38

Симметрические билинейные, эрмитовы и квадратичные функции

[35/63%]
Показать
LaTeX
Задача 38.1

Какие из билинейных функций задачи 37.1 являются симметрическими?

?
Задача 38.2
?
(а)

Какие из полуторалинейных функций задачи 37.5 являются эрмитовыми?

(б)

Является ли функция f(x,y)f(x, y) из 37.18, б) эрмитовой?

(в)

Является ли функция f(u,v)f(u, v) из 37.20, б) эрмитовой?

Задача 38.3

Не производя вычислений, выяснить, эквивалентны ли билинейные функции f1(x,y)=x1y1+2x1y2+3x1y3+4x2y1+5x2y2+6x2y3+7x3y1+8x3y2+10x3y3f_{1}(x, y)=x_{1} y_{1}+2 x_{1} y_{2}+3 x_{1} y_{3}+4 x_{2} y_{1}+5 x_{2} y_{2}+6 x_{2} y_{3}+7 x_{3} y_{1}+8 x_{3} y_{2}+10 x_{3} y_{3}, f2(x,y)=2x1y1−x1y3+x2y2−x3y1+5x3y3f_{2}(x, y)=2 x_{1} y_{1}-x_{1} y_{3}+x_{2} y_{2}-x_{3} y_{1}+5 x_{3} y_{3}.

?
Задача 38.4

Не производя вычислений, выяснить, для какой из билинейных функций ff существует базис, в котором матрица этой функции диагональна:

?
(а)

−x1y1−2x1y2−2x2y1−3x2y2+x3y1−4x3y3-x_{1} y_{1}-2 x_{1} y_{2}-2 x_{2} y_{1}-3 x_{2} y_{2}+x_{3} y_{1}-4 x_{3} y_{3};

(б)

−x1y2−x2y1+3x2y2+5x2y3+5x3y2−x3y3-x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+3 x_{2} y_{2}+5 x_{2} y_{3}+5 x_{3} y_{2}-x_{3} y_{3}.

Задача 38.5

Доказать, что для ортогональных дополнений к пространствам относительно невырожденной симметричной (эрмитовой) функции справедливы равенства:

?
(а)

(U⊥)⊥=U\left(U^{\perp }\right)^{\perp }=U;

(б)

(U1+U2)⊥=U1⊥∩U2⊥\left(U_{1}+U_{2}\right)^{\perp }=U_{1}^{\perp } \cap U_{2}^{\perp };

(в)

(U1∩U2)⊥=U1⊥+U2⊥\left(U_{1} \cap U_{2}\right)^{\perp }=U_{1}^{\perp }+U_{2}^{\perp }.

Задача 38.6

Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке ⟨f1,f2⟩\left\langle f_{1}, f_{2}\right\rangle относительно билинейной функции с матрицей FF, если:

?
(а)

F=(1−12−10−32−37),f1=(1,2,3),f2=(4,5,6);F=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 2 & -3 & 7\end{array}\right), \quad f_{1}=(1,2,3), \quad f_{2}=(4,5,6) ;

(б)

F=(−1252285829),f1=(−3,−15,21);f2=(2,10,−14)F=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 5 \\ 2 & 2 & 8 \\ 5 & 8 & 29\end{array}\right), \quad f_{1}=(-3,-15,21) ; \quad f_{2}=(2,10,-14).

Задача 38.7

Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке ⟨e1,e2⟩\left\langle e_{1}, e_{2}\right\rangle относительно эрмитовой функции с матрицей GG, если:

?
(а)

G=(1i1−i−i0−21+i−2−2),e1=(i,1,−1),e2=(1−2i,−i,3);G=\left(\begin{array}{ccc}1 & i & 1-i \\ -i & 0 & -2 \\ 1+i & -2 & -2\end{array}\right), \quad \begin{aligned} & e_{1}=(i, 1,-1), \\ & e_{2}=(1-2 i,-i, 3) ;\end{aligned}

(б)

