Банк задач по математике

Задача 7.1

Найти ранг следующих матриц с помощью окаймления миноров и элементарных преобразований:

?

(а)

$\left(\begin{array}{rrrrr}8 & 2 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & 7 & 4 & -2 & 5 \\ -2 & 4 & 2 & -1 & 3\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 7 & 7 & 9 \\ 7 & 5 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & -1 & -3 \\ -1 & 1 & 3 & 5\end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{rrrrr}4 & 1 & 7 & -5 & 1 \\ 0 & -7 & 1 & -3 & -5 \\ 3 & 4 & 5 & -3 & 2 \\ 2 & 5 & 3 & -1 & 3\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{rrrrr}8 & -4 & 5 & 5 & 9 \\ 1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 7 & -5 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & -1 & 3 & 2 & 5\end{array}\right)$ ;

(д)

$\left(\begin{array}{rrrrr}-6 & 4 & 8 & -1 & 6 \\ -5 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 7 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 8 & -7 & 6 \\ 3 & 2 & 4 & -5 & 3\end{array}\right)$ ;

(е)

$\left(\begin{array}{rrrrr}77 & 32 & 6 & 5 & 3 \\ 32 & 14 & 3 & 2 & 1 \\ 6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(ж)

$\left(\begin{array}{rrrrr}3 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 2 & -1 & 1 \\ 12 & 9 & 8 & -7 & 3 \\ -12 & -5 & -8 & 5 & 1\end{array}\right)$ ;

(з)

$\left(\begin{array}{lllll}1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(и)

$\left(\begin{array}{llllll}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(к)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2\end{array}\right)$ ;

(л)

$\left(\begin{array}{ccccccc}1 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1\end{array}\right)$ .

Задача 7.2

Найти ранг следующих матриц при различных значениях параметра $\lambda$ :

?

(а)

$\left(\begin{array}{ccc}7-\lambda & -12 & 6 \\ 10 & -19-\lambda & 10 \\ 12 & -24 & 13-\lambda \end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{cccc}1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3-\lambda \end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{rrrr}3 & 4 & 2 & 2 \\ 3 & 17 & 7 & 1 \\ 1 & 10 & 4 & \lambda \\ 4 & 1 & 1 & 3\end{array}\right) ; \quad$

(г)

$\left(\begin{array}{rrrr}1 & \lambda & -1 & 2 \\ 2 & -1 & \lambda & 5 \\ 1 & 10 & -6 & 1\end{array}\right)$ ;

(д)

$\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2-\lambda^{2} & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 9-\lambda^{2}\end{array}\right) ; \quad$

(е)

$\left(\begin{array}{rrrrr}-\lambda & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & -\lambda & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -\lambda & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & -\lambda & 1\end{array}\right)$ ;

(ж)

$\left(\begin{array}{cccccc}\lambda & 1 & 2 & \ldots & n-1 & 1 \\ 1 & \lambda & 2 & \ldots & n-1 & 1 \\ 1 & 2 & \lambda & \ldots & n-1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 2 & 3 & \ldots & \lambda & 1 \\ 1 & 2 & 3 & \ldots & n & 1\end{array}\right) ; \quad$

(з)

$\left(\begin{array}{ccccc}1 & \lambda & \lambda^{2} & \ldots & \lambda^{n} \\ 2 & 1 & \lambda & \ldots & \lambda^{n-1} \\ 2 & 2 & 1 & \ldots & \lambda^{n-2} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 2 & 2 & 2 & \ldots & 1\end{array}\right)$ .

Задача 7.3

Доказать, что если ранг матрицы $A$ не изменяется при добавлении к ней любого столбца матрицы $B$ с тем же числом строк, то он не меняется при добавлении к $A$ всех столбцов матрицы $B$ .

?

Задача 7.4

Доказать, что ранг произведения матриц не превосходит ранга каждой матрицы-сомножителя.

?

Задача 7.5

Доказать, что ранг матрицы $(A \mid B)$ , полученной приписыванием к матрице $A$ матрицы $B$ , не превосходит суммы рангов матриц $A$ и $B$ .

?

Задача 7.6

Доказать, что ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов этих матриц.

?

