Подпространства

векторы плоскости с началом $O$, концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в точке $O$;

векторы плоскости с началом $O$, концы которых лежат на данной прямой;

векторы плоскости с началом $O$, концы которых не лежат на данной прямой;

векторы координатной плоскости, концы которых лежат в первой четверти;

векторы пространства $\mathbb {R}^{n}$, координаты которых — целые числа;

векторы арифметического пространства $F^{n}, F$ — поле, являющиеся решениями данной системы линейных уравнений;

векторы линейного пространства, являющиеся линейными комбинациями данных векторов $a_{1}, \ldots , a_{k}$;

ограниченные последовательности комплексных чисел;

последовательности вещественных чисел, имеющие предел;

последовательности вещественных чисел, имеющие предел $a$;

последовательности $u(n)$ элементов поля $F$, удовлетворяющие рекуррентному соотношению

где $(f(n))$ — фиксированная последовательность элементов поля $F$, $k$ — фиксированное натуральное число, $a_{i} \in F$;

многочлены чётной степени с коэффициентами из поля $F$;

многочлены с коэффициентами из поля $F$, не содержащие чётных степеней переменной $x$;

множества из пространства $2^{M}$ (см. 4.9), состоящие из чётного числа элементов;

множества из $2^{M}$, состоящие из нечётного числа элементов.

векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты;

векторы, у которых координаты с чётными номерами равны 0 ;

векторы, у которых координаты с чётными номерами равны между собой;

векторы вида $(\alpha , \beta , \alpha , \beta , \ldots )$;

векторы, являющиеся решениями однородной системы уравнений.

все матрицы;

симметрические матрицы;

кососимметрические матрицы;

невырожденные матрицы;

вырожденные матрицы;

матрицы со следом, равным нулю;

матрицы, перестановочные с данным множеством матриц (при вычислении базиса и размерности предположить, что данное множество матриц состоит из одной диагональной матрицы с различными диагональными элементами);

матрицы $X$, удовлетворяющие условию $A_{i} X+X B_{i}=0$, где $\left\{ A_{i}, B_{i}\right\}$ — заданный набор матриц.

функции, принимающие значение $a$ в данной точке $s \in S$;

функции, принимающие значение $a$ во всех точках некоторого подмножества $T \subseteq S$;

функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества $S$;

функции, имеющие предел $a$ при $x \rightarrow \infty$ (при $S=\mathbb {R}$);

функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при $S=\mathbb {R}$).

последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля;

последовательности, в которых лишь конечное число элементов равно нулю;

последовательности, в которых все элементы отличны от 1.

последовательности, удовлетворяющие условию Коши: для любого $\varepsilon >0$ найдется число $N \in \mathbb {N}$ такое, что при любых $n, k>N$ выполняется неравенство $\left|x_{n}-x_{k}\right|<\varepsilon$;

последовательности, удовлетворяющие условию Гильберта: ряд $\sum_{i=1}^{\infty }\left|x_{i}\right|^{2}$ сходится;

последовательности полиномиального роста, т.е. $\left|x_{n}\right| \leqslant C n^{k}$, где $C, k$ — натуральные числа, зависящие от последовательности;

последовательности экспоненциального роста, т.е. $\left|x_{n}\right| \leqslant C e^{n}$, где $C$ — положительное вещественное число, зависящее от последовательности.

многочлены, имеющие данный корень $\alpha \in \mathbb {R}$;

многочлены, имеющие данный корень $\alpha \in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R}$;

многочлены, имеющие данные корни $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{k} \in \mathbb {R}$;

многочлены, имеющие данный простой корень $\alpha \in \mathbb {R}$.

размерность подпространства всех однородных многочленов степени $k$;

размерность его подпространства, состоящего из всех многочленов степени $\leqslant k$.

число векторов в пространстве $V$;

число базисов пространства $V$;

число невырожденных матриц порядка $n$ над полем $F$;

число вырожденных матриц порядка $n$ над полем $F$;

число $k$-мерных подпространств пространства $V$;

число решений уравнения $A X=0$, где $A$ — прямоугольная матрица ранга $r, X$ — столбец неизвестных длины $n$.

$a_{1}=(1,0,0,-1), \quad a_{2}=(2,1,1,0), \quad a_{3}=(1,1,1,1)$, $a_{4}=(1,2,3,4), \quad a_{5}=(0,1,2,3) ;$

$a_{1}=(1,1,1,1,0), \quad a_{2}=(1,1,-1,-1,-1), \quad a_{3}=(2,2,0,0,-1)$, $a_{4}=(1,1,5,5,2), \quad a_{5}=(1,-1,-1,0,0)$.

