Симметрические и кососимметрические тензоры

Установить изоморфизм пространств $\left(\mathbb {T}_{q}^{p}(V)\right)^{*}$ и $\mathbb {T}_{p}^{q}(V)$.

Доказать следующие свойства операторов Sym и Alt в пространстве $\mathbb {T}_{0}^{q}(V)$ :

Доказать, что если основное поле имеет характеристику 0, то линейная оболочка тензоров вида $v^{k}(v \in V)$ совпадает с $S^{k}(V)$.

Установить изоморфизм:

Доказать, что при $\operatorname {dim} V>2$ пространства $\Lambda^{2}\left(\Lambda^{2}(V)\right)$ и $\Lambda^{4}(V)$ не совпадают.

Доказать, что для любой невырожденной билинейной функции $f$ на пространстве $V$ существует невырожденная билинейная функция $F$ на пространстве $\Lambda^{2} V$, для которой

Найти след оператора $\Lambda^{q}(\mathcal{A})$ по его матрице $\mathcal{A}$ :

Найти жорданову форму матрицы оператора $\Lambda^{2}(\mathcal{A})$, если матрица $\mathcal{A}$ имеет жорданову форму:

Доказать, что если $\operatorname {tr} \Lambda^{q}(\mathcal{A})=0$ для всех $q>0$, то оператор $\mathcal{A}$ нильпотентен.

Доказать, что в $n$-мерном пространстве $V$ ненулевой оператор вида $\Lambda^{n-1}(\mathcal{A})$ на $\Lambda^{n-1}(V)$ либо невырожден, либо имеет ранг 1.

Доказать, что $k$-мерное подпространство $W \subseteq V$ инвариантно относительно линейного оператора $\mathcal{A}$ тогда и только тогда, когда $\Lambda^{k} W$ инвариантно относительно $\Lambda^{k}(\mathcal{A})$.

Доказать, что для всякого бивектора $\xi \in \Lambda^{2}(V)$ существует базис $(e_{1}, \ldots , e_{n})$ пространства $V$, для которого

при некотором чётном $k$.

Пусть система $v_{1}, \ldots , v_{k}$ векторов пространства $V$ линейно независима и $t_{1}, \ldots , t_{k} \in V$. Доказать, что

тогда и только тогда, когда $t_{1}, \ldots , t_{k} \in \left\langle v_{1}, \ldots , v_{k}\right\rangle$, и матрица, составленная из элементов $\alpha_{i j}$, где $t_{i}=\sum_{j=1}^{k} \alpha_{i j} v_{j}$, симметрическая.

Доказать, что бивектор $\xi$ разложим тогда и только тогда, когда $\xi \wedge \xi =0$.

Доказать, что для $\xi \in \Lambda^{p}(V), x \in V, x \neq 0$, равенство $\xi \wedge x=0$ выполняется тогда и только тогда, когда $\xi =x \wedge \theta$ для некоторого $\theta \in \Lambda^{p-1}(V)$.

Пусть $\xi \in \Lambda^{p}(V)$ — ненулевой $p$-вектор и

Доказать, что:

Доказать, что внутреннее умножение $i\left(v^{*}\right)$, где $v^{*} \in V^{*}$, является дифференцированием алгебры $S(V)$.

Доказать, что операторы внутреннего умножения $i\left(v_{1}^{*}\right)$ и $i\left(v_{2}^{*}\right), v_{1}^{*}, v_{2}^{*} \in V^{*}$, коммутируют в алгебре $S(V)$ и антикоммутируют в алгебре $\Lambda (V)$.