Самосопряжённые операторы. Приведение квадратичных функций к главным осям

Доказать, что произведение двух самосопряжённых операторов в метрическом векторном пространстве является самосопряжённым оператором тогда и только тогда, когда эти операторы перестановочны.

Доказать, что если $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ — самосопряжённые операторы в метрическом векторном пространстве, то:

Доказать, что проектирование метрического пространства $L_{1} \oplus L_{2}$ на подпространство $L_{1}$ параллельно $L_{2}$ является самосопряжённым оператором тогда и только тогда, когда $L_{1}$ и $L_{2}$ ортогональны.

Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

Доказать, что функции

составляют собственный ортонормированный базис для симметрического оператора $\frac{d^{2}}{d x^{2}}$ в пространстве

со скалярным произведением $\frac{1}{\pi } \int_{-\pi }^{\pi } f(x) g(x) d x$.

Доказать, что многочлены Лежандра (задача 43.44) составляют собственный базис для самосопряжённого оператора, определённого правилом

в пространстве многочленов степени $\leqslant n$ со скалярным произведением $\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x$.

Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе эрмитова оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

В пространстве матриц $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ положим

Доказать, что:

Доказать, что самосопряжённые операторы евклидова или эрмитова пространства перестановочны тогда и только тогда, когда они имеют общий ортонормированный собственный базис.

Доказать, что самосопряжённый линейный оператор в евклидовом или эрмитовом пространстве:

Доказать, что если $\mathcal{A}$ — оператор в евклидовом или эрмитовом пространстве, то $\mathcal{A}^{*} \mathcal{A}$ — неотрицательный самосопряжённый оператор и положителен тогда и только тогда, когда оператор $\mathcal{A}$ обратим.

Доказать, что если два неотрицательных самосопряжённых оператора в евклидовом или эрмитовом пространстве перестановочны, то их произведение — неотрицательный самосопряжённый оператор.

Доказать, что для всякого неотрицательного (положительного) самосопряжённого оператора $\mathcal{A}$ в евклидовом или эрмитовом пространстве существует такой неотрицательный (положительный) самосопряжённый оператор $\mathcal{B}$, что $\mathcal{B}^{2}=\mathcal{A}$.

Пусть оператор $\mathcal{A}$ в трехмерном евклидовом пространстве в некотором ортонормированном базисе задан матрицей

Найти в этом базисе матрицу положительного самосопряжённого оператора $\mathcal{B}$ такого, что $\mathcal{B}^{2}=\mathcal{A}$.

Доказать, что собственные значения произведения двух неотрицательных самосопряжённых операторов в евклидовом или эрмитовом пространстве, один из которых обратим, являются вещественными и неотрицательными.

Доказать, что неотрицательный самосопряжённый оператор ранга $r$ в евклидовом или эрмитовом пространстве является суммой $r$ неотрицательных самосопряжённых операторов ранга 1.

Доказать, что всякий линейный оператор $\mathcal{A}$ эрмитова пространства единственным образом представим в виде

где $\mathcal{A}_{1}$ и $\mathcal{A}_{2}$ — эрмитовы операторы.

Пусть $A$ — вещественная матрица Якоби, т.е. симметрическая матрица вида

причём $\beta_{1} \cdot \ldots \cdot \beta_{n-1} \neq 0$. Доказать, что $A$ не имеет кратных собственных значений.

Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную функцию к главным осям:

Доказать, что если $f(x)=\sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} x_{i}^{2}$, то

Привести эрмитову квадратичную функцию к главным осям: