Сборник задач по алгебре/I · Основы алгебры

Глава IV

Матрицы

[81/72%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

17 · Действия над матрицами

18 · Матричные уравнения. Обратная матрица

19 · Матрицы специального вида

17 · Действия над матрицами[29/79%]

Задача 17.1

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)

Перемножить матрицы:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$\left(\begin{array}{cc}1 & n \\ 0 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc}1 & m \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{rr}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}\cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{rrr}3 & -4 & 5 \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & -5 & -1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc}3 & 29 \\ 2 & 18 \\ 0 & -3\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{rrr}1 & 5 & 3 \\ 2 & -3 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}2 & -3 & 5 \\ -1 & 4 & -2 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right)$ ;

(д)

$\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right)$ ;

(е)

$\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & -3 \\ 2 & -2 & 6\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}1 & 5 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right)$ ;

(ж)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right)$ ;

(з)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 1\end{array}\right)$ .

Задача 17.2

(а)(б)

Выполнить действия:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$\left(\begin{array}{llll}3 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 & 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rrr}-2 & 0 & -3 \\ 0 & 6 & -3 \\ 5 & -2 & 8\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rrrr}0 & -4 & 6 & 1 \\ 2 & 2 & -5 & -2 \\ 2 & -2 & 6 & 4 \\ 1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right)$ .

Задача 17.3

(а)(б)(в)(г)

Вычислить:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1\end{array}\right)^{2}$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)^{2}$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right)^{2}$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)^{2}$ .

Задача 17.4

(а)(б)(в)

Вычислить:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$\left(\begin{array}{rr}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)^{n}$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{array}\right)^{n}$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 5 & 3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}3 & -1 \\ -5 & 2\end{array}\right)^{n}$ .

Задача 17.5

(а)(б)

Вычислить значение многочлена $f(x)$ от матрицы $A$ :

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$f(x)=x^{3}-2 x^{2}+1, \quad A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ;

(б)

$f(x)=x^{3}-3 x+2, \quad A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)$ .

Задача 17.6

Доказать, что если матрицы $A$ и $B$ перестановочны, то

(A+B)^{n}=\sum _{i=0}^{n}\binom {n}{i} A^{i} B^{n-i}

Привести пример двух матриц $A, B$ , для которых эта формула неверна.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.7

Вычислить степени квадратной матрицы

H=\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right]

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.8

Пусть задана квадратная матрица

J=\left[\begin{smallmatrix} \lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \lambda \end{smallmatrix}\right]

размера $n$ . Доказать, что если $f(x)$ — многочлен, то

f(J)=\left[\begin{smallmatrix} f(\lambda ) & \frac{f^{\prime }(\lambda )}{1!} & \frac{f^{\prime \prime }(\lambda )}{2!} & \ldots & \frac{f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!} & \frac{f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!} \\ 0 & f(\lambda ) & \frac{f^{\prime }(\lambda )}{1!} & \ldots & \frac{f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!} & \frac{f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \frac{f^{\prime }(\lambda )}{1!} \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & f(\lambda ) & f(\lambda ) \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & f \end{smallmatrix}\right].

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.9

Пусть $C, A$ — квадратные матрицы одного размера и $f(x)$ — многочлен. Доказать, что $f\left(C A C^{-1}\right)=C f(A) C^{-1}$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.10

(а)(б)

Вычислить $e^{A}$ , где:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$A=\left(\begin{array}{rr}2 & 1 \\ -4 & -2\end{array}\right)$ ;

(б)

$A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ .

Задача 17.11

(а)(б)

Вычислить $\ln A$ , где:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$A=\left(\begin{array}{rr}3 & 1 \\ -4 & -1\end{array}\right)$ ;

(б)

$A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1\end{array}\right)$ .