Задача 7.7

Доказать, что всякую матрицу ранга $r$ можно представить в виде суммы $r$ матриц ранга 1, но нельзя представить в виде суммы меньшего числа таких матриц.

?

Задача 7.8

Доказать, что если ранг матрицы равен $r$ , то минор, стоящий на пересечении любых $r$ линейно независимых строк и линейно независимых столбцов, отличен от 0.

?

Задача 7.9

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n>1$ и $r$ — её ранг. Найти ранг присоединённой матрицы $\hat{A}=\left(A_{i j}\right)$ , где $A_{i j}$ — алгебраическое дополнение элемента $a_{j i}$ матрицы $A$ .

?

Задача 7.10

Пусть $A$ и $B$ — матрицы с вещественными элементами с одинаковым числом строк. Доказать, что

r\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ 2 A & -5 B \end{smallmatrix}\right]=r(A)+r(B)

?

Задача 7.11

Пусть $A$ и $B$ — квадратные матрицы одного порядка. Доказать, что

r\left[\begin{smallmatrix} A & A B \\ B & B+B^{2} \end{smallmatrix}\right]=r(A)+r(B)

?

Задача 7.12

Доказать, что каждая матрица ранга 1 имеет вид

\left[\begin{smallmatrix} b_{1} c_{1} & b_{1} c_{2} & \ldots & b_{1} c_{n} \\ b_{2} c_{1} & b_{2} c_{2} & \ldots & b_{2} c_{n} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\ b_{m} c_{1} & b_{m} c_{2} & \ldots & b_{m} c_{n} \end{smallmatrix}\right]={ }^{t} B \cdot C

где $\quad B=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{m}\right), \quad C=\left(c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n}\right)$ .

?

Задача 7.13

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{k}$ — матрицы с одинаковым числом строк, $C=\left(c_{i j}\right)$ — невырожденная матрица порядка $k$ . Доказать, что ранг матрицы

\left[\begin{smallmatrix} c_{11} A_{1} & c_{12} A_{2} & \ldots & c_{1 k} A_{k} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\ c_{k 1} A_{1} & c_{k 2} A_{2} & \ldots & c_{k k} A_{k} \end{smallmatrix}\right]

равен сумме рангов матриц $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{k}$ .

?

Задача 7.14

Доказать, что прямоугольная матрица $\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ , где $A$ невырожденная матрица порядка $n$ , имеет ранг $n$ в том и только том случае, когда $D=C A^{-1} B$ ; при этом

\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix}\right]=\binom {A}{C}\left[\begin{smallmatrix} E_{n} & A^{-1} B \end{smallmatrix}\right]

?

Задача 7.15

Доказать, что каждую невырожденную матрицу с помощью элементарных преобразований II типа со строками можно привести к виду

\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & d \end{smallmatrix}\right].

?

Задача 7.16

Доказать, что матрица с определителем, равным 1, является произведением элементарных матриц вида $E+\lambda E_{i j}, \quad i \neq j$ .

?

Задача 7.17

Доказать, что если строки (столбцы) матрицы $A$ линейно зависимы, то с помощью элементарньх преобразований II типа со строками и столбцами матрицу $A$ можно привести к виду

\left[\begin{smallmatrix} E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]

где $E_{r}$ — единичная матрица порядка $r$ .

?

Задача 7.18

Пусть $A$ и $B$ — матрицы размеров $m \times n, n \times t$ и рангов $r(A), r(B)$ соответственно. Доказать, что ранг матрицы $A B$ не меньше, чем $r(A)+r(B)-n$ .

?

Задача 7.19

Доказать, что всякую матрицу элементарными преобразованиями над строками можно привести к виду

\left[\begin{smallmatrix} 0 & \ldots & 0 & 1 & * & \ldots & * & 0 & * & \ldots & * & 0 & * & \ldots & * & 0 & * & \ldots & * \\ 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & * & \ldots & * & 0 & * & \ldots & * & 0 & * & \ldots & * \\ 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & * & \ldots & * & 0 & * & \ldots & * \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 0 & * & \ldots & * \\ 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & * & \ldots & * \\ 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right],

и такой вид определен однозначно.

?

Ранг матрицы