Базисные свойства рядов Фурье

Пусть $f \in C(\mathbf{T})$, $f(0) = 0$, и $f$ дифференцируема в точке $x = 0$. Покажите, что $g(x) = f(x) /\left(e^{-2 \pi i x}-1\right) \in C(\mathbf{T})$ и

Заключите, что симметричные частичные суммы ряда Фурье для $f$ сходятся в точке $x = 0$ к $f(0)$.

Покажите, что если $f \in C(\mathbf{T})$ дифференцируема в точке $x \in \mathbf{T}$, то

Пусть $g \in L^{1}(\mathbf{T})$. Покажите, что $g$ вещественнозначна тогда и только тогда, когда $\overline{\widehat{g}(n)} = \widehat{g}(-n)$ при $n \in \mathbb {Z}$.

Покажите, что если $f \in A(\mathbf{T})$ вещественнозначна, то её сопряжённая функция $H f$ также вещественнозначна.