Банк задач по математике

Задача 39.1

Какие из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами:

?

(а)

$x \mapsto a$ ( $a$ — фиксированный вектор);

(б)

$x \mapsto x+a$ ( $a$ — фиксированный вектор);

(в)

$x \mapsto \alpha x$ ( $\alpha$ — фиксированный скаляр);

(г)

$x \mapsto (x, a) b$ ( $V$ — евклидово пространство, $a, b$ — фиксированные векторы);

(д)

$x \mapsto (a, x) x$ ( $V$ — евклидово пространство, $a$ — фиксированный вектор);

(е)

$f(x) \mapsto f(a x+b) \quad \left(f \in \mathbb {R}^{x}_{n} ; a, b\right.$ — фиксированные числа);

(ж)

$f(x) \mapsto f(x+1)-f(x)\left(f \in \mathbb {R}^{x}_{n}\right)$ ;

(з)

$f(x) \mapsto f^{(k)}(x) \quad \left(f \in \mathbb {R}^{x}_{n}\right)$ ;

(и)

$\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto \left(x_{1}+2, x_{2}+5, x_{3}\right)$ ;

(к)

$\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto \left(x_{1}+3 x_{3}, x_{2}^{3}, x_{1}+x_{3}\right)$ ;

(л)

$\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto \left(x_{1}, x_{2}, x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)$ ?

Задача 39.2

Доказать, что всякий линейный оператор любую линейно зависимую систему векторов переводит в линейно зависимую систему.

?

Задача 39.3

Доказать, что в $n$ -мерном пространстве для любой линейно независимой системы векторов $a_{1}, \ldots , a_{n}$ и произвольной системы векторов $b_{1}, \ldots , b_{n}$ найдется единственный линейный оператор, переводящий $a_{i}$ в $b_{i}(i=1, \ldots , n)$ .

?

Задача 39.4

Доказать, что в одномерном векторном пространстве всякий линейный оператор имеет вид $x \mapsto \alpha x$ , где $\alpha$ — некоторый скаляр.

?

Задача 39.5

Найти образы и ядра линейных операторов из задачи 39.1 (при значениях параметров, при которых соответствующее отображение является линейным оператором):

?

(а)

$x \mapsto a$ ( $a$ — фиксированный вектор, $a=0$ );

(б)

$x \mapsto x+a$ ( $a$ — фиксированный вектор, $a=0$ );

(в)

$x \mapsto \alpha x$ ( $\alpha$ — фиксированный скаляр);

(г)

$x \mapsto (x, a) b$ ( $V$ — евклидово пространство, $a, b$ — фиксированные векторы);

(д)

$x \mapsto (a, x) x$ ( $V$ — евклидово пространство, $a$ — фиксированный вектор, $a=0$ );

(е)

$f(x) \mapsto f(a x+b) \quad \left(f \in \mathbb {R}^{x}_{n} ; a, b\right.$ — фиксированные числа);

(ж)

$f(x) \mapsto f(x+1)-f(x)\left(f \in \mathbb {R}^{x}_{n}\right)$ ;

(з)

$f(x) \mapsto f^{(k)}(x) \quad \left(f \in \mathbb {R}^{x}_{n}\right)$ ;

(и)

$\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto \left(x_{1}, x_{2}, x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)$ .

Задача 39.6

(а)(б)

Доказать, что оператор дифференцирования:

?

(а)

является вырожденным в пространстве многочленов степени $\leqslant n$ ;

(б)

является невырожденным в пространстве функций с базисом $(\cos t, \sin t)$ .

Задача 39.7

(а)(б)

Доказать, что всякое подпространство векторного пространства является:

?

(а)

ядром некоторого линейного оператора;

(б)

образом некоторого линейного оператора.

Задача 39.8

Доказать, что если два линейных оператора ранга 1 имеют равные ядра и равные образы, то они перестановочны.

?

Задача 39.9

Пусть $\mathcal{A}-F$ -линейный оператор на подпространстве $L$ пространства $V$ , отличном от $V$ . Доказать, что существует бесконечно много линейных операторов на $V$ , ограничение которых на подпространство $L$ совпадает с $\mathcal{A}$ , при условии, что поле $F$ бесконечно.

?

Задача 39.10

(а)(б)

Пусть $\mathcal{A}$ — линейный оператор в пространстве $V, L$ подпространство $V$ . Доказать, что:

?

(а)

образ $\mathcal{A}(L)$ и полный прообраз $\mathcal{A}^{-1}(L)$ являются подпространствами в $V$ ;

(б)

если оператор $\mathcal{A}$ — невырожденный и $V$ конечномерно, то

\operatorname {dim} \mathcal{A}(L)=\operatorname {dim} \mathcal{A}^{-1}(L)=\operatorname {dim} L

Задача 39.11

Пусть $\mathcal{A}$ — линейный оператор в пространстве $V, L$ подпространство $V$ и $L \cap \operatorname {Ker} \mathcal{A}=0$ . Доказать, что любая линейно независимая система векторов из $L$ оператором $\mathcal{A}$ переводится в линейно независимую систему.

?

Задача 39.12

Доказать для линейных операторов $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ неравенство Фробениуса

\operatorname {rk}(\mathcal{B} \mathcal{A})+\operatorname {rk}(\mathcal{A} \mathcal{C}) \leqslant \operatorname {rk} \mathcal{A}+\operatorname {rk}(\mathcal{B} \mathcal{A} \mathcal{C})

?

Задача 39.13

Линейный оператор $\mathcal{A}$ называется псевдоотражением, если $\operatorname {rk}(\mathcal{A}-\mathcal{E})=1$ .

Доказать, что в $n$ -мерном пространстве всякий линейный оператор является произведением не более чем $n$ псевдоотражений.

?

Задача 39.14

Доказать, что для линейного оператора $\mathcal{A}$ в $n$ -мерном пространстве множество операторов $\mathcal{X}$ таких, что $\mathcal{A X}=0$ , является векторным пространством, и найти его размерность.

?

Задача 39.15

Найти матрицу оператора:

?

(а)

$\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto \left(x_{1}, x_{1}+2 x_{2}, x_{2}+3 x_{3}\right)$ в пространстве $\mathbb {R}^{3}$ в базисе из единичных векторов;

(б)

поворота плоскости на угол $\alpha$ в произвольном ортонормированном базисе;

(в)

поворота трехмерного пространства на угол $2 \pi / 3$ вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями $x_{1}=x_{2}=x_{3}$ , в базисе из единичных векторов осей координат;

(г)

проектирования трехмерного пространства на координатную ось вектора $e_{2}$ параллельно координатной плоскости векторов $e_{1}$ и $e_{3}$ в базисе $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ ;

(д)

$x \mapsto (x, a) a$ в евклидовом пространстве в ортонормированном базисе $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ при $a=e_{1}-2 e_{3}$ в указанном базисе;

(е)

$X \mapsto \left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) X$ в пространстве $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {R})$ в базисе из матричных единиц;

(ж)

$X \mapsto X\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ в пространстве $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {R})$ в базисе из матричных единиц;

(з)

$X \mapsto { }^{t} X$ в пространстве $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {R})$ в базисе из матричных единиц;

(и)

$X \mapsto A X B$ ( $A, B$ — фиксированные матрицы) в пространстве $\mathrm{M}_{2}(\mathbb {R})$ в базисе, состоящем из матричных единиц;

(к)

$X \mapsto A X+X B(A, B-$ фиксированные матрицы в пространстве $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {R})$ в базисе из матричных единиц;

(л)

дифференцирования в пространстве $\mathbb {R}^{x}_{n}$ в базисе $\left(1, x, \ldots , x^{n}\right)$ ;

(м)

дифференцирования в пространстве $\mathbb {R}^{x}_{n}$ в базисе $\left(x^{n}, x^{n-1}, \ldots , 1\right)$ ;

(н)

дифференцирования в пространстве $\mathbb {R}^{x}_{n}$ в базисе

\left(1, x-1, \frac{(x-1)^{2}}{2}, \ldots , \frac{(x-1)^{n}}{n!}\right)

Задача 39.16

Доказать, что в пространстве $\mathbb {R}^{3}$ существует единственный линейный оператор, переводящий векторы $(1,1,1),(0,1,0)$ , $(1,0,2)$ соответственно в векторы $(1,1,1),(0,1,0),(1,0,1)$ , и найти матрицу этого оператора в базисе, состоящем из единичных векторов.

