Самоподобие и устойчивость

Пусть $X$ устойчива, и пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — случайная выборка, распределённая как $X$. Покажите, что при $n \geq 1$ найдутся такие $A_{n}, B_{n}$, что $X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n} \stackrel{\mathrm{D}}{ = } B_{n} X+A_{n}$.

Докажите, что для невырожденного самоподобного процесса $X$ со стационарными приращениями, конечными дисперсиями и показателем Хёрста $H > 0$

Покажите, что устойчивое распределение бесконечно делимо.

Покажите, что самоподобный процесс Леви либо является винеровским процессом, либо имеет бесконечные дисперсии.

Докажите, что распределение с характеристической функцией $\phi (\theta ) = \exp \left(-|\theta |^{\alpha }\right)$, где $\alpha \in (0,2]$, является строго $\alpha$-устойчивым и симметричным.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые устойчивые случайные величины, где $X$ симметрична с показателем $\alpha \in (0,2]$, а $Y$ неотрицательна с преобразованием Лапласа $M(\theta ) = \exp \left(-k \theta^{\beta }\right)$ при $\theta \in [0, \infty )$, где $1 \neq \beta \in (0,2]$. Покажите, что $Z = X Y^{1 / \alpha }$ симметрична и $\alpha \beta$-устойчива. Выведите, что для независимых случайных величин $U, V$ с распределением $N(0,1)$ отношение $Z = U / V$ имеет распределение Коши.