Банк задач по математике

Задача 1.1

(а)(б)(в)(г)

Пусть $A_{i}(i \in I), B$ — подмножества в $X$ . Доказать равенства:

?

(а)

$\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right) \cap B=\bigcup_{i \in I}\left(A_{i} \cap B\right)$ ;

(б)

$\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right) \cup B=\bigcap_{i \in I}\left(A_{i} \cup B\right)$ ;

(в)

$\overline{\bigcup_{i \in I} A_{i}}=\bigcap_{i \in I} \overline{A_{i}}$ ;

(г)

$\bigcap_{i \in I} A_{i}=\bigcup_{i \in I} \overline{A_{i}}$ .

Задача 1.2

Пусть $X$ — произвольное множество, $2^{X}$ — множество всех его подмножеств. Доказать, что операция $\triangle$ симметрической разности

A \Delta B=(A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B)

на множестве $2^{X}$ обладает следующими свойствами:

?

(а)

$A \triangle B=B \triangle A$ ;

(б)

$(A \triangle B) \triangle C=A \triangle (B \triangle C)$ ;

(в)

$A \triangle \varnothing =A$ ;

(г)

для любого подмножества $A \subset X$ существует подмножество $B \subset X$ такое, что $A \triangle B=\varnothing$ ;

(д)

$(A \triangle B) \cap C=(A \cap B) \triangle (A \cap C)$ ;

(е)

$A \triangle B=(A \cup B) \backslash (A \cap B)$ ;

(ж)

$A \Delta B=(A \backslash B) \cup (B \backslash A)$ .

Задача 1.3

Доказать, что для любых конечных множеств $A_{1}, \ldots , A_{n}$

\begin{aligned} \left|\bigcup _{i=1}^{n} A_{i}\right|= & \sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|-\sum _{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left|A_{i} \cap A_{j}\right|+\ldots \\ & \quad \ldots +(-1)^{k-1} \sum _{1 \leqslant i_{1}<\ldots <i_{k} \leqslant n}\left|A_{i_{1}} \cap \ldots \cap A_{i_{k}}\right|+\ldots \\ & \quad \ldots +(-1)^{n-1}\left|A_{1} \cap \ldots \cap A_{n}\right| \end{aligned}

?

Задача 1.4

Доказать, что для любого натурального числа $n>1$

\varphi (n)=n\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{p_{r}}\right).

где $p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{r}$ — все различные простые делители числа $n, \varphi (n)$ функция Эйлера.

?

Задача 1.5

Какое максимальное число подмножеств можно образовать из данных $n$ подмножеств фиксированного множества с помощью операций пересечения, объединения и дополнения?

?

Задача 1.6

Пусть $A, B, C$ — подмножества в некотором множестве. Доказать, что $A \cap B \subseteq C$ тогда и только тогда, когда $A \subseteq \bar{B} \cup C$ .

?

Операции над подмножествами. Подсчет числа элементов