Комплексные числа в тригонометрической форме

5 ;

$i$;

-2 ;

$-3 i$;

$1+i$;

$1-i$;

$1+i \sqrt{3}$;

$-1+i \sqrt{3}$;

$-1-i \sqrt{3}$;

$1-i \sqrt{3}$;

$\sqrt{3}+i$;

$-\sqrt{3}+i$;

$-\sqrt{3}-i$;

$\sqrt{3}-i$;

$1+i \frac{\sqrt{3}}{3}$;

$2+\sqrt{3}+i$;

$1-(2+\sqrt{3}) i$;

$\cos \alpha -i \sin \alpha$;

$\sin \alpha +i \cos \alpha$;

$\frac{1+i \operatorname {tg} \alpha }{1-i \operatorname {tg} \alpha }$;

$1+\cos \varphi +i \sin \varphi , \quad \varphi \in [-\pi , \pi ] ;$

$\frac{\cos \varphi +i \sin \varphi }{\cos \psi +i \sin \psi }$.

$(1+i)^{1000}$;

$(1+i \sqrt{3})^{150}$;

$(\sqrt{3}+i)^{30}$;

$\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{24}$;

$(2-\sqrt{3}+i)^{12}$;

$\left(\frac{1-i \sqrt{3}}{1+i}\right)^{12}$;

$\left(\frac{\sqrt{3}+i}{1-i}\right)^{30}$;

$\frac{(-1+i \sqrt{3})^{15}}{(1-i)^{20}}+\frac{(-1-i \sqrt{3})^{15}}{(1+i)^{20}}$.

$\left|z\right|+z=8+4 i$;

$\left|z\right|-z=8+12 i$.

$\left|z_{1} \pm z_{2}\right| \leqslant \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$;

$\left|\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|\right| \leqslant \left|z_{1} \pm z_{2}\right|$;

$\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$ тогда и только тогда, когда векторы $z_{1}$ и $z_{2}$ имеют одинаковые направления;

$\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|\right|$ тогда и только тогда, когда векторы $z_{1}$ и $z_{2}$ имеют противоположные направления.

если $\left|z\right|<1$, то $\left|z^{2}-z+i\right|<3$;

если $\left|z\right| \leqslant 2$, то $1 \leqslant \left|z^{2}-5\right| \leqslant 9$;

если $\left|z\right|<1 / 2$, то $\left|(1+i) z^{3}+i z\right|<3 / 4$.

$(1+i)^{n}$;

$\left(\frac{1-i \sqrt{3}}{2}\right)^{n}$;

$\left(\frac{1-i \operatorname {tg} \alpha }{1+i \operatorname {tg} \alpha }\right)^{n}$;

$(1+\cos \varphi +i \sin \varphi )^{n}$.

$\sin 4 x$;

$\cos 4 x ;$

$\sin 5 x$;

$\cos 5 x$.

$\cos n x=\sum_{k=0}^{[n / 2]}(-1)^{k}\binom {n}{2 k} \cos^{n-2 k} x \cdot \sin^{2 k} x$;

$\sin n x=\sum_{k=0}^{[(n-1) / 2]}(-1)^{k}\binom {n}{2 k+1} \cos^{n-2 k-1} x \cdot \sin^{2 k+1} x$.

$\sin^{4} x$;

$\cos^{4} x$;

$\sin^{5} x$;

$\cos^{5} x$.

$\cos^{2 m} x=\frac{1}{2^{2 m-1}}\left[\sum_{k=0}^{m-1}\binom {2 m}{k} \cos (2 m-2 k) x+\frac{1}{2}\binom {2 m}{m}\right]$;

$\cos^{2 m+1} x=\frac{1}{2^{2 m}} \sum_{k=0}^{m}\binom {2 m+1}{k} \cos (2 m+1-2 k) x$;

$\sin^{2 m} x=$

$\sin^{2 m+1} x=\frac{(-1)}{2^{2 m}} \sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\binom {2 m+1}{k} \sin (2 m+1-2 k) x$.