Специальные процессы

Клиенты, заходящие в магазин, обслуживаются единственным продавцом в порядке их прибытия. Они прибывают в соответствии с пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$, а времена их обслуживания — независимые показательно распределённые случайные величины с параметром $\mu$. Рассматривая цепь скачков, покажите, что ожидаемая продолжительность периода занятости $B$ продавца равна $(\mu -\lambda )^{-1}$ при $\lambda < \mu$. (Период занятости длится с момента, когда клиент прибывает и застаёт продавца свободным, до ближайшего последующего момента, когда продавец снова свободен.)

Иммигранты прибывают в моменты пуассоновского процесса интенсивности $v$, и каждый независимо основывает простой процесс рождения интенсивности $\lambda$. В моменты независимого пуассоновского процесса интенсивности $\delta$ популяция полностью уничтожается. Найдите производящую функцию вероятностей популяции $X(t)$ при условии $X(0) = 0$.

В рамках упражнения (6.12.2) предположим, что каждый иммигрант порождает простой процесс рождения и гибели с интенсивностями $\lambda$ и $\mu$. Покажите, что среднее значение размера популяции остаётся ограниченным тогда и только тогда, когда $\delta > \lambda -\mu$.

Очередь $M / G / \infty$. FTP-сервер принимает клиентов в моменты пуассоновского процесса с параметром $\lambda$, начиная с момента 0. $i$-й клиент остаётся подключённым в течение времени $S_{i}$, где $S_{i}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, независимые от процесса поступлений. Предполагая, что сервер обладает бесконечной ёмкостью, покажите, что число клиентов, обслуживаемых в момент времени $t$, имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda \int_{0}^{t}[1-G(x)] d x$, где $G$ — общая функция распределения величин $S_{i}$. Покажите, что среднее этого распределения сходится к $\lambda \mathbb {E}\left[S\right]$ при $t \rightarrow \infty$.