если $L_{1} \subseteq L_{2}$, то $\operatorname {dim} L_{1} \leqslant \operatorname {dim} L_{2}$, причём равенство имеет место только при $L_{1}=L_{2}$;

если $\operatorname {dim}\left(L_{1}+L_{2}\right)=1+\operatorname {dim}\left(L_{1} \cap L_{2}\right)$, то сумма $L_{1}+L_{2}$ равна одному из этих подпространств, а пересечение $L_{1} \cap L_{2}$ — другому;

если $\operatorname {dim} L_{1}+\operatorname {dim} L_{2}>\operatorname {dim} V$, то $L_{1} \cap L_{2} \neq 0$.

Можно ли утверждать, что $U \cap (V+W)=(U \cap V)+(U \cap W)$?

Доказать, что предыдущее равенство верно, если $V \subseteq U$.

Доказать, что $(U+W) \cap (W+V) \cap (V+U)=[(W+V) \cap U]+[(V+U) \cap W]$.

Доказать, что $\operatorname {dim}[(U+V) \cap W]+\operatorname {dim}(U \cap V)=\operatorname {dim}[(V+W) \cap U]+\operatorname {dim}(V \cap W)$.

Доказать, что $(U \cap V)+(V \cap W)+(W \cap U) \subseteq (U+V) \cap (V+W) \cap (W+U)$ и разность размерностей этих подпространств является чётным числом.

$S=\langle (1,2,0,1),(1,1,1,0)\rangle$, $T=\langle (1,0,1,0),(1,3,0,1)\rangle ;$

$S=\langle (1,1,1,1),(1,-1,1,-1),(1,3,1,3)\rangle$, $T=\langle (1,2,0,2),(1,2,1,2),(3,1,3,1)\rangle ;$

$S=\langle (2,-1,0,-2),(3,-2,1,0),(1,-1,1,-1)\rangle$, $T=\langle (3,-1,-1,0),(0,-1,2,3),(5,-2,-1,0)\rangle$.

$a_{1}=(1,2,1), \quad b_{1}=(1,2,2)$, $a_{2}=(1,1,-1), \quad b_{2}=(2,3,-1)$, $a_{3}=(1,3,3), \quad b_{3}=(1,1,-3) ;$

$a_{1}=(-1,6,4,7,-2), \quad b_{1}=(1,1,2,1,-1)$, $a_{2}=(-2,3,0,5,-2), \quad b_{2}=(0,-2,0,-1,-5)$, $a_{3}=(-3,6,5,6,-5), \quad b_{3}=(2,0,2,1,-3)$;

$a_{1}=(1,1,0,0,-1), \quad b_{1}=(1,0,1,0,1)$, $a_{2}=(0,1,1,0,1), \quad b_{2}=(0,2,1,1,0)$, $a_{3}=(0,0,1,1,1), \quad b_{3}=(1,2,1,2,-1) ;$

$a_{1}=(1,2,1,0), \quad b_{1}=(2,-1,0,1)$, $a_{2}=(-1,1,1,1), \quad b_{2}=(1,-1,3,7) ;$

$a_{1}=(1,2,-1,-2), \quad b_{1}=(2,5,-6,-5)$, $a_{2}=(3,1,1,1), \quad b_{2}=(-1,2,-7,-3)$. $a_{3}=(-1,0,1,-1)$,

$\langle (1,-1,1,0),(1,1,0,1),(2,0,1,1)\rangle$;

$\langle (1,-1,1,-1,1),(1,1,0,0,3),(3,1,1,-1,7)\rangle$.

сумма этих подпространств является прямой тогда и только тогда, когда хотя бы один ее вектор однозначно представляется в виде

условие $L_{i} \cap L_{j}=0$ для любых различных $i$ и $j$ от 1 до $k$ не является достаточным для того, чтобы сумма этих подпространств была прямой.

Доказать, что $U \oplus V=\mathbf{M}_{n}(\mathbb {R})$.

Найти проекцию матриц $E_{i j}$ на $U$ и $V$.

Доказать, что $U \oplus V=\mathbf{M}_{n}(\mathbb {R})$.

Найти проекцию матрицы $E_{i j}$ на $U$ и $V$.