Банк задач по математике

Задача 33.1

Составить ряд Штурма и отделить корни многочленов:

?

(а)

$x^{3}-3 x-1$ ;

(б)

$x^{3}+x^{2}-2 x-1$ ;

(в)

$x^{3}-7 x+7$ ;

(г)

$x^{3}-x+5$ ;

(д)

$x^{3}+3 x-5$ ;

(е)

$x^{4}-12 x^{2}-16 x-4$ ;

(ж)

$x^{4}-x-1$ ;

(з)

$2 x^{4}-8 x^{3}+8 x^{2}-1$ ;

(и)

$x^{4}+x^{2}-1$ ;

(к)

$x^{4}+4 x^{3}-12 x+9$ .

Задача 33.2

Составить ряд Штурма для вещественного многочлена $x^{5}-5 a x^{3}+5 a^{2} x+2 b$ . В зависимости от знака числа $a^{5}-b^{2}$ найти число вещественных корней многочлена.

?

Задача 33.3

Составить ряд Штурма для вещественного многочлена $x^{n}+p x+q$ . В зависимости от чётности и знака числа $d=-(n-1)^{n-1} \times p^{n}-n^{n} q^{n-1}$ найти число вещественных корней многочлена.

?

Задача 33.4

Составить ряд Штурма и найти число вещественных корней многочлена

E_{n}(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\ldots +\frac{x^{n}}{n!}.

?

Задача 33.5

Доказать, что многочлен $t^{3}-3 t+r$ не может иметь более одного вещественного корня в интервале $[0,1]$ .

?

Задача 33.6

(а)(б)(в)

Предположим, что все корни многочлена $f(x) \in \mathbb {R}^{x}$ вещественны, т.е.

f(x)=a\left(x-a_{1}\right)^{k_{1}} \ldots \left(x-a_{m}\right)^{k_{m}}, \quad a \neq 0

где $a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{m}$ . Доказать, что:

?

(а)

$f^{\prime }(x)=n a\left(x-a_{1}\right)^{k_{1}-1} \ldots \left(x-a_{m}\right)^{k_{m}-1}\left(x-b_{1}\right) \ldots \left(x-b_{m-1}\right)$ , где $a_{1}<b_{1}<a_{2}<b_{2}<\ldots <a_{m-1}<b_{m-1}<a_{m}$ ;

(б)

если число $k$ не превосходит степени многочлена $f(x)$ , то кратными корнями $k$ -й производной $f^{(k)}(x)$ являются числа $a_{i}, k_{i} \geqslant k+2$ , и только они;

(в)

если $f(x)=c_{n} x^{n}+c_{n-1} x^{n-1}+\ldots +c_{0}$ , где $c_{n} \neq 0$ и $c_{k}=c_{k+1}=0$ для некоторого $k=0, \ldots , n-2$ , то $c_{0}=c_{1}=\ldots =c_{k}=c_{k+1}=0$ .

Задача 33.7

Пусть $g(x)=b_{n} x^{n}+\ldots +b_{0}$ — вещественный многочлен, причём $b_{n}, b_{0} \neq 0$ и $b_{k}=b_{k+1}=0$ для некоторого $k=1, \ldots , n-2$ . Тогда не все корни $g(x)$ вещественны.

?

Задача 33.8

Доказать, что у вещественного многочлена

a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots +a_{3} x^{3}+x^{2}+x+1, \quad a_{n} \neq 0

не все корни вещественны.

?

Задача 33.9

Доказать, что все комплексные корни $z$ многочлена $n x^{n}-x^{n-1}-\ldots -1$ удовлетворяют условию $\left|z\right| \leqslant 1$ .

?

Задача 33.10

Доказать, что все положительные корни многочлена $f(x)=x(x+1)(x+2) \ldots (x+n)-1$ меньше $1 / n!$ .

?

Задача 33.11

Доказать, что многочлен $x^{4}-5 x^{3}-4 x^{2}-7 x+4$ не имеет отрицательных корней.

?

Задача 33.12

Сколько корней многочлена $x^{6}+6 x+10$ лежит в каждом квадранте комплексной плоскости?

?

Задача 33.13

Пусть $n_{1}<\ldots <n_{k}$ — натуральные числа. Доказать, что многочлен $1+x^{n_{1}}+\ldots +x^{n_{k}}$ не имеет комплексных корней $z$ с условием $\left|z\right|<\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ .

?

Задача 33.14

Доказать, что все комплексные корни многочлена $x^{n+1}-a x^{n}+a x-1$ , где $a$ — вещественное число, имеют модуль 1.

?

Задача 33.15

Пусть $k$ — натуральное число и $\left|a_{i}\right|<k$ при $i=1, \ldots , n$ . Доказать, что тогда для любого корня $z$ многочлена $a_{n} x^{n}+\ldots +a_{1} x+1$ имеем $\left|z\right| \geqslant \frac{1}{k+1}$ .

?

Задача 33.16

Доказать, что если все корни многочлена $f(x) \in \mathbb {C}^{x}$ расположены в верхней полуплоскости, то все корни $f^{\prime }(x)$ лежат в той же полуплоскости.

?

Задача 33.17

Доказать, что если $D$ — выпуклая область комплексной плоскости, содержащая все корни многочлена $f(x) \in \mathbb {C}^{x}$ , то все корни $f^{\prime }(x)$ лежат в $D$ .

?

Задача 33.18

(а)(б)

Пусть дана последовательность вещественных многочленов $f_{0}, f_{1}, \ldots , f_{n}$ с положительными старшими коэффициентами, причём: степень $f_{k}$ равна $k=0, \ldots , n$ ; $f_{k}=a_{k} f_{k-1}-c_{k} f_{k-2}$ , где $a_{k}, c_{k}$ — вещественные многочлены, причём $c_{k}(r)>0$ для всех $r \in \mathbb {R}$ при $k \geqslant 2$ .

Доказать, что:

?

(а)

корни всех многочленов $f_{k}$ вещественны;

(б)

между двумя корнями многочлена $f_{k}$ есть корень многочлена $f_{k-1}$ .

Задача 33.19

(а)(б)

Определить число вещественных корней:

?

(а)

многочлена Эрмита $(-1)^{n} e^{x^{2} / 2} \frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{-x^{2} / 2}$ ;

(б)

многочлена Лагерра $(-1)^{n} e^{x} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n} e^{-x}\right)$ .

Задача 33.20

Определить все многочлены с коэффициентами $\pm 1$ , имеющие только вещественные корни.

ЧАСТЬ II ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Глава VII

?

Распределение корней