20

Комплексные числа в алгебраической форме

[11/73%]
Показать
LaTeX
Задача 20.1

Вычислить выражения:

?
(а)

(2+i)(3−i)+(2+3i)(3+4i)(2+i)(3-i)+(2+3 i)(3+4 i);

(б)

(2+i)(3+7i)−(1+2i)(5+3i)(2+i)(3+7 i)-(1+2 i)(5+3 i);

(в)

(4+i)(5+3i)−(3+i)(3−i)(4+i)(5+3 i)-(3+i)(3-i);

(г)

(5+i)(7−6i)3+i\frac{(5+i)(7-6 i)}{3+i};

(д)

(5+i)(3+5i)2i\frac{(5+i)(3+5 i)}{2 i};

(е)

(1+3i)(8−i)(2+i)2\frac{(1+3 i)(8-i)}{(2+i)^{2}};

(ж)

(2+i)(4+i)1+i\frac{(2+i)(4+i)}{1+i};

(з)

(3−i)(1−4i)2−i\frac{(3-i)(1-4 i)}{2-i};

(и)

(2+i)3+(2−i)3(2+i)^{3}+(2-i)^{3};

(к)

(3+i)3−(3−i)3(3+i)^{3}-(3-i)^{3};

(л)

(1+i)5(1−i)3\frac{(1+i)^{5}}{(1-i)^{3}};

(м)

(−12+32i)3\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^{3};

(н)

(−12−32i)3\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^{3}.

Задача 20.2

Вычислить i77,i98,i−57,ini^{77}, i^{98}, i^{-57}, i^{n}, где nn — целое число.

?
Задача 20.3

Доказать равенства:

?
(а)

(1+i)8n=24n,n∈Z(1+i)^{8 n}=2^{4 n}, \quad n \in \mathbb {Z};

(б)

(1+i)4n=(−1)22n,n∈Z(1+i)^{4 n}=(-1) 2^{2 n}, \quad n \in \mathbb {Z}.

Задача 20.4

Решить систему уравнений:

?
(а)

{(1+i)z1+(1−i)z2=1+i,(1−i)z1+(1+i)z2=1+3i;\begin{cases} (1+i) z_{1}+(1-i) z_{2}=1+i, \\ (1-i) z_{1}+(1+i) z_{2}=1+3 i ; \end{cases}

(б)

{iz1+(1+i)z2=2+2i,2iz1+(3+2i)z2=5+3i;\begin{cases} i z_{1}+(1+i) z_{2}=2+2 i, \\ 2 i z_{1}+(3+2 i) z_{2}=5+3 i ; \end{cases}

(в)

{(1−i)z1−3iz2=−i,2z1−(3+3i)z2=3−i;\begin{cases} (1-i) z_{1}-3 i z_{2}=-i, \\ 2 z_{1}-(3+3 i) z_{2}=3-i ; \end{cases}

(г)

{2z1−(2+i)z2=−i,(4−2i)z1−5z2=−1−2i;\begin{cases} 2 z_{1}-(2+i) z_{2}=-i, \\ (4-2 i) z_{1}-5 z_{2}=-1-2 i ; \end{cases}

(д)

{x+iy−2z=10,x−y+2iz=20,ix+3iy−(1+i)z=30.\begin{cases} x+i y-2 z=10, \\ x-y+2 i z=20, \\ i x+3 i y-(1+i) z=30. \end{cases}

Задача 20.5

Найти вещественные числа xx и yy, удовлетворяющие уравнению:

?
(а)

(2+i)x+(1+2i)y=1−4i(2+i) x+(1+2 i) y=1-4 i;

(б)

(3+2i)x+(1+3i)y=4−9i(3+2 i) x+(1+3 i) y=4-9 i.

Задача 20.6

Доказать, что:

?
(а)

комплексное число zz является вещественным тогда и только тогда, когда zˉ=z\bar{z}=z;

(б)

комплексное число zz является чисто мнимым тогда и только тогда, когда zˉ=−z\bar{z}=-z.

Задача 20.7

Доказать, что:

?
(а)

произведение двух комплексных чисел является вещественным тогда и только тогда, когда одно из них отличается от сопряжённого к другому вещественным множителем;

(б)

сумма и произведение двух комплексных чисел являются вещественными тогда и только тогда, когда данные числа или сопряжены, или оба вещественны.

Задача 20.8

Найти все комплексные числа, сопряжённые:

?
(а)

своему квадрату;

(б)

своему кубу.

Задача 20.9

Доказать, что если из данных комплексных чисел z1,z2,…,znz_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n} при применении конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления получается число zz, то из чисел zˉ1,zˉ2,…,zˉn\bar{z}_{1}, \bar{z}_{2}, \ldots , \bar{z}_{n} при применении тех же операций получается число zˉ\bar{z}.

?
Задача 20.10

Доказать, что определитель

[z1zˉ1az2zˉ2bz3zˉ3c] \left[\begin{smallmatrix} z_{1} & \bar{z}_{1} & a \\ z_{2} & \bar{z}_{2} & b \\ z_{3} & \bar{z}_{3} & c \end{smallmatrix}\right]

где z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3} — комплексные и a,b,ca, b, c — вещественные числа, является чисто мнимым числом.

?
Задача 20.11

Решить уравнения:

?
(а)

z2=iz^{2}=i;

(б)

z2=3−4iz^{2}=3-4 i;

(в)

z2=5−12iz^{2}=5-12 i;

(г)

z2−(1+i)z+6+3i=0z^{2}-(1+i) z+6+3 i=0;

(д)

z2−5z+4+10i=0z^{2}-5 z+4+10 i=0;

(е)

z2+(2i−7)z+13−i=0z^{2}+(2 i-7) z+13-i=0.