Собственные векторы, инвариантные подпространства, корневые подпространства

Найти собственные векторы и собственные значения:

Доказать, что в пространстве $\mathbb {R}^{x}_{n}$ линейный оператор $f \mapsto f(a x+b)$ имеет множество собственных значений $1, a, \ldots , a^{n}$.

Доказать, что собственный вектор линейного оператора $\mathcal{A}$ с собственным значением $\lambda$ является собственным вектором оператора $f(\mathcal{A})$, где $f(t)$ — многочлен с собственным значением $f(\lambda )$.

Доказать, что если оператор $\mathcal{A}$ невырожденный, то операторы $\mathcal{A}$ и $\mathcal{A}^{-1}$ имеют одни и те же собственные векторы.

Доказать, что все ненулевые векторы пространства являются собственными для линейного оператора $\mathcal{A}$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{A}$ — оператор подобия $x \mapsto \alpha x$, где $\alpha$ — некоторый фиксированный скаляр.

Доказать, что если линейный оператор $\mathcal{A}$ в $n$-мерном пространстве имеет $n$ различных собственных значений, то любой линейный оператор, перестановочный с $\mathcal{A}$, имеет базис, состоящий из его собственных векторов.

Доказать, что подпространство $V_{\lambda }(\mathcal{A})$, состоящее из всех собственных векторов оператора $\mathcal{A}$ с собственным значением $\lambda$ и нулевого вектора, инвариантно относительно любого линейного оператора $\mathcal{B}$, перестановочного с $\mathcal{A}$.

Доказать, что для любой (быть может, бесконечной) совокупности перестановочных линейных операторов конечномерного комплексного пространства:

Доказать, что если оператор $\mathcal{A}^{2}$ имеет собственное значение $\lambda^{2}$, то одно из чисел $\lambda$ и $-\lambda$ является собственным значением оператора $\mathcal{A}$.

Доказать, что:

Доказать, что всякий многочлен степени $n$ со старшим коэффициентом $(-1)^{n}$ является характеристическим многочленом некоторой матрицы порядка $n$.

Доказать, что если $A$ и $B$ — квадратные матрицы одинаковых порядков, то матрицы $A B$ и $B A$ имеют совпадающие характеристические многочлены.

Найти характеристические числа матрицы ${ }^{t} A \cdot A$, где $A$ -матрица-строка $\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)$.

Доказать, что все характеристические числа матрицы отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:

Выяснить, какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путём перехода к новому базису над полем $\mathbb {R}$ или над полем $\mathbb {C}$ :

При каких условиях матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, элементов $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ побочной диагонали, равны нулю, подобна диагональной матрице?

Для матрицы $A$ порядка $n$, у которой элементы побочной диагонали равны 1, а остальные элементы равны нулю, найти такую матрицу $T$, что матрица $B=T^{-1} A T$ диагональна. Вычислить матрицу $B$.

Доказать, что число линейно независимых собственных векторов линейного оператора $\mathcal{A}$ с собственным значением $\lambda$ не больше кратности $\lambda$ как корня характеристического многочлена оператора $\mathcal{A}$.

Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — собственные значения линейного оператора $\mathcal{A}$ в $n$-мерном комплексном пространстве. Найти собственные значения оператора $\mathcal{A}$ как оператора в соответствующем $2 n$-мерном вещественном пространстве.

Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — корни характеристического многочлена матрицы $A$. Найти собственные значения:

Найти все инвариантные подпространства для оператора дифференцирования в пространстве $\mathbb {R}^{x}_{n}$.

Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов линейного оператора $\mathcal{A}$ инвариантна относительно $\mathcal{A}$.

Доказать, что:

Доказать, что в $n$-мерном комплексном пространстве всякий линейный оператор имеет инвариантное подпространство размерности $n-1$.

Доказать, что линейный оператор в векторном пространстве над полем $K$, имеющий в некотором базисе матрицу

где многочлен $x^{n}-a_{1} x^{n-1}-\ldots -a_{n-1} x-a_{n}$ неприводим над $K$, не имеет нетривиальных инвариантных подпространств.

Пусть линейный оператор $\mathcal{A}$ в $n$-мерном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпространства, инвариантные относительно $\mathcal{A}$.

Найти все инвариантные подпространства для линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу, состоящую из одной жордановой клетки.

Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариантные относительно линейного оператора с матрицей

Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариантные относительно двух линейных операторов, заданных матрицами

В $\mathbb {R}^{x}_{n}$ и $\mathbb {C}^{x}_{n}$ найти все подпространства, инвариантные относительно оператора:

В линейной оболочке функций

найти все подпространства, инвариантные относительно оператора:

Доказать, что если для операторов $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ конечномерного векторного пространства $V$ над полем $\mathbb {C}$ выполняются равенства $\mathcal{A}^{2}=\mathcal{B}^{2}=\mathcal{E}$, то в $V$ существует одномерное или двумерное подпространство, инвариантное относительно $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$.

Доказать, что комплексное векторное пространство, содержащее только одну прямую, инвариантную относительно линейного оператора $\mathcal{A}$, неразложимо в прямую сумму ненулевых подпространств, инвариантных относительно $\mathcal{A}$.

Найти собственные значения и корневые подпространства линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей:

Доказать, что линейный оператор в комплексном векторном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все его корневые векторы являются собственными.

Доказать, если что линейный оператор в комплексном векторном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матрицу, то его ограничение на любое инвариантное подпространство $L$ также имеет диагональную матрицу в некотором базисе подпространства $L$.

Доказать, что всякое корневое подпространство линейного оператора $\mathcal{A}$ инвариантно относительно любого линейного оператора $\mathcal{B}$, перестановочного с $\mathcal{A}$.

Доказать, что если матрица линейного оператора приводится к жордановой форме, то всякое инвариантное подпространство является прямой суммой своих пересечений с его корневыми подпространствами.

Пусть $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$. Рассмотрим в пространстве $\mathbf{M}_{n \times m}(\mathbb {C})$ оператор $L_{A}$, где $L_{A}(X)=A X$. Найти собственные значения $L_{A}$. Найти корневые подпространства оператора $L_{A}$, где $A$ — верхнетреугольная матрица.

Пусть $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C}), B \in \mathbf{M}_{m}(\mathbb {C})$, причём $A$ и $B$ не имеют общих собственных значений. Доказать, что:

Пусть $\mathcal{A}$ — линейный оператор в конечномерном комплексном векторном пространстве $V$. Доказать, что в $V$ существует базис, в котором матрица оператора $\mathcal{A}$ верхнетреугольная.

Пусть $\mathcal{A}$ — линейный оператор в конечномерном вещественном пространстве $V$. Доказать, что в $V$ существует базис, в котором матрица оператора $\mathcal{A}$ имеет блочно-верхнетреугольный вид

где квадратные блоки $A_{1}, \ldots , A_{n}$ имеют размер не выше 2.

Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ — линейные операторы в конечномерном комплексном векторном пространстве и ранг оператора $\mathcal{A B}-\mathcal{B} \mathcal{A}$ не превосходит 1. Доказать, что существует общий собственный вектор для $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$.