Процесс Винера

Для винеровского процесса $W$ с $W(0) = 0$ покажите, что

Вычислите $\mathbb {P}\left(W(s\right) > 0, W(t) > 0, W(u) > 0)$, когда $s < t < u$.

Пусть $W$ — винеровский процесс. Покажите, что при $s < t < u$ условное распределение $W(t)$ при условии $W(s)$ и $W(u)$ нормально

Выведите, что условная корреляция между $W(t)$ и $W(u)$ при условии $W(s)$ и $W(v)$, где $s < t < u < v$, равна

При каких значениях $a$ и $b$ величина $a W_{1}+b W_{2}$ является стандартным винеровским процессом, где $W_{1}$ и $W_{2}$ — независимые стандартные винеровские процессы?

Покажите, что винеровский процесс $W$ с параметром дисперсии $\sigma^{2}$ удовлетворяет

Говорят, что процесс $W$ имеет конечную квадратическую вариацию.

Пусть $W$ — винеровский процесс. Какие из следующих определяют винеровские процессы?

Найдите распределение $\int_{0}^{t}[W(u) / u] d u$, где $W$ — винеровский процесс. [Интеграл понимается как предел при $\epsilon \downarrow 0$ интеграла от $\epsilon$ до $t$.]

Винеровский процесс в $n$ измерениях. $n$-мерный винеровский процесс — это процесс $W(t) = \left(W_{1}(t), W_{2}(t), \ldots , W_{n}(t)\right)$, принимающий значения в $\mathbb {R}^{n}$, с независимыми приращениями, начинающийся в начале координат $W(0) = 0$, и такой, что $W(t)-W(s)$ имеет многомерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей $(t-s) \mathbf{I}$, где $\mathbf{I}$ — единичная матрица размера $n \times n$. Пусть $W(t)$ — $n$-мерный винеровский процесс, и пусть $A$ — ортонормированная матрица размера $n \times n$. Покажите, что $A W(t)$ является $n$-мерным винеровским процессом.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что при $p \geq 0$

где