Ортогональные и унитарные операторы. Полярное разложение

Доказать, что ортогональные (унитарные) операторы образуют группу относительно умножения.

Доказать, что если оператор в евклидовом (эрмитовом) пространстве сохраняет длины векторов, то он ортогонален (унитарен).

Доказать, что если векторы $x$ и $y$ евклидова (эрмитова) пространства имеют одинаковую длину, то существует ортогональный (унитарный) оператор, переводящий $x$ в $y$.

Пусть $x_{1}, \ldots , x_{k}$ и $y_{1}, \ldots , y_{k}$ — две системы векторов евклидова (эрмитова) пространства. Доказать, что ортогональный (унитарный) оператор, переводящий $x_{i}$ в $y_{i}(i=1, \ldots , k)$, существует тогда и только тогда, когда $\left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(y_{i}, y_{j}\right)$ при всех $i$ и $j$ от 1 до $k$.

Найти канонический базис и матрицу в этом базисе ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

Доказать, что унитарная матрица порядка 2 с определителем, равным 1, подобна вещественной ортогональной матрице.

Доказать, что если $\mathcal{A}$ — унитарный оператор в эрмитовом пространстве и оператор $\mathcal{A}-\mathcal{E}$ обратим, то оператор $i(\mathcal{A}-\mathcal{E})^{-1}(\mathcal{A}+\mathcal{E})$ эрмитов.

Пусть $\mathcal{A}$ — эрмитов оператор. Доказать, что:

Доказать, что для всякого эрмитова оператора $\mathcal{A}$ оператор $e^{i \mathcal{A}}$ унитарен и, обратно, всякий унитарный оператор представим в виде $e^{i \mathcal{A}}$, где $\mathcal{A}$ — эрмитов оператор.

Пусть $V$ — евклидово пространство с базисом $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ и $\mathcal{A}$ — ортогональный оператор в $V$ с определителем 1. Доказать, что

где $\mathcal{A}_{\varphi }$ и $\mathcal{A}_{\psi }$ — повороты в плоскости $\left\langle e_{1}, e_{2}\right\rangle$ на углы $\varphi$ и $\psi , \mathcal{B}_{\theta }$ поворот плоскости $\left\langle e_{2}, e_{3}\right\rangle$ на угол $\theta$.

Пусть $V$ — пространство эрмитовых матриц порядка 2 над полем $\mathbb {R}$ с нулевым следом и $(A, B)=\operatorname {tr} A B(A, B \in V)$. Доказать, что:

Доказать, что всякий ортогональный оператор $\mathcal{A}$ в евклидовом пространстве является произведением отражений относительно гиперплоскостей и минимальное число множителей равно коразмерности подпространства $\operatorname {Ker}(\mathcal{A}-\mathcal{E})$.

Доказать, что если $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ — положительные самосопряжённые операторы, $\mathcal{A}=\mathcal{B} \mathcal{C}$ и оператор $\mathcal{C}$ ортогонален (унитарен), то $\mathcal{C}=\mathcal{E}$.

Представить в виде произведения положительного самосопряжённого и ортогонального операторов оператор, заданный в некотором ортонормированном базисе матрицей:

Доказать, что в разложении $\mathcal{A}=\mathcal{B} \mathcal{C}$ оператора в евклидовом (эрмитовом) пространстве, где $\mathcal{B}$ — неотрицательный самосопряжённый (эрмитов) оператор, $\mathcal{C}$ — ортогональный (унитарный) оператор, оператор $\mathcal{B}$ определён однозначно.

Доказать, что для всякого унитарного оператора $\mathcal{A}$ и любого натурального числа $k$ существует унитарный оператор $\mathcal{B}$, являющийся многочленом от $\mathcal{A}$ и такой, что $\mathcal{B}^{k}=\mathcal{E}$.

Доказать, что самосопряжённый оператор $\mathcal{A}$ положителен, когда коэффициенты $c_{1}, \ldots , c_{n}$ его характеристического полинома $t^{n}+c_{1} t^{n-1}+\ldots +c_{n}$ отличны от нуля и имеют чередующиеся знаки.

Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ — самосопряжённые операторы, причём $\mathcal{A}$ положителен. Доказать, что собственные значения оператора $\mathcal{A B}$ вещественны.

Пусть $\mathcal{A}$ — положительный и $\mathcal{B}$ — неотрицательный операторы. Доказать, что собственные значения $\mathcal{A B}$ вещественны и неотрицательны.

Пусть $\mathcal{A}$ — самосопряжённый оператор. Доказать, что следующие условия эквивалентны:

Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ — самосопряжённые операторы, собственные значения которых лежат соответственно в интервалах $[a, b]$ и $[c, d]$. Доказать, что собственные значения $\mathcal{A}+\mathcal{B}$ лежат в интервале $[a+c$, $b+d]$.

Пусть $\mathcal{A}$ — самосопряжённый положительный оператор. Доказать, что оператор $e^{\mathcal{A}}$ положителен и самосопряжён.

Пусть $\mathcal{A}=\mathcal{B} \mathcal{U}$ — полярное разложение оператора $\mathcal{A}$, где $\mathcal{B}$ — неотрицательный самосопряжённый оператор, $\mathcal{U}$ — унитарный оператор. Доказать, что $\mathcal{A}$ нормален тогда и только тогда, когда $\mathcal{B U}=\mathcal{U B}$.

Пусть $\mathcal{A}=\mathcal{B} \mathcal{U}$ — полярное разложение оператора $\mathcal{A}$, где $\mathcal{B}$ — неотрицательный самосопряжённый оператор, $\mathcal{U}$ — унитарный оператор. Предположим, что $\lambda_{1} \geqslant \ldots \geqslant \lambda_{n} \geqslant 0$ — собственные значения $\mathcal{B}$. Рассмотрим в пространстве операторов норму, соответствующую согласно утверждению задачи 42.5, б) норме в эрмитовом пространстве. Доказать, что:

Пусть $A$ — невырожденная квадратная комплексная матрица размера $n$. Рассмотрим систему линейных уравнений $A X=b$. Пусть $X_{0}$ — точное решение, $X_{1}$ — приближенное, $r=b-A X_{1}$ - вектор невязки. Доказать, что

Пусть $A$ — квадратная комплексная матрица. Доказать, что $A=U_{1} D U_{2}$, где $U_{1}, U_{2}$ — унитарные матрицы, $D$ — диагональная матрица. По главной диагонали $D$ стоят квадратные корни из собственных значений матрицы $A \cdot { }^{t} A$.

Пусть $A=\left(a_{i j}\right)$ — комплексная квадратная матрица порядка $n$. Доказать, что:

Пусть $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$. Доказать, что $A=U R$, где $U$ — унитарная матрица, а $R$ — верхнетреугольная. Если $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {R})$, то $A=Q R$, где $Q$ — ортогональная, а $R$ — вещественная верхнетреугольная матрица.

Пусть $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$. Доказать, что ${ }^{t} \bar{A} A={ }^{t} \bar{R} R$, где $R$ верхнетреугольная матрица. Если $A \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {R})$, то $R$ можно выбрать из $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {R})$.

Доказать, что всякая унитарная матрица является произведением вещественной ортогональной и комплексной симметрической матриц.

Пусть $V$ — комплексное векторное пространство со скалярным произведением (в поле $\mathbb {C}$ рассматривается тождественный автоморфизм). Доказать, что для любого симметрического оператора $\mathcal{A}$ в пространстве $V$ существует жорданов базис, в котором матрица скалярного произведения клеточно-диагональна с клетками

того же размера, что и жордановы клетки матрицы оператора $\mathcal{A}$.