Процессы рождения-гибели и вложение

Опишите цепь скачков для процесса рождения и гибели с интенсивностями $\lambda_{n}$ и $\mu_{n}$.

Рассмотрим процесс иммиграции-гибели $X$ — процесс рождения и гибели с интенсивностями рождения $\lambda_{n} = \lambda$ и интенсивностями гибели $\mu_{n} = n \mu$. Найдите матрицу переходных вероятностей цепи скачков $Y$ и покажите, что её стационарное распределение равно

где $\rho = \lambda / \mu$. Объясните, почему оно отличается от стационарного распределения $X$.

Рассмотрим процесс рождения и гибели $X$ с $\lambda_{n} = n \lambda$ и $\mu_{n} = n \mu$ при всех $n \geq 0$. Предположим, что $X(0) = 1$, и пусть $\eta (t) = \mathbb {P}_{1}\left(X(t) = 0\right)$. Покажите, что $\eta$ удовлетворяет дифференциальному уравнению

Отсюда найдите $\eta (t)$ и вычислите $\mathbb {P}_{1}\left(X(t) = 0\right)[X(u) = 0]$ при $0 < t < u$.

Для процесса рождения и гибели из предыдущего упражнения с $\lambda < \mu$ покажите, что распределение $X(t)$ при условии $\left\{ X(t) > 0\right\}$ сходится при $t \rightarrow \infty$ к геометрическому распределению.

Пусть $X$ — процесс рождения и гибели с $\lambda_{n} = n \lambda$ и $\mu_{n} = n \mu$, и предположим, что $X(0) = 1$. Покажите, что момент времени $T$, в который $X(t)$ впервые принимает значение 0, удовлетворяет

Что происходит при $\lambda = \mu$?

Пусть $X$ — процесс рождения и гибели из упражнения (6.11.5) с $\lambda \neq \mu$, и пусть $V_{r}(t)$ — суммарное время, проведённое процессом в состоянии $r \geq 0$ до момента $t$. Найдите распределение $V_{1}(\infty )$ и производящую функцию $\sum_{r} s^{r^{2}} \mathbb {E}\left[V_{r}(t)\right]$. С их помощью покажите двумя способами, что $\mathbb {E}\left[V_{1}(\infty )\right] = [\max \left\{ \lambda , \mu \right\} ]^{-1}$. Покажите далее, что $\mathbb {E}\left[V_{r}(\infty )\right] = \lambda^{r-1} r^{-1}[\max \left\{ \lambda , \mu \right\} ]^{-r}$.

Повторите вычисления упражнения (6.11.6) в случае $\lambda = \mu$.

Рассмотрим процесс рождения и гибели $X$ с интенсивностями рождения $\lambda_{n} > 0$ при $n \geq 0$, интенсивностями гибели $\mu_{n} > 0$ при $n > 0$ и $\mu_{0} = 0$. Пусть $X(0) = n > 0$, и пусть $D_{n}$ — время до первого момента, когда процесс примет значение $n-1$.

В модели популяции биоплёнки предположим, что имеется $n$ доступных для колонизации «ниш» (или «источников пищи»). Пусть $X(t)$ — число занятых ниш в момент времени $t$, и предположим, что $X$ — марковская цепь, эволюционирующая следующим образом. Время жизни любой колонии имеет показательное распределение с параметром $\mu$; если $X(t) = i$, то интенсивность образования новой колонии в пустой нише равна $\lambda i(n-i)$. Можно предполагать обычную независимость.

При $X(0) = 1,2, \ldots$ найдите среднее время до вымирания популяции, то есть до момента, когда ни одна ниша не занята. Обсудите последствия для случая большого $n$.