G=(0−2+i−i−2−i2−1+ii−1−i−1),e1=(−i+1,2,0),e2=(−1+3i,−3i,2).G=\left(\begin{array}{ccc}0 & -2+i & -i \\ -2-i & 2 & -1+i \\ i & -1-i & -1\end{array}\right), \quad \begin{array}{ll}e_{1} & =(-i+1,2,0), \\ e_{2} & =(-1+3 i,-3 i, 2).\end{array}

Задача 38.8

Методом Якоби найти канонический вид симметрических билинейных функций:

?
(а)

2x1y1−x1y2+x1y3−x2y1+x3y1+3x3y32 x_{1} y_{1}-x_{1} y_{2}+x_{1} y_{3}-x_{2} y_{1}+x_{3} y_{1}+3 x_{3} y_{3};

(б)

2x1y2+3x1y3+2x2y1−x2y3+3x3y1−x3y2+x3y32 x_{1} y_{2}+3 x_{1} y_{3}+2 x_{2} y_{1}-x_{2} y_{3}+3 x_{3} y_{1}-x_{3} y_{2}+x_{3} y_{3}.

Задача 38.9

Методом Якоби выяснить эквивалентность билинейных функций с матрицами

[12320−13−13],[130311015]: \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & 3 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \end{smallmatrix}\right]:
?
(а)

над полем вещественных чисел;

(б)

над полем рациональных чисел.

Задача 38.10

Какие из симметрических билинейных функций задач 37.1 и 37.5 являются положительно определёнными?

?
Задача 38.11

При каких значениях λ\lambda следующие квадратичные функции являются положительно определёнными:

?
(а)

5x12+x22+λx32+4x1x2−2x1x3−2x2x35 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\lambda x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3};

(б)

2x12+x22+3x32+2λx1x2+2x1x32 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 \lambda x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3};

(в)

x12+x22+5x32+2λx1x2−2x1x3+4x2x3x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 \lambda x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3};

(г)

x12+4x22+x32+2λx1x2+10x1x3+6x2x3x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 \lambda x_{1} x_{2}+10 x_{1} x_{3}+6 x_{2} x_{3};

(д)

x1xˉ1+ix1xˉ2−ix2xˉ1+λx2xˉ2x_{1} \bar{x}_{1}+i x_{1} \bar{x}_{2}-i x_{2} \bar{x}_{1}+\lambda x_{2} \bar{x}_{2};

(е)

2x1xˉ1−(1−i)x1xˉ3−(1+i)xˉ1x3+2λx2xˉ3+2λˉxˉ2x3+x2xˉ2+5x3xˉ32 x_{1} \bar{x}_{1}-(1-i) x_{1} \bar{x}_{3}-(1+i) \bar{x}_{1} x_{3}+2 \lambda x_{2} \bar{x}_{3}+2 \bar{\lambda } \bar{x}_{2} x_{3}+x_{2} \bar{x}_{2}+5 x_{3} \bar{x}_{3}?

Задача 38.12

Доказать, что для любой положительно определённой симметрической билинейной (эрмитовой) функции ff выполнено неравенство

f(x+y,x+y)⩽f(x,x)+f(y,y) \sqrt{f(x+y, x+y)} \leqslant \sqrt{f(x, x)}+\sqrt{f(y, y)}

причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда αx=βy\alpha x=\beta y, где α,β\alpha , \beta — неотрицательные вещественные числа, не равные нулю одновременно.

?
Задача 38.13

Не применяя критерия Сильвестра, доказать, что для положительной определенности квадратичной функции ∑i,j=1naijxixˉj\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} \bar{x}_{j} условие aii>0(i=1,…,n)a_{i i}>0(i=1, \ldots , n) является необходимым, но не достаточным.

