(t)=1−∣t∣∫∣t∣∞1−cos⁡xx2dx \phi _{1 / U}(t) = 1-\left|t\right| \int _{\left|t\right|}^{\infty } \frac{1-\cos x}{x^{2}} d x

Когда U1,U2,…,UnU_{1}, U_{2}, \ldots , U_{n} независимы и распределены как UU, запишите предельное распределение при n→∞n \rightarrow \infty величины Yn=(2/(nπ))∑r=1nUr−1Y_{n} = (2 /(n \pi )) \sum_{r = 1}^{n} U_{r}^{-1}.