Задача 17.12

Пусть $A=\left(a_{i j}\right)$ — матрица размера $m \times n$ . Доказать, что

A=\sum _{i, j} a_{i j} E_{i j}

где $E_{i j}$ — матричные единицы.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.13

Доказать, что $E_{i j} E_{p q}=\delta_{j p} E_{i q}$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.14

Пусть $A$ — произвольная матрица. Вычислить $E_{i j} A$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.15

Пусть $A$ — произвольная матрица. Вычислить $A E_{i j}$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.16

Пусть $A$ — квадратная матрица, причём $E_{i j} A=A E_{i j}$ для всех матричных единиц $E_{i j}$ . Доказать, что $A=\lambda E$ для некоторого скаляра $\lambda$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.17

Пусть $A$ — квадратная матрица, причём $E_{i i} A=A E_{i i}$ для всех $i$ . Доказать, что матрица $A$ диагональна.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.18

Пусть квадратная матрица $A$ перестановочна со всеми невырожденными матрицами. Доказать, что $A=\lambda E$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.19

Найти все матрицы $A$ порядка $n$ такие, что $\operatorname {tr} A X=0$ для любой матрицы $X$ порядка $n$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.20

Доказать, что след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.21

Доказать, что если $C$ — невырожденная матрица, то для любой матрицы $A$ того же порядка $\operatorname {tr} C A C^{-1}=\operatorname {tr} A$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.22

При каких $\lambda$ имеет решение уравнение

[X, Y]=\lambda E

$([X, Y]$ — коммутатор матриц $X$ и $Y)$ ?

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.23

(а)(б)

Доказать, что для любых квадратных матриц $A, B, C$ выполняются равенства:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$[A, B C]=[A, B] C+B[A, C]$ ;

(б)

$[[A, B], C]+[[B, C], A]+[[C, A], B]=0$ .

Задача 17.24

Доказать,что для любых матриц порядка 2 выполняется равенство $\left[[A, B]^{2}, C\right]=0$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.25

Пусть $A, B, \ldots , D_{1}$ — квадратные матрицы одного порядка. Выразить произведение матриц

\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix}\right] \cdot \left[\begin{smallmatrix} A_{1} & B_{1} \\ C_{1} & D_{1} \end{smallmatrix}\right]

через заданные матрицы.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.26

Пусть $A$ — треугольная вещественная матрица, перестановочная с ${ }^{t} A$ . Доказать, что матрица $A$ диагональная.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.27

Пусть $A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {R})$ — симметричная невырожденная матрица, причём существует такое $k<n$ , что $a_{i j}=0$ при $\left|i-j\right| \geqslant k$ . Предположим, что $A={ }^{t} B \cdot B$ , где $B=\left(b_{i j}\right)$ — верхнетреугольная матрица. Доказать, что $b_{i j}=0$ , если $j-i \geqslant k$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.28

Доказать, что любая матрица со следом 0 является суммой коммутаторов матриц со следом 0.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 17.29

Для матрицы

\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right]

найти такие матрицы $A$ и $B$ , что

[A, X]=X, \quad [A, B]=-B, \quad [X, B]=A

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

18 · Матричные уравнения. Обратная матрица[24/83%]

Задача 18.1

(а)(б)

Решить систему матричных уравнений:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$X+Y=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right), \quad 2 X+3 Y=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) ;$

(б)

$2 X-Y=\left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right), \quad -4 X+2 Y=\left(\begin{array}{rr}0 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right)$ .

Задача 18.2

Доказать, что квадратная матрица $X$ порядка 2 является решением уравнения

X^{2}-(\operatorname {tr} X) X+\operatorname {det} X=0

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 18.3

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)(к)(л)(м)(н)(о)

Решить матричные уравнения

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ;

(б)

$X\left(\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ 3 & -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-2 & -1 \\ 3 & 4\end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 4 & -2\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 6\end{array}\right) ; \quad$

(г)

$X\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 4 & -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 6 & 2\end{array}\right) ;$

(д)

$\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 2 & 1\end{array}\right) X\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}3 & 3 \\ 2 & 2\end{array}\right)$ ;

(е)

$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -3 \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & 0\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{rrr}1 & -3 & 0 \\ 10 & 2 & 7 \\ 10 & 7 & 8\end{array}\right)$ ;

