9.3

Автоковариации и спектры

[7/100%]
Показать
LaTeX
Задача 9.3.1

Пусть Xn=Acos⁡(nλ)+Bsin⁡(nλ)X_{n} = A \cos (n \lambda )+B \sin (n \lambda ), где AA и BB — некоррелированные случайные величины с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Покажите, что XX стационарна и её спектр содержит ровно одну точку.

?
Задача 9.3.2

Пусть UU равномерно распределена на (−π,π)(-\pi , \pi ), а VV независима от UU и имеет функцию распределения FF. Покажите, что Xn=ei(U−Vn)X_{n} = e^{i(U-V n)} определяет стационарную (комплексную) последовательность со спектральной функцией распределения FF.

?
Задача 9.3.3

Найдите автокорреляционную функцию стационарного процесса {X(t):−∞<t<∞}\left\{ X(t):-\infty < t < \infty \right\}, спектральная плотность которого равна:

(i) N(0,1)N(0,1),

(ii) f(x)=12e−∣x∣,−∞<x<∞f(x) = \frac{1}{2} e^{-\left|x\right|},-\infty < x < \infty.

?
Задача 9.3.4

Пусть X1,X2,…X_{1}, X_{2}, \ldots — вещественнозначная стационарная последовательность с нулевыми средними и автоковариационной функцией c(m)c(m). Покажите, что

Var⁡(1n∑j=1nXj)=c(0)∫(−π,π](sin⁡(nλ/2)nsin⁡(λ/2))2dF(λ) \operatorname {Var}\left(\frac{1}{n} \sum _{j = 1}^{n} X_{j}\right) = c(0) \int _{(-\pi , \pi ]}\left(\frac{\sin (n \lambda / 2)}{n \sin (\lambda / 2)}\right)^{2} d F(\lambda )

где FF — спектральная функция распределения. Выведите, что n−1∑j=1nXj→ с.к. 0n^{-1} \sum_{j = 1}^{n} X_{j} \xrightarrow {\text{ с.к. }} 0 тогда и только тогда, когда F(0)−F(0−)=0F(0)-F(0-) = 0, и покажите, что

c(0){F(0)−F(0−)}=lim⁡n→∞1n∑j=0n−1c(j) c(0)\left\{ F(0)-F(0-)\right\} = \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n} \sum _{j = 0}^{n-1} c(j)
?
Задача 9.3.5

Пусть Z={Zn:n∈Z}Z = \left\{ Z_{n}: n \in \mathbb {Z}\right\} — последовательность некоррелированных случайных величин со средними 0 и дисперсиями 1, и предположим, что последовательность X={Xn:n∈Z}X = \left\{ X_{n}: n \in \mathbb {Z}\right\} удовлетворяет Xn=ϕXn−1+Zn+θZn−1X_{n} = \phi X_{n-1}+Z_{n}+\theta Z_{n-1}.

?
(a)

При каких значениях ϕ,θ\phi , \theta процесс XX стационарен?

(b)

При каких значениях ϕ,θ\phi , \theta величина ZnZ_{n} допускает представление в виде ряда через XmX_{m}?

(c)

Покажите, что автокорреляционная функция ρ\rho процесса XX удовлетворяет

ρ(1)=(ϕ+θ)(1+ϕθ)1+2ϕθ+θ2 \rho (1) = \frac{(\phi +\theta )(1+\phi \theta )}{1+2 \phi \theta +\theta ^{2}}

и найдите ρ(k)\rho (k) при k>1k > 1. Отсюда вычислите спектральную плотность в конечном виде.

Задача 9.3.6

Пусть Z={Zn:n∈Z}Z = \left\{ Z_{n}: n \in \mathbb {Z}\right\} — последовательность некоррелированных случайных величин со средними 0 и дисперсиями 11, и предположим, что Xn=ϕXn−1+θXn−2+ZnX_{n} = \phi X_{n-1}+\theta X_{n-2}+Z_{n} при n∈Zn \in \mathbb {Z}, где ϕ2+4θ>0\phi^{2}+4 \theta > 0. Предположим, что dkd_{k} — вещественная последовательность, такая что

Xn=∑k=0∞dkZn−k X_{n} = \sum _{k = 0}^{\infty } d_{k} Z_{n-k}

Покажите, что dk=a1r1k+a2r2kd_{k} = a_{1} r_{1}^{k}+a_{2} r_{2}^{k}, где a1+a2=1a_{1}+a_{2} = 1 и a1r1+a2r2=ϕa_{1} r_{1}+a_{2} r_{2} = \phi. Покажите далее, что

a1=r1r1−r2,a2=−r2r1−r2,r1r2=−θ,r12+r22=ϕ2+2θ a_{1} = \frac{r_{1}}{r_{1}-r_{2}}, \quad a_{2} = \frac{-r_{2}}{r_{1}-r_{2}}, \quad r_{1} r_{2} = -\theta , \quad r_{1}^{2}+r_{2}^{2} = \phi ^{2}+2 \theta

Отсюда найдите E[Xn2]\mathbb {E}\left[X_{n}^{2}\right] через ϕ\phi и θ\theta, когда ∣r1∣,∣r2∣<1\left|r_{1}\right|,\left|r_{2}\right| < 1.

?
Задача 9.3.7

Пусть X={Xn:n∈Z}X = \left\{ X_{n}: n \in \mathbb {Z}\right\} — стационарный процесс с нулевыми средними и дисперсиями σ2\sigma^{2}, и пусть X^n+1\widehat{X}_{n+1} — наилучший линейный прогноз Xn+1X_{n+1} по {Xr:r≤n}\left\{ X_{r}: r \leq n\right\}. (См. раздел 9.2.) Формула Колмогорова-Сегё утверждает, что

Var⁡(Xn+1−X^n+1)=exp⁡{12π∫−ππlog⁡(2πσ2f(λ))dλ} \operatorname {Var}\left(X_{n+1}-\widehat{X}_{n+1}\right) = \exp \left\{ \frac{1}{2 \pi } \int _{-\pi }^{\pi } \log \left(2 \pi \sigma ^{2} f(\lambda )\right) d \lambda \right\}

где ff — спектральная плотность XX. Проверьте это для авторегрессионной схемы из примера (9.3.23).

?