29

Рациональные дроби

[5/80%]
Показать
LaTeX
Задача 29.1

Представить рациональную дробь в виде суммы простейших дробей над полем комплексных чисел:

?
(а)

x2(x−1)(x+2)(x+3)\frac{x^{2}}{(x-1)(x+2)(x+3)};

(б)

1x4+4\frac{1}{x^{4}+4};

(в)

x(x2−1)2\frac{x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}};

(г)

5x2+6x−23(x−1)3(x+1)2(x−2)\frac{5 x^{2}+6 x-23}{(x-1)^{3}(x+1)^{2}(x-2)};

(д)

1(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)};

(е)

3+x(x−1)(x2+1)\frac{3+x}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)};

(ж)

x2x4−1\frac{x^{2}}{x^{4}-1};

(з)

1x3−1\frac{1}{x^{3}-1};

(и)

n!x(x−1)…(x−n)\frac{n!}{x(x-1) \ldots (x-n)};

(к)

1(x2−1)2\frac{1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}};

(л)

1(xn−1)2\frac{1}{\left(x^{n}-1\right)^{2}}.

Задача 29.2

Представить рациональную дробь в виде суммы простейших дробей над полем вещественных чисел:

?
(а)

x2x4−16\frac{x^{2}}{x^{4}-16};

(б)

1x4+4\frac{1}{x^{4}+4};

(в)

x(x+1)(x2+1)2\frac{x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)^{2}};

(г)

1(x4−1)2\frac{1}{\left(x^{4}-1\right)^{2}};

(д)

1cos⁡(narccos⁡x)\frac{1}{\cos (n \arccos x)};

(е)

1f(x)\frac{1}{f(x)}, где многочлен f(x)f(x) степени nn имеет nn различных вещест- венных корней;

(ж)

1x3−1\frac{1}{x^{3}-1};

(з)

x2x6+27\frac{x^{2}}{x^{6}+27};

(и)

2x−1x(x+1)2(x2+x+1)2\frac{2 x-1}{x(x+1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right)^{2}};

(к)

1(x4−1)2\frac{1}{\left(x^{4}-1\right)^{2}};

(л)

x2mx2n+1,m<n\frac{x^{2 m}}{x^{2 n}+1}, \quad m<n.

Задача 29.3

Разложить 1xp−x\frac{1}{x^{p}-x} на простейшие дроби над Zp\mathbf{Z}_{p}.

?
Задача 29.4

Доказать, что для любых ненулевых многочленов f,gf, g

(fg)′fg=f′f+g′g. \frac{(f g)^{\prime }}{f g}=\frac{f^{\prime }}{f}+\frac{g^{\prime }}{g}.
?
Задача 29.5

Пусть f=(x−a1)…(x−an)f=\left(x-a_{1}\right) \ldots \left(x-a_{n}\right). Доказать, что

f′f=1x−a1+…+1x−an \frac{f^{\prime }}{f}=\frac{1}{x-a_{1}}+\ldots +\frac{1}{x-a_{n}}
?