31

Симметрические многочлены и формулы Виета

[34/76%]
Показать
LaTeX
Задача 31.1

Построить многочлен степени 4 со старшим коэффициентом 1, имеющий:

?
(а)

корни 1,2,−3,−41,2,-3,-4;

(б)

тройной корень -1 и простой корень ii;

(в)

корни 2,−1,1+i2,-1,1+i и −i-i;

(г)

двойной корень 3 и простые корни -2 и -4.

Задача 31.2

Найти сумму квадратов и произведение всех комплексных корней многочлена:

?
(а)

3x3+2x2−13 x^{3}+2 x^{2}-1;

(б)

x4−x2−x−1x^{4}-x^{2}-x-1.

Задача 31.3

Найти сумму чисел, обратных комплексным корням многочлена:

?
(а)

3x3+2x2−13 x^{3}+2 x^{2}-1;

(б)

x4−x2−x−1x^{4}-x^{2}-x-1.

Задача 31.4

Найти значения всех элементарных симметрических многочленов от комплексных корней nn-й степени из единицы.

?
Задача 31.5

Определить λ\lambda так, чтобы один из корней многочлена x3−7x+λx^{3}-7 x+\lambda равнялся удвоенному другому.

?
Задача 31.6

Сумма двух корней многочлена 2x3−x2−7x+λ2 x^{3}-x^{2}-7 x+\lambda равна 1. Найти λ\lambda.

?
Задача 31.7

Определить соотношение между pp и qq, при выполнении которого корни x1,x2,x3x_{1}, x_{2}, x_{3} многочлена x3+px+qx^{3}+p x+q удовлетворяют условию x3=1x2+1x1x_{3}=\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{1}}.

?
Задача 31.8

Доказать, что (p−1)!≡−1( mod p)(p-1)!\equiv -1(\bmod p) тогда и только тогда, когда pp — простое число.

?
Задача 31.9

Следующие многочлены выразить в виде многочленов от элементарных симметрических многочленов:

?
(а)

x12x2+x1x22+x12x3+x1x32+x22x3+x2x32x_{1}^{2} x_{2}+x_{1} x_{2}^{2}+x_{1}^{2} x_{3}+x_{1} x_{3}^{2}+x_{2}^{2} x_{3}+x_{2} x_{3}^{2};

(б)

x14+x24+x34−2x12x22−2x12x32−2x22x32x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}-2 x_{1}^{2} x_{2}^{2}-2 x_{1}^{2} x_{3}^{2}-2 x_{2}^{2} x_{3}^{2};

(в)

(x1x2+x3x4)(x1x3+x2x4)(x1x4+x2x3)\left(x_{1} x_{2}+x_{3} x_{4}\right)\left(x_{1} x_{3}+x_{2} x_{4}\right)\left(x_{1} x_{4}+x_{2} x_{3}\right);

(г)

(x1+x2−x3−x4)(x1−x2+x3−x4)(x1−x2−x3+x4)\left(x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}\right)\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}\right)\left(x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}\right);

(д)

(x1+x2+1)(x1+x3+1)(x2+x3+1)\left(x_{1}+x_{2}+1\right)\left(x_{1}+x_{3}+1\right)\left(x_{2}+x_{3}+1\right);

(е)

(x1x2+x3)(x1x3+x2)(x2x3+x1)\left(x_{1} x_{2}+x_{3}\right)\left(x_{1} x_{3}+x_{2}\right)\left(x_{2} x_{3}+x_{1}\right);

(ж)

(2x1−x2−x3)(2x2−x1−x3)(2x3−x1−x2)\left(2 x_{1}-x_{2}-x_{3}\right)\left(2 x_{2}-x_{1}-x_{3}\right)\left(2 x_{3}-x_{1}-x_{2}\right);

(з)

(x1+x2)(x1+x3)(x1+x4)(x2+x3)(x2+x4)(x3+x4)\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{3}\right)\left(x_{1}+x_{4}\right)\left(x_{2}+x_{3}\right)\left(x_{2}+x_{4}\right)\left(x_{3}+x_{4}\right);

(и)

x15x22+x12x25+x15x32+x12x35+x25x32+x22x35x_{1}^{5} x_{2}^{2}+x_{1}^{2} x_{2}^{5}+x_{1}^{5} x_{3}^{2}+x_{1}^{2} x_{3}^{5}+x_{2}^{5} x_{3}^{2}+x_{2}^{2} x_{3}^{5};

(к)

(x1−1)(x2−1)(x3−1)\left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right)\left(x_{3}-1\right);

(л)

x12+…x_{1}^{2}+\ldots;

(м)

x13+…x_{1}^{3}+\ldots;

(н)

x12x2x3+…x_{1}^{2} x_{2} x_{3}+\ldots;

(о)

x12x22+…x_{1}^{2} x_{2}^{2}+\ldots;

(п)

x13x2x3+…;x_{1}^{3} x_{2} x_{3}+\ldots ; p) x13x22+…x_{1}^{3} x_{2}^{2}+\ldots

Задача 31.10

Найти значение симметрического многочлена FF от корней многочлена f(x)f(x) :

?
(а)

F=x13(x2+x3)+x23(x1+x3)+x33(x1+x2),f(x)=x3−x2−4x+1;F=x_{1}^{3}\left(x_{2}+x_{3}\right)+x_{2}^{3}\left(x_{1}+x_{3}\right)+x_{3}^{3}\left(x_{1}+x_{2}\right), \quad f(x)=x^{3}-x^{2}-4 x+1 ;

(б)

F=x13(x2x3+x2x4+x3x4)+x23(x1x3+x1x4+x3x4)+F=x_{1}^{3}\left(x_{2} x_{3}+x_{2} x_{4}+x_{3} x_{4}\right)+x_{2}^{3}\left(x_{1} x_{3}+x_{1} x_{4}+x_{3} x_{4}\right)+

\begin{aligned} +x_{3}^{3}\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{4}+x_{2} x_{4}\right)+x_{4}^{3}\left(x_{1} x_{2} & +x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right) \\ f(x) & =x^{4}+x^{3}-2 x^{2}-3 x+1 ; \end{aligned}
(в)

F=(x1−x2)2(x1−x3)2(x2−x3)2,f(x)=x3+a1x2+a2x+a2F=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\left(x_{1}-x_{3}\right)^{2}\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}, \quad f(x)=x^{3}+a_{1} x^{2}+a_{2} x+a_{2};

(г)

F=∑i,j=1i≠j3xi4xj,f(x)=3x3−5x2+1F=\sum_{\substack {i, j=1 \\ i \neq j}}^{3} x_{i}^{4} x_{j}, \quad f(x)=3 x^{3}-5 x^{2}+1;

(д)

F=∑1⩽i<j⩽43xi3xj,f(x)=3x4−2x3+2x2+x−1F=\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant 4}^{3} x_{i}^{3} x_{j}, \quad f(x)=3 x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2}+x-1;

(е)

F=(x12+x1x2+x22)(x22+x2x3+x32)(x12+x1x3+x32)F=\left(x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}\right)\left(x_{2}^{2}+x_{2} x_{3}+x_{3}^{2}\right)\left(x_{1}^{2}+x_{1} x_{3}+x_{3}^{2}\right), f(x)=5x3−6x2−7x−8f(x)=5 x^{3}-6 x^{2}-7 x-8.

Задача 31.11

Пусть x1,…,xnx_{1}, \ldots , x_{n} — корни многочлена xn+an−1xn−1+…+a0x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots +a_{0}. Доказать, что любой симметрический многочлен от x2,x3,…,xnx_{2}, x_{3}, \ldots , x_{n} можно представить в виде многочлена от x1x_{1}.

?
Задача 31.12

Пусть σki\sigma_{k i} — элементарный симметрический многочлен степени kk от x1,…,xi−1,xi+1,…,xnx_{1}, \ldots , x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots , x_{n}. Доказать, что

σki=σk−xiσk−1+…+(−1)k−1xik−1σ1+(−1)kxik \sigma _{k i}=\sigma _{k}-x_{i} \sigma _{k-1}+\ldots +(-1)^{k-1} x_{i}^{k-1} \sigma _{1}+(-1)^{k} x_{i}^{k}

(считается, что σm=0\sigma_{m}=0 при m>nm>n и σmi=0\sigma_{m i}=0 при m⩾nm \geqslant n).

?
Задача 31.13

Рассмотрим многочлен

λt=(1+x1t)…(1+xnt) \lambda _{t}=\left(1+x_{1} t\right) \ldots \left(1+x_{n} t\right)

от переменных x1,…,xn,tx_{1}, \ldots , x_{n}, t. Доказать, что λt=1+σ1t+σ2t2+…+σntn\lambda_{t}=1+\sigma_{1} t+\sigma_{2} t^{2}+\ldots +\sigma_{n} t^{n}.

?
Задача 31.14

Пусть λt\lambda_{t} из задачи 31.13 и sk=x1k+…+xnks_{k}=x_{1}^{k}+\ldots +x_{n}^{k}. Доказать, что

ddt(ln⁡λt)=∑k⩾0(−1)ksktk−1 \frac{d}{d t}\left(\ln \lambda _{t}\right)=\sum _{k \geqslant 0}(-1)^{k} s_{k} t^{k-1}
?
Задача 31.15

Доказать формулу Ньютона

sk−σ1sk−1+σ2sk−2+⋯+(−1)k−1σk−1s1+(−1)kkσk=0 s_{k}-\sigma _{1} s_{k-1}+\sigma _{2} s_{k-2}+\cdots +(-1)^{k-1} \sigma _{k-1} s_{1}+(-1)^{k} k \sigma _{k}=0

(считается, что σk=0\sigma_{k}=0 при k>nk>n).

?
Задача 31.16

Доказать, что в условиях задачи 31.15

sk=[σ110…002σ2σ11…00…………………………………………(k−1)σk−1σk−2σk−3…σ1kσkσk−1σk−2…σ2σ1]. s_{k}=\left[\begin{smallmatrix} \sigma _{1} & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 2 \sigma _{2} & \sigma _{1} & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \\ (k-1) \sigma _{k-1} & \sigma _{k-2} & \sigma _{k-3} & \ldots & \sigma & 1 \\ k \sigma _{k} & \sigma _{k-1} & \sigma _{k-2} & \ldots & \sigma _{2} & \sigma _{1} \end{smallmatrix}\right].
?
Задача 31.17

Доказать, что в условиях задачи 31.15

σk=1k![s110…00s2s12…00……………………………sk−1sk−2sk−3…s1k−1sksk−1sk−2…s2s1] \sigma _{k}=\frac{1}{k!}\left[\begin{smallmatrix} s_{1} & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ s_{2} & s_{1} & 2 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\ s_{k-1} & s_{k-2} & s_{k-3} & \ldots & s_{1} & k-1 \\ s_{k} & s_{k-1} & s_{k-2} & \ldots & s_{2} & s_{1} \end{smallmatrix}\right]
?
Задача 31.18

Найти sms_{m} от корней многочлена Φn(x)\Phi_{n}(x).

?
Задача 31.19

Найти s1,…,sns_{1}, \ldots , s_{n} от корней многочлена

xn+xn−11!+xn−22!+…+1n! x^{n}+\frac{x^{n-1}}{1!}+\frac{x^{n-2}}{2!}+\ldots +\frac{1}{n!}
?
Задача 31.20

Вычислить значения симметрических многочленов sks_{k} от комплексных корней kk-й степени из 1.

?
Задача 31.21

Решить над полем комплексных чисел систему уравнений:

?
(а)

{x1+x2+x3=0,x12+x22+x32=0,x13+x23+x33=24;\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, \\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0, \\ x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=24 ; \end{cases}

(б)

{x12+x22+x32=6,x13+x23+x33−x1x2x3=−4,x1x2+x1x3+x2x4=−3.\begin{cases} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=6, \\ x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}-x_{1} x_{2} x_{3}=-4, \\ x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{4}=-3. \end{cases}

Задача 31.22

Доказать, что значение от корней степени nn из 1 всякого симметрического многочлена от nn переменных с целыми коэффициентами является целым числом.

?
Задача 31.23

Пусть ζ\zeta — первообразный комплексный корень степени kk из 1. Доказать, что для любого комплексного числа aa

(x−a)(xζ−a)…(xζk−1−a)=(−1)k+1(xk−ak) (x-a)(x \zeta -a) \ldots \left(x \zeta ^{k-1}-a\right)=(-1)^{k+1}\left(x^{k}-a^{k}\right)
?
Задача 31.24

Пусть ζ\zeta — первообразный комплексный корень степени kk из 1 и f(x)f(x) — многочлен с комплексными коэффициентами. Доказать, что

?
(а)

f(x)f(xζ)…f(xζk−1)=h(xk)f(x) f(x \zeta ) \ldots f\left(x \zeta^{k-1}\right)=h\left(x^{k}\right), где h(x)h(x) — многочлен;

(б)

корнями h(x)h(x) являются в точности kk-е степени корней многочлена f(x)f(x).

Задача 31.25

Найти многочлен третьей степени, корнями которого являются:

?
(а)

кубы комплексных корней многочлена x3−x−1x^{3}-x-1;

(б)

четвертые степени комплексных корней многочлена 2x3−x2+22 x^{3}-x^{2}+2.

Задача 31.26

Найти многочлен четвертой степени, корнями которого являются:

?
(а)

квадраты комплексных корней многочлена x4+2x3−x+3x^{4}+2 x^{3}-x+3;

(б)

кубы комплексных корней многочлена x4−x−1x^{4}-x-1.

Задача 31.27
?
(а)

Пусть f(x1,…,xn)f\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) — кососимметрический многочлен от x1,…,xnx_{1}, \ldots , x_{n}. Доказать, что

f(x1,…,xn)=Δ(x1,…,xn)g(x1,…,xn), f\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)=\Delta \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) g\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right),

где Δ(x1,…,xn)\Delta \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) — определитель Вандермонда, а g(x1,…,xn)g\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) симметрический многочлен.

(б)

Пусть h(x1,…,xn)h\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) — симметрический многочлен, причём h(x1h\left(x_{1}\right., x1,x3,…,xn)=0\left.x_{1}, x_{3}, \ldots , x_{n}\right)=0. Доказать, что

h(x1,…,xn)=Δ(x1,…,xn)2u(x1,…,xn), h\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)=\Delta \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)^{2} u\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right),

где u(x1,…,xn)u\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) — симметрический многочлен.

Задача 31.28

Пусть

hk=∑1⩽i1⩽…⩽ik⩽nxi1…xik h_{k}=\sum _{1 \leqslant i_{1} \leqslant \ldots \leqslant i_{k} \leqslant n} x_{i_{1}} \ldots x_{i_{k}}

и λt\lambda_{t} из задачи 31.13. Доказать, что:

?
(а)

λt−1=∑k⩾0(−1)khktk\lambda_{t}^{-1}=\sum_{k \geqslant 0}(-1)^{k} h_{k} t^{k};

(б)

σk−h1σk−1+…+(−1)k−1hk−1σ1+(−1)khk=0,k⩾1\sigma_{k}-h_{1} \sigma_{k-1}+\ldots +(-1)^{k-1} h_{k-1} \sigma_{1}+(-1)^{k} h_{k}=0, \quad k \geqslant 1;

(в)

каждый симметрический многочлен является многочленом от h1,…,hnh_{1}, \ldots , h_{n}.

Задача 31.29

Разбиением числа nn назовем набор λ\lambda целых неотрицательных чисел λ=(λ1,…,λn)\lambda =\left(\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}\right), где λ1+…+λn=n\lambda_{1}+\ldots +\lambda_{n}=n и λ1⩾λ2⩾…⩾λn⩾0\lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \ldots \geqslant \lambda_{n} \geqslant 0. Пусть p(n)p(n) — число разбиений числа nn. Доказать, что

∏m⩾0(1−tm)−1=∑n⩾0p(n)tn. \prod _{m \geqslant 0}\left(1-t^{m}\right)^{-1}=\sum _{n \geqslant 0} p(n) t^{n}.
?
Задача 31.30

Пусть α=(α1,…,αn),α1>α2>…>αn⩾0\alpha =\left(\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}\right), \alpha_{1}>\alpha_{2}>\ldots >\alpha_{n} \geqslant 0 — набор натуральных чисел. Положим

aα(x1,…,xn)=∑σ∈Sn(sgn⁡σ)xσ(1)α1…xσ(n)αn a_{\alpha }\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)=\sum _{\sigma \in S_{n}}(\operatorname {sgn} \sigma ) x_{\sigma (1)}^{\alpha _{1}} \ldots x_{\sigma (n)}^{\alpha _{n}}

Доказать, что:

?
(а)

aα(x1,…,xn)=det⁡(x1α1…xnα1…………x1αn…xnαn)a_{\alpha }\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)=\operatorname {det}\left(\begin{array}{ccc}x_{1}^{\alpha_{1}} & \ldots & x_{n}^{\alpha_{1}} \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{\alpha_{n}} & \ldots & x_{n}^{\alpha_{n}}\end{array}\right);

(б)

если δ=(n−1,n−2,…,1,0)\delta =(n-1, n-2, \ldots , 1,0), то aδ(x1,…,xn)a_{\delta }\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) — определитель Вандермонда от xn,…,x1x_{n}, \ldots , x_{1}.

Задача 31.31

Пусть λ=(λ1,…,λn)\lambda =\left(\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}\right) — разбиение некоторого натурального числа kk. Положим

αi=λi+n−i \alpha _{i}=\lambda _{i}+n-i

для всех i,δi, \delta из задачи 31.30. Пусть

Sλ(x1,…,xn)=aαaδ S_{\lambda }\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)=\frac{a_{\alpha }}{a_{\delta }}

Доказать, что:

?
(а)

Sλ(x1,…,xn)S_{\lambda }\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) — целочисленный симметрический многочлен;

(б)

Sλ(x1,…,xn)S_{\lambda }\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) при всех λ=(λ1,…,λn)\lambda =\left(\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}\right) образуют базис линейного пространства симметрических многочленов от x1,…,xnx_{1}, \ldots , x_{n};

(в)

если λ=(1,…,1)\lambda =(1, \ldots , 1), то Sλ(x1,…,xn)=σnS_{\lambda }\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)=\sigma_{n};

(г)

если λ=(n,0…,0)\lambda =(n, 0 \ldots , 0), то Sλ(x1,…,xn)=hnS_{\lambda }\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)=h_{n} (см. 31.28).

Задача 31.32

Доказать, что:

?
(а)

∏i,j=1n(1−xiyj)−1=∑λSλ(x1,x2,…)Sλ(y1,y2,…)\prod_{i, j=1}^{n}\left(1-x_{i} y_{j}\right)^{-1}=\sum_{\lambda } S_{\lambda }\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) S_{\lambda }\left(y_{1}, y_{2}, \ldots \right);

(б)

∏i,j=1n(1+xiyj)=∑λSλ(x1,x2,…)Sλ′(y1,y2,…);\prod_{i, j=1}^{n}\left(1+x_{i} y_{j}\right)=\sum_{\lambda } S_{\lambda }\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) S_{\lambda^{\prime }}\left(y_{1}, y_{2}, \ldots \right) ; где суммирование ведётся по всем разбиениям λ=(λ1,…,λn),λ′\lambda =\left(\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}\right), \lambda^{\prime } сопряжённое разбиение, т.е. λi′\lambda_{i}^{\prime } — число таких jj, что λj⩾i\lambda_{j} \geqslant i.

Задача 31.33

Доказать, что

∑τ∈Snσk(xτ(1)y1,…,xτ(n)yn)=σk(x1,…,xn)σk(y1,…,yn) \sum _{\tau \in S_{n}} \sigma _{k}\left(x_{\tau (1)} y_{1}, \ldots , x_{\tau (n)} y_{n}\right)=\sigma _{k}\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \sigma _{k}\left(y_{1}, \ldots , y_{n}\right)
?
Задача 31.34

Пусть FF — поле дробей кольца целочисленных симметрических многочленов от x1,…,xnx_{1}, \ldots , x_{n}. Доказать, что FF совпадает с подполем в Q(x1,…,xn)\mathbb {Q}\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right), состоящим из всех симметрических рациональных дробей.

?