Банк задач по математике

Задача 22.1

Доказать, что если комплексное число $z$ является одним из корней степени $n$ из числа вещественного $a$ , то и сопряжённое число $\bar{z}$ является одним из корней степени $n$ из $a$ .

?

Задача 22.2

Доказать, что если $\sqrt[n]{z}=\left\{ z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}\right\}$ , то $\sqrt[n]{\bar{z}}=\left\{ \bar{z}_{1}, \bar{z}_{2}, \ldots , \bar{z}_{n}\right\}$ .

?

Задача 22.3

Какие из множеств $\sqrt[n]{z}$ содержат хотя бы одно вещественное число?

?

Задача 22.4

(а)(б)(в)

Пусть $z$ и $w$ — комплексные числа. Доказать равенства [^fn1]:

?

(а)

$\sqrt[n]{z^{n} w}=z \sqrt[n]{w}$ ;

(б)

$\sqrt[n]{-z^{n} w}=-z \sqrt[n]{w}$ ;

(в)

$\sqrt[n]{z w}=u \sqrt[n]{w}$ , где $u$ — одно из значений $\sqrt[n]{z}$ .

Задача 22.5

Доказать, что объединение множеств $\sqrt[n]{z}$ и $\sqrt[n]{-z}$ есть множество $\sqrt[2 n]{z^{2}}$ .

?

Задача 22.6

Верно ли равенство $\sqrt[n s]{z^{s}}=\sqrt[n]{z}(s>1)$ ?

?

Задача 22.7

Вычислить:

?

(а)

$\sqrt[6]{i}$ ;

(б)

$\sqrt[10]{512(1-i \sqrt{3})}$ ;

(в)

$\sqrt[8]{2 \sqrt{2}(1-i)}$ ;

(г)

$\sqrt[3]{1}$ ;

(д)

$\sqrt[4]{1}$ ;

(е)

$\sqrt[6]{1}$ ;

(ж)

$\sqrt[3]{i}$ ;

(з)

$\sqrt[4]{-4}$ ;

(и)

$\sqrt[6]{64}$ ;

(к)

$\sqrt[8]{16}$ ;

(л)

$\sqrt[6]{-27}$ ;

(м)

$\sqrt[4]{8 \sqrt{3} i-8}$ ;

(н)

$\sqrt[4]{-72(1-i \sqrt{3})}$ ;

(о)

$\sqrt[3]{1+i}$ ;

(п)

$\sqrt[3]{2-2 i}$ ;

(р)

$\sqrt[4]{-\frac{18}{1+i \sqrt{3}}}$ ;

(с)

$\sqrt[4]{\frac{7-2 i}{1+i \sqrt{2}}+\frac{4+14 i}{\sqrt{2}+2 i}-(8-2 i)}$ ;

(т)

$\sqrt[3]{\frac{1-5 i}{1+i}-5 \frac{1+2 i}{2-i}+2}$ ;

(у)

$\sqrt[4]{\frac{-2+2 \sqrt{3} i}{2+i \sqrt{5}}-5 \frac{\sqrt{3}+i}{2 \sqrt{5}+5 i}}$ .

Задача 22.8

(а)(б)(в)(г)

Найти двумя способами корни степени 5 из единицы и выразить в радикалах:

?

(а)

$\cos \frac{2 \pi }{5}$ ;

(б)

$\sin \frac{2 \pi }{5} ;$

(в)

$\cos \frac{4 \pi }{5}$ ;

(г)

$\sin \frac{4 \pi }{5}$ .

Задача 22.9

(а)(б)(в)

Решить уравнения:

?

(а)

$(z+1)^{n}+(z-1)^{n}=0$ ;

(б)

$(z+1)^{n}-(z-1)^{n}=0$ ;

(в)

$(z+i)^{n}+(z-i)^{n}=0$ .

Задача 22.10

Выразить в радикалах вещественные и мнимые части корней из единицы степеней $2,3,4,6,8,12$ .

?

Задача 22.11

Найти произведение всех корней степени $n$ из единицы.

?

Задача 22.12

Пусть $\varepsilon_{k}=\cos \frac{2 \pi k}{n}+i \sin \frac{2 \pi k}{n} \quad (0 \leqslant k<n)$ . Доказать, что:

?

(а)

$\sqrt[n]{1}=\left\{ \varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \ldots , \varepsilon_{n-1}\right\}$ ;

(б)

$\varepsilon_{k}=\varepsilon_{1}^{k}(0 \leqslant k<n)$ ;

(в)

$\varepsilon_{k} \varepsilon_{l}=\begin{cases} \varepsilon_{k+l}, & \text{ если } k+l<n, \\ \varepsilon_{k+l-n}, & \text{ если } k+l \geqslant n \end{cases} \quad (0 \leqslant k<n, 0 \leqslant l<n)$ ;

(г)

множество $\mathrm{U}_{n}$ корней степени $n$ из единицы является циклической группой порядка $n$ относительно умножения;

(д)

всякая циклическая группа порядка $n$ изоморфна группе $\mathbf{U}_{n}$ .

Задача 22.13

(а)(б)(в)

Доказать, что:

?