?
Задача 38.14

При каких значениях λ\lambda являются отрицательно определёнными квадратичные функции:

?
(а)

−x12+λx22−x32+4x1x2+8x2x3-x_{1}^{2}+\lambda x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+8 x_{2} x_{3};

(б)

λx12−2x22−3x32+2x1x2−2x1x3+2x2x3\lambda x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-3 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3};

(в)

λx1xˉ1+3x2xˉ2−ix1xˉ2+ixˉ1x2\lambda x_{1} \bar{x}_{1}+3 x_{2} \bar{x}_{2}-i x_{1} \bar{x}_{2}+i \bar{x}_{1} x_{2};

(г)

4x1xˉ1−2x2xˉ2−(λ+i)x1xˉ2−(λˉ−i)xˉ1x24 x_{1} \bar{x}_{1}-2 x_{2} \bar{x}_{2}-(\lambda +i) x_{1} \bar{x}_{2}-(\bar{\lambda }-i) \bar{x}_{1} x_{2}?

Задача 38.15

Найти симметрическую билинейную (эрмитову) функцию, ассоциированную с квадратичной функцией:

?
(а)

x12+2x1x2+2x22−6x1x3+4x2x3−x32x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2}^{2}-6 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}-x_{3}^{2};

(б)

x1x2+x1x3+x2x3x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3};

(в)

x1xˉ1+ix1xˉ2−ixˉ1x2+2x2xˉ2x_{1} \bar{x}_{1}+i x_{1} \bar{x}_{2}-i \bar{x}_{1} x_{2}+2 x_{2} \bar{x}_{2};

(г)

(5−i)x1xˉ2+(6+i)xˉ1x2+x2xˉ2(5-i) x_{1} \bar{x}_{2}+(6+i) \bar{x}_{1} x_{2}+x_{2} \bar{x}_{2}.

Задача 38.16

Найти симметрическую билинейную функцию, ассоциированную с квадратичной функцией q(x)=f(x,x)q(x)=f(x, x), где:

?
(а)

f(x,y)=2x1y1−3x1y2−4x1y3+x2y1−5x2y3+x3y3f(x, y)=2 x_{1} y_{1}-3 x_{1} y_{2}-4 x_{1} y_{3}+x_{2} y_{1}-5 x_{2} y_{3}+x_{3} y_{3};

(б)

f(x,y)=−x1y2+x2y1−2x2y2+3x2y3−x3y1+2x3y3f(x, y)=-x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}-2 x_{2} y_{2}+3 x_{2} y_{3}-x_{3} y_{1}+2 x_{3} y_{3}.

Задача 38.17

Эквивалентны ли над полем вещественных чисел квадратичные функции:

?
(а)

x12−2x1x2+2x32+4x2x3+5x32x_{1}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{3}^{2}+4 x_{2} x_{3}+5 x_{3}^{2} \quad и x12−4x1x2+2x1x3+4x22+x32\quad x_{1}^{2}-4 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+4 x_{2}^{2}+x_{3}^{2};

(б)

2x12+9x22+3x32+8x1x2−4x1x3−10x2x32 x_{1}^{2}+9 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+8 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-10 x_{2} x_{3} \quad и 2x12+3x22+6x32−4x1x2−4x1x3+8x2x3?2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+6 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}?

Задача 38.18

Найти нормальный вид квадратичных функций:

?
(а)

x12+x22+3x32+4x1x2+2x1x3+2x2x3x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3};

(б)

x12+2x22+x32+2x1x2+4x1x3+2x2x3x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3};

(в)

x12−3x32−2x1x2+2x1x3−6x2x3x_{1}^{2}-3 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3};

(г)

x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{1} x_{4}+x_{2} x_{3}+x_{2} x_{4}+x_{3} x_{4};

(д)

x1xˉ1−ix1xˉ2+ixˉ1x2+2x2xˉ2x_{1} \bar{x}_{1}-i x_{1} \bar{x}_{2}+i \bar{x}_{1} x_{2}+2 x_{2} \bar{x}_{2};

(е)