(ж)

$X\left(\begin{array}{rrr}5 & 3 & 1 \\ 1 & -3 & -2 \\ -5 & 2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-8 & 3 & 0 \\ -5 & 9 & 0 \\ -2 & 15 & 0\end{array}\right)$ ;

(з)

$\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 1 & \ldots & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & \ldots & 1\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 0 & 1 & 2 & \ldots & n-1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1\end{array}\right)$ ;

(и)

$X\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 5\end{array}\right)$ ;

(к)

$\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 1\end{array}\right)$ ;

(л)

$\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) X\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ;

(м)

$X\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right)$ ;

(н)

$\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ;

(о)

$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{rrr}5 & -1 & 2 \\ -6 & 4 & 6 \\ -2 & 0 & 7\end{array}\right)$ .

Задача 18.4

Пусть $A, B$ — матрицы размеров $m \times n$ и $m \times k$ соответственно. Доказать, что матричное уравнение $A X=B$ , где $X$ — матрица размера $n \times k$ , имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы $A$ совпадает с рангом расширенной матрицы $(A \mid B)$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 18.5

Пусть $A$ — квадратная матрица. Доказать, что матричное уравнение $A X=B$ имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица $A$ невырождена.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 18.6

Пусть $A$ — матрица размера $n \times m$ , причём $m \neq n$ . Доказать, что для любого натурального числа $k$ существует такая матрица $B$ размера $n \times k$ , что матричное уравнение $A X=B$ не имеет единственного решения.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 18.7

Доказать, что система уравнений

\sum _{j=1}^{n} a_{i j} X_{j}=B_{i}, \quad i=1,2, \ldots , n

где $X_{j}$ и $B_{i}$ — матрицы порядка $p \times q$ , имеет единственное решение тогда и только тогда, когда $\operatorname {det}\left(a_{i j}\right) \neq 0$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 18.8

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)(к)(л)

С помощью присоединенной матрицы найти обратную к матрице:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 2\end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 7\end{array}\right)$ ;

(д)

$\left(\begin{array}{rrr}5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ ;

(е)

$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(ж)

$\left(\begin{array}{lll}6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 5\end{array}\right)$ ;

(з)

$\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right)$ ;

(и)

$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 3\end{array}\right)$ ;

(к)

$\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ;

(л)

$\left(\begin{array}{rr}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$ .

Задача 18.9

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)(к)(л)

Найти с помощью элементарных преобразований обратную к матрице:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right) ;$

(б)

$\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{llll}2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{rrrr}0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0\end{array}\right)$ ;

(д)

$\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 1 & \ldots & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & \ldots & 1\end{array}\right)$ ;

(е)

$\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1\end{array}\right)$ ;

(ж)

$\left(\begin{array}{rrr}2 & 5 & 7 \\ 6 & 3 & 4 \\ 5 & -2 & -3\end{array}\right)$ ;

(з)

$\left(\begin{array}{rrr}3 & -4 & 5 \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & -5 & -1\end{array}\right)$ ;

(и)

$\left(\begin{array}{lll}2 & 7 & 3 \\ 3 & 9 & 4 \\ 1 & 5 & 3\end{array}\right)$ ;

(к)

$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1\end{array}\right) ;$

(л)

$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 & -6\end{array}\right)$ .

Задача 18.10

(а)(б)

Найти обратную к квадратной матрице:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$\left(\begin{array}{ll}A & 0 \\ B & C\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & C\end{array}\right)$ ; где $A, C$ — невырожденные матрицы.

Задача 18.11

(а)(б)

Найти обратную к матрице:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{rrrr}2 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right)$ .

Задача 18.12

Пусть $A, B, C, D$ — невырожденные матрицы. Доказать, что

\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix}\right]^{-1}=\left[\begin{smallmatrix} \left(A-B D^{-1} C\right)^{-1} & \left(C-D B^{-1} A\right)^{-1} \\ \left(B-A C^{-1} D\right)^{-1} & \left(D-C A^{-1} B\right)^{-1} \end{smallmatrix}\right]

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 18.13

(а)(б)

Какие значения может принимать определитель

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

ортогональной матрицы;

(б)

унитарной матрицы?