(а)

если числа $r$ и $s$ взаимно просты и $\alpha^{r}=\alpha^{s}=1$ , то $\alpha =1$ ;

(б)

если $d$ — наибольший общий делитель чисел $r$ и $s$ , то $\mathbf{U}_{r} \cap \mathbf{U}_{s}=\mathrm{U}_{d}$ ;

(в)

если числа $r$ и $s$ взаимно просты, то всякий корень из единицы степени $r s$ однозначно представляется в виде произведения корня степени $r$ на корень степени $s$ .

Задача 22.14

(а)(б)(в)

Доказать, что следующие утверждения равносильны:

?

(а)

$\varepsilon$ является первообразным корнем из единицы степени $n$ ;

(б)

порядок $\varepsilon$ в группе $\mathbf{U}_{n}$ равен $n$ ;

(в)

$\varepsilon$ является порождающим элементом группы $\mathbf{U}_{n}$ .

Задача 22.15

Доказать, что если $\varepsilon$ является первообразным корнем степени $n$ из единицы, то $\bar{\varepsilon }$ также является первообразным корнем степени $n$ из единицы.

?

Задача 22.16

Доказать, что если числа $r$ и $s$ взаимно просты, то $\varepsilon$ является первообразным корнем степени $r s$ из единицы тогда и только тогда, когда $\varepsilon$ является произведением первообразного корня степени $r$ и первообразного корня степени $s$ .

?

Задача 22.17

(а)(б)(в)

?

(а)

Пусть $z$ — первообразный корень $n$ -й степени из 1. Вычислить

1+2 z+3 z^{2}+\ldots +n z^{n-1}

(б)

Пусть $z$ — первообразный корень степени $2 n$ из 1. Вычислить

1+z+\ldots +z^{n-1}

(в)

Пусть $z$ — корень из 1 и $z^{n} \pm z^{m} \pm 1=0$ . Найти $n$ и $m$ .

Задача 22.18

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

число первообразных корней степени $n$ из единицы равно $\varphi (n)$ (см. 1.4);

(б)

если числа $m$ и $n$ взаимно просты, то $\varphi (m n)=\varphi (m) \varphi (n)$ .

Задача 22.19

Доказать, что если $z$ — первообразный корень нечётной степени $n$ из единицы, то $-z$ — первообразный корень степени $2 n$ .

?

Задача 22.20

Обозначим через $\sigma (n)$ сумму всех первообразных корней степени $n$ из единицы. Доказать, что:

?

(а)

$\sigma (1)=1$ ;

(б)

если $n>1$ , то $\sum_{d \mid n} \sigma (d)=0$ ;

(в)

$\sigma (p)=-1$ , если $p-$ простое число;

(г)

$\sigma \left(p^{k}\right)=0$ , если $p-$ простое число, $k>1$ ;

(д)

$\sigma (r s)=\sigma (r) \cdot \sigma (s)$ , если числа $r$ и $s$ взаимно просты;

(е)

функция $\sigma (n)$ совпадает с функцией Мёбиуса $\mu (n)$ .

Задача 22.21

Пусть $d$ - (положительный) наибольший общий делитель целого числа $s$ и натурального числа $n, \varepsilon_{i}$ — первообразный корень степени $n$ из единицы $(i=1,2, \ldots , \varphi (n))$ . Доказать равенство

\sum _{i=1}^{\varphi (n)} \varepsilon _{i}^{s}=\frac{\varphi (n)}{\varphi (n / d)} \mu \left(\frac{n}{d}\right)

?

Задача 22.22

Является ли число $\frac{2+i}{2-i}$ корнем некоторой степени из единицы?

?

Задача 22.23

Найти многочлены деления круга (круговые многочлены) $\Phi_{n}(x)$ для $n$ , равного:

?

(а)

1 ;

(б)

2 ;

(в)

3 ;

(г)

4;

(д)

6 ;

(е)

12 ;

(ж)

$p$ , где $p$ — простое число;

(з)

$p^{k}$ , где $p$ — простое число, $k>1$ .

Задача 22.24

Доказать следующие свойства круговых многочленов:

?

(а)

$\prod_{d \mid n} \Phi_{d}(x)=x^{n}-1$ ;

(б)

$\Phi_{2 n}(x)=\Phi_{n}(-x) \quad (n$ — нечётное число, большее 1 $)$ ;

(в)

$\Phi_{n}(x)=\prod_{d \mid n}\left(x^{d}-1\right)^{\mu (n / d)}$ ;

(г)

если $k$ делится на любой простой делитель числа $n$ , то

\Phi _{n}(x)=\Phi _{k}\left(x^{n / k}\right) ;

(д)

если $n$ делится на простое число $p$ и не делится на $p^{2}$ , то

\Phi _{n}(x)=\Phi _{n / p}\left(x^{p}\right)\left(\Phi _{n / p}(x)\right)^{-1}

Задача 22.25

Найти круговые многочлены для $n$ , равного:

?

(а)

$10$ ;

(б)

$14$ ;

(в)

$15$ ;

(г)

$30$ ;

(д)

$36$ ;

(е)

$100$ ;

(ж)

$216$ ;

(з)

$288$ ;

(и)

$1000$ .

Задача 22.26

(а)(б)(в)

Доказать, что у всякого кругового многочлена:

?

(а)

все коэффициенты — целые числа;

(б)

старший коэффициент равен 1 ;

(в)

свободный член равен -1 при $n=1$ и равен 1 при $n>1$ .

Задача 22.27

Найти сумму коэффициентов кругового многочлена $\Phi_{n}(x)$ .

?

Корни из комплексных чисел и многочлены деления круга