(1−i)x1xˉ2+(1+i)xˉ1x2+(1−2i)x1xˉ3+(1+2i)xˉ1x3+x2xˉ3+xˉ2x3(1-i) x_{1} \bar{x}_{2}+(1+i) \bar{x}_{1} x_{2}+(1-2 i) x_{1} \bar{x}_{3}+(1+2 i) \bar{x}_{1} x_{3}+x_{2} \bar{x}_{3}+\bar{x}_{2} x_{3};

(ж)

∑i,j=1naiajxixj\sum_{i, j=1}^{n} a_{i} a_{j} x_{i} x_{j}, где не все числа a1,…,ana_{1}, \ldots , a_{n} равны 0;0 ;

(з)

∑i=1nxi2+∑1⩽i<j⩽nxixj\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j};

(и)

∑1⩽i<j⩽nxixj\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j};

(к)

∑i=1n−1xixi+1\sum_{i=1}^{n-1} x_{i} x_{i+1};

(л)

∑i=1n(xi−s)2,s=x1+…+xnn\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-s\right)^{2}, \quad s=\frac{x_{1}+\ldots +x_{n}}{n};

(м)

∑1⩽i<j⩽n∣i−j∣xixj\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left|i-j\right| x_{i} x_{j}.

Задача 38.19

Эквивалентны ли над полем комплексных чисел квадратичные функции:

?
(а)

x12−2x1x2+2x1x3−2x1x4+x22+2x2x3−4x2x4+x32−2x42x_{1}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{1} x_{4}+x_{2}^{2}+2 x_{2} x_{3}-4 x_{2} x_{4}+x_{3}^{2}-2 x_{4}^{2} и x12+x1x2+x3x4x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}+x_{3} x_{4};

(б)

x12+4x22+x32+4x1x2−2x1x3x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3} и x12+2x22−x32+4x1x2−2x1x3−4x2x3x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}?

Задача 38.20

Пусть qq — отображение вещественного векторного пространства VV в поле R\mathbb {R}, для которого существуют такие квадратичные функции a,ba, b и билинейная функция cc, что

q(λx+μy)=λ2a(x)+λμc(x,y)+μ2b(y) q(\lambda x+\mu y)=\lambda ^{2} a(x)+\lambda \mu c(x, y)+\mu ^{2} b(y)

для любых λ,μ∈R\lambda , \mu \in \mathbb {R} и x,y∈Vx, y \in V. Доказать, что qq — квадратичная функция.

?
Задача 38.21

Пусть f1,…,fr+sf_{1}, \ldots , f_{r+s} — линейные функции. Доказать, что положительный индекс инерции функции

q(x)=∣f1(x)∣2+…+∣fr(x)∣2−∣fr+1(x)∣2−…−∣fr+s(x)∣2 q(x)=\left|f_{1}(x)\right|^{2}+\ldots +\left|f_{r}(x)\right|^{2}-\left|f_{r+1}(x)\right|^{2}-\ldots -\left|f_{r+s}(x)\right|^{2}

не превосходит rr, а отрицательный индекс не превосходит ss.

?
Задача 38.22

Найти положительный и отрицательный индексы инерции:

?
(а)

квадратичной функции q(x)=tr⁡x2q(x)=\operatorname {tr} x^{2} на пространстве Mn(R)\mathbf{M}_{n}(\mathbb {R});

(б)

квадратичной функции q(x)=tr⁡(xxˉ)q(x)=\operatorname {tr}(x \bar{x}) на пространстве Mn(C)\mathbf{M}_{n}(\mathbb {C}).

Задача 38.23

Пусть ff — невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция на пространстве VV размерности ⩾3\geqslant 3. Доказать, что если функция ff не является нулевой на двумерном подпространстве UU, то существует такое трехмерное подпространство W⊇UW \supseteq U, на котором ограничение функции ff невырождено.

?
Задача 38.24

Пусть ff — невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция, имеющая отрицательный индекс инерции, равный 1, и f(v,v)<0f(v, v)<0 для некоторого вектора vv. Доказать, что ограничение ff на любое подпространство, содержащее vv, невырождено.

?
Задача 38.25

Пусть ff — невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция на пространстве размерности ⩾3\geqslant 3. Доказать, что всякий изотропный вектор лежит в пересечении двух двумерных подпространств, на каждом из которых ограничение функции ff невырождено.

?
Задача 38.26

Доказать, что размерность максимального изотропного подпространства относительно невырожденной симметрической билинейной (эрмитовой) функции равна наименьшему из её положительного и отрицательного индексов инерции.

?
Задача 38.27

Найти положительный и отрицательный индексы инерции невырожденной квадратичной функции на 2n2 n-мерном векторном пространстве, обладающем nn-мерным вполне изотропным подпространством.

?
Задача 38.28

Пусть невырожденная квадратичная функция qq на 2n2 n-мерном пространстве VV является нулевой на nn-мерном подпространстве UU. Доказать, что:

?
(а)

существует такое nn-мерное подпространство U′U^{\prime }, что

V=U⊕U′,q(U′)=0 V=U \oplus U^{\prime }, \quad q\left(U^{\prime }\right)=0
(б)

в некотором базисе функция qq имеет вид

x1x2+x3x4+…+x2n−1x2n x_{1} x_{2}+x_{3} x_{4}+\ldots +x_{2 n-1} x_{2 n}
Задача 38.29

Доказать, что если в симметрической матрице некоторый главный минор порядка rr отличен от нуля, а все окаймляющие его главные миноры порядков r+1r+1 и r+2r+2 равны нулю, то ранг этой матрицы равен rr.

?
Задача 38.30

Доказать, что вещественная симметрическая (комплексная эрмитова) матрица AA может быть представлена в виде A=tC⋅CA={ }^{t} C \cdot C (соответственно A=tC⋅CˉA={ }^{t} C \cdot \bar{C}), где CC — квадратная матрица, тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы AA неотрицательны.

?
Задача 38.31

Найти размерность пространства симметрических билинейных функций от nn переменных.

?
Задача 38.32

Сопоставим каждому (неориентированному) графу Γ\Gamma с вершинами v1,…,vnv_{1}, \ldots , v_{n} квадратичную функцию

qΓ(x)=∑i,j=1naijxixj q_{\Gamma }(x)=\sum _{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}

положив

aij={2, если i=j,−1, если vi и vj соединены ребром, 0, если vi и vj не соединены ребром, } a_{i j}=\left\{ \begin{aligned} 2, & \text{ если } i=j, \\ -1, & \text{ если } v_{i} \text{ и } v_{j} \text{ соединены ребром, } \\ 0, & \text{ если } v_{i} \text{ и } v_{j} \text{ не соединены ребром, } \end{aligned}\right\}

и рассмотрим графы

(число вершин графа Γn\Gamma_{n} равно nn, графа Γ~n\widetilde{\Gamma }_{n} равно n+1n+1). Доказать, для графов Γn\Gamma_{n} функция qΓq_{\Gamma } положительно определена, а для графов Γ~n\widetilde{\Gamma }_{n} положительно полуопределена: qΓ(x)⩾0q_{\Gamma }(x) \geqslant 0 для любого xx.

?
Задача 38.33

Пусть qq — невырожденная квадратичная функция на пространстве VV над произвольным полем FF. Доказать, что если существует ненулевой вектор x∈Vx \in V, для которого q(x)=0q(x)=0, то отображение q:V→Fq: V \rightarrow F сюръективно.

?
Задача 38.34

Пусть f(x,y)f(x, y) — эрмитова неотрицательно определённая функция, причём f(z,z)=0f(z, z)=0 для некоторого z≠0z \neq 0. Доказать, что f(z,t)=0f(z, t)=0 для всех tt.

?
Задача 38.35

Пусть f(x,y)f(x, y) — положительно определённая эрмитова функция, причём f(x,x)=f(y,y)=1f(x, x)=f(y, y)=1 для некоторого x,y≠0x, y \neq 0. Доказать, что ∣f(x,y)∣⩽1\left|f(x, y)\right| \leqslant 1.

?