Задача 18.14

Чему равен определитель целочисленной матрицы $A$ , если матрица $A^{-1}$ также целочисленная?

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 18.15

(а)(б)

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n$ , элементы которой — многочлены от переменной $t$ , и $\operatorname {det} A$ — ненулевой многочлен. Доказать, что существует единственная матрица $B$ , элементы которой — многочлены от $t$ , такая, что $A B=B A=(\operatorname {det} A) E$ . Найти $B$ , если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$A=\left(\begin{array}{cc}1-t & 1+t \\ 1+t^{2} & t^{3}\end{array}\right)$ ;

(б)

$A=\left(\begin{array}{ccc}t & 1 & t \\ -1 & 1 & 1 \\ -t & 1 & t\end{array}\right)$ .

Задача 18.16

(а)(б)

Доказать, что в кольце матриц над полем:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

обратимая матрица не является делителем нуля;

(б)

любая матрица либо обратима, либо является левым и правым делителем нуля.

Задача 18.17

Доказать, что если матрица $E+A B$ обратима, то матрица $E+B A$ также обратима.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 18.18

Пусть $A$ и $B$ — матрицы размеров $n \times m$ и $m \times n$ , причём $A B$ и $B A$ — единичные матрицы размеров $n$ и $m$ . Доказать, что $m=n$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 18.19

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ , имеющая ранг $m$ . Доказать, что существует такая матрица $X$ размера $n \times m$ , что $A X$ единичная матрица размера $m$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 18.20

(а)(б)(в)(г)

Как изменится матрица $A^{-1}$ , если в $A$ :

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

переставить $i$ -ю и $j$ -ю строки;

(б)

к $i$ -й строке прибавить $j$ -ю, умноженную на $c$ ;

(в)

умножить $i$ -ю строку на число $c \neq 0$ ;

(г)

преобразования а)-в) совершить со столбцами?

Задача 18.21

Доказать, что $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 18.22

Пусть $\widehat{X}$ — присоединенная матрица (см. 16.4) для квадратной матрицы $X$ . Доказать, что

\widehat{A B}=\widehat{B} \widehat{A}, \quad \widehat{A^{-1}}=(\widehat{A})^{-1}, \quad \widehat{\left({ }^{t} A\right)}={ }^{t}(\widehat{A})

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 18.23

Пусть $B$ и $C$ — строки длины $n$ , причём $C^{t} B \neq -1$ и $E$ единичная матрица размера $n$ . Доказать, что матрица $E+{ }^{t} B C$ обратима.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 18.24

Пусть $B, C$ — строки длины $n$ , причём $C^{t} B=-1$ , и $E-$ единичная матрица размера $n$ . Доказать, что ранг матрицы $E+{ }^{t} B C$ равен $n-1$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

19 · Матрицы специального вида[28/54%]

Задача 19.1

Доказать, что $E_{i i}-E_{j j}=\left[E_{i j}, E_{j i}\right]$ при $i \neq j$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.2

(а)(б)

Представить в виде произведения элементарных матриц матрицу:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 4 & 5\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ .

Задача 19.3

(а)(б)(в)(г)

Используя свойства элементарных матриц, перемножить матрицы:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right) ;$

(б)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ .

Задача 19.4

(а)(б)(в)(г)(д)

Доказать следующие свойства операции транспонирования:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

${ }^{t}(A+B)={ }^{t} A+{ }^{t} B$ ;

(б)

${ }^{t}(\lambda A)=\lambda^{t} A$ ;

(в)

${ }^{t}(A B)={ }^{t} B \cdot { }^{t} A$ ;

(г)

$\left({ }^{t} A\right)^{-1}={ }^{t}\left(A^{-1}\right)$ ;

(д)

${ }^{t}\left({ }^{t} A\right)=A$ .

