Интерполяция

Найти многочлен наименьшей степени по данной таблице его значений:

Доказать, что многочлен степени $<n$, принимающий целые значения при $n$ последовательных целых значениях переменной, принимает целые значения при всех целых значениях переменной.

Верно ли, что такой многочлен имеет целые коэффициенты?

Доказать, что всякая функция $f: F \rightarrow F$ на конечном поле $F$ из $q$ элементов однозначно представляется в виде многочлена степени $<q$.

Доказать, что многочлен степени $<n$, принимающий в точках $x_{1}, \ldots , x_{n}$ значения $y_{1}, \ldots , y_{n}$, равен

где $g(x)=\left(x-x_{1}\right) \ldots \left(x-x_{n}\right)$.

Многочлен $f(x)$ степени не выше $n-1$ принимает значения $y_{1}, \ldots , y_{n}$ в корнях степени $n$ из 1. Найти $f(0)$.

Доказать, что точки $x_{1}, \ldots , x_{n} \in \mathbb {C}$ являются вершинами правильного $n$-угольника с центром в точке $x_{0}$ тогда и только тогда, когда для любого многочлена $f(x)$ степени $<n$ выполняется равенство

Пусть все корни $x_{1}, \ldots , x_{n}$ многочлена $f(x)$ различны.

Найти многочлен степени $2 n$, дающий при делении на $x(x-2) \ldots (x-2 n)$ остаток -1.

Построить над $\mathbf{Z}_{p}$ многочлен $f(x)$ наименьшей степени с условием $f(k)=k^{-1}$ для $k=1,2, \ldots , p-1$.

Построить над $\mathbf{Z}_{7}$ многочлен $f(x)$ наименьшей степени с условием $f(0)=1, f(1)=0$ и $f(k)=k$ для $k=2,3,4,5,6$.

Пусть $\mathbb {F}_{q}$ — поле из $q>2$ элементов, $c$ — образующий циклической группы $\mathbb {F}_{q}^{*}$. Доказать, что группа подстановок $S_{q}$, реализуемая на $\mathbb {F}_{q}$, порождается отображениями $f(x)=x+1, h(x)=c x$, $g(x)=x^{q-2}$.

В условии 30.11 доказать, что знакопеременная группа $A_{q}$ порождается многочленами $c^{2} x, x+1,\left(x^{q-2}+1\right)^{q-2}$.

Пусть $k_{0}, \ldots , k_{n}$ — натуральные числа и $x_{i}, b_{i j}$ — элементы поля $F$ нулевой характеристики, где $i=0, \ldots , n, j=0, \ldots , k_{i}-1$. Предполагается, что элементы $x_{0}, \ldots , x_{n}$ различны. Доказать, что существует единственный многочлен $f(x) \in F[x]$ степени не выше $k_{0}+\ldots +k_{n}-1$ такой, что $f^{j}\left(x_{i}\right)=b_{i j}$ для всех $i, j$.

В условии задачи 30.13 положим

где $G_{i}(x)=\prod_{j \neq i}\left(x-x_{j}\right)^{k_{j}}$. Доказать, что $f(x)$ — многочлен степени не выше $k_{0}+\ldots +k_{n}-1$ и $f^{(j)}\left(x_{i}\right)=b_{i j}$ для всех $i, j$.