Задачи

Пусть $\left\{ Z_{n}\right\}$ — последовательность некоррелированных вещественнозначных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями, и определим «скользящее среднее»

для констант $\alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots , \alpha_{r}$. Покажите, что $Y$ стационарен, и найдите его автоковариационную функцию.

Пусть $\left\{ Z_{n}\right\}$ — последовательность некоррелированных вещественнозначных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Предположим, что $\left\{ Y_{n}\right\}$ — стационарная «авторегрессионная» последовательность в том смысле, что она удовлетворяет $Y_{n} = \alpha Y_{n-1}+Z_{n}$, $-\infty < n < \infty$, для некоторого вещественного $\alpha$, удовлетворяющего $\left|\alpha \right| < 1$. Покажите, что $Y$ имеет автоковариационную функцию $c(m) = \alpha^{\left|m\right|} /\left(1-\alpha^{2}\right)$.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ — последовательность независимых одинаково распределённых бернуллиевских величин, каждая из которых принимает значения 0 и 1 с вероятностями $1-p$ и $p$ соответственно. Найдите функцию вероятностей процесса восстановления $N(t)$ с временами между поступлениями $\left\{ X_{n}\right\}$.

Покупатели прибывают в магазин по пуассоновскому процессу с параметром $\lambda$. Имеется бесконечно много обслуживающих приборов, и каждое время обслуживания экспоненциально распределено с параметром $\mu$. Покажите, что число $Q(t)$ ожидающих покупателей в момент времени $t$ образует процесс рождения-гибели. Найдите его стационарное распределение.

Пусть $X(t) = Y \cos (\theta t)+Z \sin (\theta t)$, где $Y$ и $Z$ — независимые случайные величины с распределением $N(0,1)$, и пусть $\tilde{X}(t) = R \cos (\theta t+\Psi )$, где $R$ и $\Psi$ независимы. Найдите распределения для $R$ и $\Psi$, такие что процессы $X$ и $\widetilde{X}$ имеют одинаковые конечномерные распределения.

Покупатели прибывают ко входу в систему обслуживания в моменты неоднородного пуассоновского процесса с функцией интенсивности $\lambda (t)$. Их дальнейшие истории обслуживания независимы друг от друга, и покупатель, прибывший в момент времени $s$, находится в состоянии $A$ в момент времени $s+t$ с вероятностью $p(s, t)$. Покажите, что число покупателей в состоянии $A$ в момент времени $t$ имеет распределение Пуассона с параметром $\int_{-\infty }^{t} \lambda (u) p(u, t-u) d u$.

Страховая компания получает премии (за вычетом расходов) с единичной скоростью за единицу времени, а иски размера $X_{1}, X_{2}, \ldots$ являются независимыми случайными величинами с общей функцией распределения $F$, поступающими в моменты пуассоновского процесса интенсивности 1. Покажите, что вероятность $r(y)$ разорения (то есть того, что активы станут отрицательными) при начальном капитале $y$ удовлетворяет

Пусть $X$ — $\mathrm{fBM}_{H}$ с $\operatorname {Var}\left(X(1\right)) = 1$, где $H \in (0,1)$. Покажите, что:

Распределение Хольцмарка для звёздной гравитации, задача (6.15.57) пересмотренная. Предположим, что звёзды распределены в $\mathbb {R}^{3}$ по пуассоновскому процессу интенсивности $\lambda$, и пусть $G_{\lambda }$ — $x$-координата их суммарной гравитационной силы, действующей на единичную массу в начале координат.

В пражской чайной (U Myšáka) до Бархатной революции 1989 года покупатели выстраиваются в очередь у входа за пустым счётом. В заведении есть отдельные прилавки для кофе, сладкой выпечки, кренделей, молока, напитков и мороженого, и у каждого из них образуется своя очередь. У каждой точки обслуживания в счёт покупателя ставится соответствующая отметка. Число мест $N$ ограничено, и уходящим покупателям приходится вставать в очередь, чтобы оплатить счёт. Если времена между поступлениями и времена обслуживания экспоненциально распределены и процесс находится в равновесии, найдите, насколько дольше придётся ждать жадному покупателю, если он настаивает на том, чтобы сесть. Ответы просим присылать авторам на открытке.