Задача 19.5

Доказать, что всякая матрица может быть единственным образом представлена в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.6

(а)(б)

Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

если матрицы $A$ и $B$ ортогональны, то матрицы $A^{-1}$ и $A B$ также ортогональны;

(б)

если комплексные матрицы $A$ и $B$ унитарны, то матрицы $A^{-1}$ и $A B$ также унитарны.

Задача 19.7

(а)(б)

Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

произведение двух симметрических или кососимметрических матриц является симметрической матрицей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны;

(б)

произведение симметрической и кососимметрической матриц является кососимметрической матрицей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны.

Задача 19.8

При каком условии произведение двух эрмитовых или косоэрмитовых матриц является эрмитовой матрицей?

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.9

Доказать, что для любой квадратной комплексной матрицы $X$ существует матрица $Y$ такая, что $X Y X=X, Y X Y=Y$ , и матрицы $X Y$ и $Y X$ эрмитовы.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.10

Доказать, что матрица, обратная к симметрической или кососимметрической, является симметрической или кососимметрической.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.11

Доказать, что если матрицы $A$ и $B$ обе симметрические или кососимметрические, то их коммутатор $[A, B]$ — кососимметрическая матрица.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.12

Верно ли, что всякая кососимметрическая матрица является суммой коммутаторов кососимметрических матриц?

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.13

Найти все симметрические ортогональные и кососимметрические ортогональные матрицы порядка 2.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.14

Найти все нижние нильтреугольные матрицы, коммутирующие со всеми нижними нильтреугольными матрицами того же порядка.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.15

Доказать, что сумма двух коммутирующих нильпотентных матриц является нильпотентной матрицей. Верно ли это утверждение, если матрицы не коммутируют?

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.16

Доказать, что если матрицы $A, B$ и $[A, B]$ нильпотентные и матрицы $A$ и $B$ коммутируют с матрицей $[A, B]$ , то матрица $A+B$ нильпотентна.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.17

Доказать, что если матрица $A$ порядка 2 нильпотентна, то $A^{2}=0$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.18

Доказать, что всякая нижняя нильтреугольная матрица нильпотентна.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.19

Доказать, что если матрица $A$ нильпотентна, то матрицы $E-A$ и $E+A$ обратимы.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.20

Доказать, что если матрица $A$ нильпотентна и многочлен $f(t)$ имеет свободный член, отличный от 0, то матрица $f(A)$ обратима.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.21

Решить уравнение $A X+X+A=0$ , где $A$ — нильпотентная матрица.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.22

Доказать, что нильпотентная матрица порядка 2 имеет нулевой след.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.23

Доказать, что произведение двух коммутирующих периодических матриц является периодической матрицей. Верно ли это утверждение, если матрицы не коммутируют?

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.24

Доказать, что матрица $C A C^{-1}$ является нильпотентной или периодической тогда и только тогда, когда матрица $A$ является нильпотентной или периодической.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.25

(а)(б)(в)

Пусть $\sigma$ — перестановка на множестве $\left\{ 1,2, \ldots , n\right\}$ и $A_{\sigma }=\left(\delta_{i \sigma (j)}\right)\left(\delta_{i j}\right.$ — символ Кронекера). Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(а)

матрица $A_{\sigma }$ периодическая;

(б)

для любых перестановок $\sigma$ и $\tau A_{\sigma \tau }=A_{\sigma } A_{\tau }$ ;

(в)

$A_{\sigma }$ может быть представлена в виде произведения не более чем $n-1$ элементарных матриц.

Задача 19.26

Доказать, что произведение верхнетреугольных матриц является верхнетреугольной матрицей.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.27

Доказать, что матрица, обратная к унитреугольной, является унитреугольной.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 19.28

Пусть $A, B, C, D$ — квадратные комплексные матрицы размера $n$ , причём $C D=D C$ . Доказать, что

\operatorname {det}\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix}\right] \neq 0 \Longleftrightarrow \operatorname {det}(A D-B C) \neq 0

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника