Ряды Фурье

Докажите лемму 13.5, а также выведите аналогичные формулы для обратных преобразований Фурье $\left(T_{a} f\right)^{\vee },\left(M_{m} f\right)^{\vee },\left(T_{m} c\right)^{\vee }$ и $\left(M_{a} c\right)^{\vee }$.

Это упражнение покажет, как преобразование Фурье переводит гладкость функции $f$ в убывание её коэффициентов Фурье. Покажите, что если $f \in C^{1}(\mathbf{T})$, то $\widehat{f^{\prime }}(n) = 2 \pi i n \widehat{f}(n)$ при $n \in \mathbb {Z}$, и используйте это, чтобы показать, что

Распространите на производные высших порядков и сопоставьте с теоремой 9.16.

Это упражнение покажет, как преобразование Фурье переводит убывание последовательности $c$ в гладкость её преобразования Фурье. Покажите, что если $c = \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb {Z}}$ удовлетворяет $\sum_{n \in \mathbb {Z}}\left|n c_{n}\right| < \infty$, то $\hat{c}(\xi ) = \sum_{n \in \mathbb {Z}} c_{n} e^{-2 \pi i n x}$ дифференцируема и

где $d = \left(-2 \pi i n c_{n}\right)_{n \in \mathbb {Z}} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$. Распространите на производные высших порядков и сопоставьте с теоремой 9.15.

Пусть $p(x) = \sum_{k = 0}^{M} a_{k} x^{k}$ и $q(x) = \sum_{k = 0}^{N} b_{k} x^{k}$ — два многочлена. Их поточечное произведение — многочлен вида $p(x) q(x) = \sum_{n = 0}^{M+N} c_{n} x^{n}$. Найдите явную формулу для $c_{n}$ и объясните её связь со свёрткой последовательностей $\left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}}$ и $\left(b_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}}$, где мы полагаем $a_{k} = 0$, если $k \neq 0, \ldots , M$, и аналогично для $b_{k}$.

Покажите, что $f, g \in L^{1}(\mathbf{T})$ не влечёт $f g \in L^{1}(\mathbf{T})$.

Докажите теорему 13.8 для случаев $p = 1$ и $p = \infty$.

Докажите теорему 13.9.

Докажите лемму 13.11 и установите аналогичные свойства для свёртки последовательностей.

Пусть $f \in L^{1}(\mathbf{T})$; положим $f^{*}(x) = f(-x)$ и покажите, что $\widehat{f^{*}}(n) = \widehat{f}(-n) = \stackrel{\vee }{f}(n)$. Заключите, что если $f$ чётна, то $\widehat{f}$ чётна и $\widehat{f} = \stackrel{\vee }{f}$.

Пусть $\delta = \delta_{0} = \left(\delta_{0 n}\right)_{n \in \mathbb {Z}}$. Покажите, что $\delta$ — единица относительно свёртки на $\ell^{p}(\mathbb {Z})$, т.е. $c * \delta = c$ для каждого $c \in \ell^{p}(\mathbb {Z})$, где $1 \leq p \leq \infty$.

Замечание Мы увидим в следствии 13.15, что не существует элемента $L^{1}(\mathbf{T})$, являющегося единицей относительно свёртки на $L^{p}(\mathbf{T})$.

Зафиксируем $1 \leq p \leq \infty$. Покажите, что если $f \in L^{p}(\mathbf{T})$ и $g \in L^{p^{\prime }}(\mathbf{T})$, то $f * g \in C(\mathbf{T})$.

Постройте приближённую единицу $\left\{ k_{N}\right\}$ такую, что $k_{N} \in C(\mathbf{T}), k_{N} \geq 0$ всюду, и $k_{N} = 0$ на $\left[\frac{1}{N}, 1-\frac{1}{N}\right]$. Насколько гладкой можно сделать $k_{N}$?

Докажите теорему 13.13 для $1 < p < \infty$ и для $C(\mathbf{T})$.

Существование бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем показано в упражнении 11.9. Объедините упражнения 13.13 и 13.15 с теоремой 13.13, чтобы показать, что $C^{\infty }(\mathbf{T})$ плотно в $L^{p}(\mathbf{T})$ при $1 \leq p < \infty$ и плотно в $C(\mathbf{T})$ относительно равномерной нормы. Заключите, что $C^{m}(\mathbf{T})$ плотно в этих пространствах при каждом целом $m \geq 0$.

Зафиксируем $0 < \alpha < 1$. Покажите, что если $f \in C(\mathbf{T})$ гёльдерова с показателем $\alpha$ (см. упражнение 1.23), то

Докажите лемму 13.17.

Докажите теорему 13.18.

Дана последовательность скаляров $a = \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}}$, пусть $s_{N} = \sum_{k = -N}^{N} a_{k}$.

Докажите равенство, приведённое в уравнении (13.18).

Докажите лемму 13.20.

Пусть $f(x) = \pi^{2}\left(x^{2}-x+\frac{1}{6}\right)$ при $x \in [0,1)$. Продолженная 1-периодически, $f$ — непрерывная функция на $\mathbf{T}$. Вычислите $\widehat{f}$ и покажите, что $\widehat{f} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$. Используя это, покажите, что

где ряд сходится равномерно на $[0,1]$. К чему сходится ряд при других $x$? Возьмите $x = 0$, чтобы получить формулу Эйлера:

Сопоставьте с упражнением 1.55.

Докажите следующие факты об алгебре Фурье $A(\mathbf{T})$.