8.2

Стационарные процессы

[4/100%]
Показать
LaTeX
Задача 8.2.1

Пусть {Xn}\left\{ X_{n}\right\} — марковская цепь на пространстве состояний S={0,1}S = \left\{ 0,1\right\} с переходной матрицей

P=[1−ααβ1−β] \mathbf{P} =\left[\begin{smallmatrix} 1-\alpha & \alpha \\ \beta & 1-\beta \end{smallmatrix}\right]

где α+β>0\alpha +\beta > 0. Найдите:

?
(a)

корреляцию ρ(Xm,Xm+n)\rho \left(X_{m}, X_{m+n}\right) и её предел при m→∞m \rightarrow \infty при фиксированном nn,

(b)

lim⁡n→∞n−1∑r=1nP(Xr=1)\lim_{n \rightarrow \infty } n^{-1} \sum_{r = 1}^{n} \mathbb {P}\left(X_{r} = 1\right), и условие, при котором процесс строго стационарен.

Задача 8.2.2

Пусть {N(t):t≥0}\left\{ N(t): t \geq 0\right\} — пуассоновский процесс с интенсивностью λ\lambda, и пусть T0T_{0} — независимая случайная величина, такая что P(T0=±1)=12\mathbb {P}\left(T_{0} = \pm 1\right) = \frac{1}{2}. Определим T(t)=T0(−1)N(t)T(t) = T_{0}(-1)^{N(t)}. Покажите, что {T(t):t≥0}\left\{ T(t): t \geq 0\right\} стационарен, и найдите:

?
(a)

ρ(T(s),T(s+t))\rho (T(s), T(s+t)),

(b)

среднее и дисперсию X(t)=∫0tT(s)dsX(t) = \int_{0}^{t} T(s) d s. [Так называемый процесс Гольдстейна-Каца X(t)X(t) обозначает положение частицы, движущейся с единичной скоростью, стартующей из начала координат вдоль положительной оси xx, направление которой меняется на обратное в моменты пуассоновского процесса.]

Задача 8.2.3

Целочисленный считающий процесс {N(t):t≥0}\left\{ N(t): t \geq 0\right\} с N(0)=N(0) = 0 называется грубо стационарным, если pk(s,t)=P(N(s+t)−N(s)=k)p_{k}(s, t) = \mathbb {P}\left(N(s+t\right)-N(s) = k) зависит только от длины t−st-s и не зависит от положения ss. Он называется простым, если почти наверное имеет только скачки величиной 1. Покажите, что для простого грубо стационарного процесса N,lim⁡t↓0t−1P(N(t)>0)=E[N(1])N, \lim_{t \downarrow 0} t^{-1} \mathbb {P}\left(N(t\right) > 0) = \mathbb {E}\left[N(1\right]).

?
Задача 8.2.4

Пусть X={Xn:n≥0}X = \left\{ X_{n}: n \geq 0\right\} — эргодическая марковская цепь, начатая в своём стационарном распределении π\pi. Пусть AA — подмножество состояний со стационарной вероятностью π(A)\pi (A), и пусть TA=min⁡{n≥1:Xn∈A}T_{A} = \min \left\{ n \geq 1: X_{n} \in A\right\}. Покажите, что E[TA∣X0∈A]=1/π(A)\mathbb {E}\left[T_{A} \mid X_{0} \in A\right] = 1 / \pi (A).

?