?

Задача 39.17

Пусть векторное пространство $V$ является прямой суммой подпространств $L_{1}$ и $L_{2}$ с базисами $\left(a_{1}, \ldots , a_{k}\right)$ и $\left(a_{k+1}, \ldots , a_{n}\right)$ . Доказать, что проектирование на $L_{1}$ параллельно $L_{2}$ является линейным оператором, и найти его матрицу в базисе $\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)$ .

?

Задача 39.18

Найти общий вид матриц линейных операторов в $n$ -мерном пространстве, переводящих заданные линейно независимые векторы $a_{1}, \ldots , a_{k}(k<n)$ в заданные векторы $b_{1}, \ldots , b_{k}$ в базисе вида $\left(a_{1}, \ldots , a_{k}, a_{k+1}, \ldots , a_{n}\right)$ .

?

Задача 39.19

(а)(б)

Пусть линейный оператор в пространстве $V$ в базисе $\left(e_{1}, \ldots , e_{4}\right)$ имеет матрицу

\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 0 & 3 \\ 6 & 1 & -1 & 7 \end{smallmatrix}\right]

Найти матрицу этого оператора в базисах:

?

(а)

$\left(e_{2}, e_{1}, e_{3}, e_{4}\right)$ ;

(б)

$\left(e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{1}+e_{2}+e_{3}, e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}\right)$ .

Задача 39.20

Пусть линейный оператор в пространстве $\mathbb {R}^{x}_{2}$ имеет в базисе $\left(1, x, x^{2}\right)$ матрицу

\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]

Найти его матрицу в базисе

\left(3 x^{2}+2 x+1, x^{2}+3 x+2,2 x^{2}+x+3\right)

?

Задача 39.21

Пусть линейный оператор в пространстве $\mathbb {R}^{3}$ имеет в базисе

((8,-6,7),(-16,7,-13),(9,-3,7))

матрицу

\left[\begin{smallmatrix} 1 & -18 & 15 \\ -1 & -22 & 20 \\ 1 & -25 & 22 \end{smallmatrix}\right]

Найти его матрицу в базисе

((1,-2,1),(3,-1,2),(2,1,2))

?

Задача 39.22

Пусть линейный оператор $\mathcal{A}$ в $n$ -мерном векторном пространстве $V$ переводит линейно независимые векторы $a_{1}, \ldots , a_{n}$ в векторы $b_{1}, \ldots , b_{n}$ соответственно. Доказать, что матрица этого оператора в некотором базисе $\mathbf{e}=\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ равна $B A^{-1}$ , где столбцы матриц $A$ и $B$ состоят соответственно из координат заданных векторов в базисе е.

?

Задача 39.23

(а)(б)

Найти общий вид матрицы линейного оператора $\mathcal{A}$ в базисе, первые $k$ векторов которого составляют:

?

(а)

базис ядра оператора $\mathcal{A}$ ;

(б)

базис образа оператора $\mathcal{A}$ .

Задача 39.24

Доказать, что если $f(t)=f_{1}(t) f_{2}(t)$ — разложение многочлена $f(t)$ на взаимно простые множители и для линейного оператора $\mathcal{A}$ выполняется равенство $f(\mathcal{A})=0$ , то в некотором базисе матрица оператора $\mathcal{A}$ имеет вид $\left(\begin{array}{cc}A_{1} & 0 \\ 0 & A_{2}\end{array}\right)$ , где $f_{1}\left(A_{1}\right)=0, f_{2}\left(A_{2}\right)=0$ .

?

Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора