Равномерная непрерывность

Доказать, что функция $f$ равномерно непрерывна на множестве $X$, если:

Доказать, что функция не является равномерно непрерывной на множестве $X$ :

Исследовать функцию на равномерную непрерывность на множестве $X$.

Исследовать функцию на равномерную непрерывность на множестве $X$.

Функция $f$ удовлетворяет на множестве $X$ следующему условию: существуют числа $k > 0$ и $\alpha > 0$ такие, что для любых $x_{1}$ и $x_{2}$ из $X$ верно неравенство

(при $\alpha = 1$ это условие называют условием Липшица, при $\alpha < 1$ условием Гельдера порядка $\alpha$). Доказать, что функция, удовлетворяющая этому условию, равномерно непрерывна на множестве $X$.

Доказать, что если функция равномерно непрерывна на промежутке, то она и непрерывна на этом промежутке.

Доказать, что если функция неограниченна на ограниченном интервале, то она не является равномерно непрерывной на этом интервале.

Привести пример функции:

Нарисовать график модуля непрерывности $\omega (\delta )$ функции $f$ на множестве $X$, если:

Найти модуль непрерывности функции $f$ на множестве $X$ и, используя его, установить равномерную непрерывность функции, если:

Доказать, что для любого $\delta > 0 \omega (\delta ; f ; X) = +\infty$, если:

Пусть $\omega (\delta )$ — модуль непрерывности функции $f$ на множестве $X$.

Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta$ такое, что для любых $x_{1}, x_{2} \in D(f)$ из неравенства $\left|x_{1}-x_{2}\right| < \delta$ следует неравенство

Доказать, что если функция $f$ равномерно непрерывна на множестве $X$, а $Y \in X$, то $f$ равномерно непрерывна и на множестве $Y$.

Функция $f$ равномерно непрерывна на отрезках $[a ; b]$ и $[b ; c]$. Доказать, что она равномерно непрерывна и на отрезке $[a ; c]$.

Привести пример функции, равномерно непрерывной на отрезке $[a ; b]$ и на полуинтервале $(b ; c]$ и не являющейся равномерно непрерывной на отрезке $[a ; c]$.

Доказать, что если функции $f$ и $g$ равномерно непрерывны на множестве $X$, то для любых $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ функция $\alpha f+\beta g$ равномерно непрерывна на $X$.

Доказать, что непрерывная периодическая функция равномерно непрерывна.

Функция $f$ равномерно непрерьвна на $[a ;+\infty )$. Доказать, что выполнено одно из трех условий: либо $f(x)$ ограниченна на $[a ;+\infty )$, либо $\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x) = +\infty$, либо $\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x) = -\infty$.

Функция $f$ непрерывна на $[a ;+\infty$) и существует (конечный) $\lim_{x \rightarrow \infty } f(x)$. Доказать, что $f$ равномерно непрерывна на $[a ;+\infty )$.

Доказать, что ограниченная, монотонная, непрерывная на интервале функция равномерно непрерывна на этом интервале (конечном или бесконечном).

Доказать, что для равномерной непрерывности функции $f$ на ограниченном интервале $(a ; b)$ необходимо и достаточно, чтобы функция была непрерывна на $(a ; b)$ и чтобы существовали пределы $\lim_{x \rightarrow a+0} f(x)$ и $\lim_{x \rightarrow b-0} f(x)$.

Доказать, что для того, чтобы функцию $f$, определенную и непрерывную на интервале $(a ; b)$, можно было продолжить как непрерывную функцию на отрезок $[a ; b]$, необходимо и достаточно, чтобы функция $f$ была равномерно непрерывна на интервале $(a ; b)$.

Доказать, что если функция $f$ равномерно непрерывна на интервале $(a ; b)$, то ее можно продолжить как непрерывную функцию на всю числовую прямую $\mathbb {R}$, т. е. существует непрерывная функция $F(x)$, определенная на $\mathbb {R}$, такая, что $F(x) = f(x)$ для любого $x \in (a ; b)$.

Функция $f$ равномерно непрерывна на $\mathbb {R}$ Доказать, что существуют числа $a \geqslant 0, b \geqslant 0$ такие, что $\left|f(x)\right| \leqslant a\left|x\right|+b$ для любого $x \in \mathbb {R}$.

Непрерывная на отрезке $[a ; b]$ функция $f$ называется кусочно линейной, если существует разбиение отрезка $[a ; b]$ точками $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}$ такое, что

и функция $f$ линейна на каждом отрезке $\left[x_{i-1} ; x_{i}\right], i = 1,2, \ldots , n$ (т. е. $f(\vect {x}) = a_{i} x+b_{i}$). Доказать, что всякая непрерывная на отрезке $[a ; b]$ функция $F$ может быть с любой точностью аппроксимирована кусочно линейной функцией, т. е. для любого $\varepsilon > 0$ существует такая кусочно линейная функция $f$, что для всех $x \in [a ; b]$ верно неравенство

Для функции $F$ подобрать кусочно линейную функцию $f$ так, чтобы для всех $x \in [a ; b]$ было выполнено неравенство $\left|F(x)-f(x)\right| < 0,1$ :

Найти такую кусочно линейную на отрезке $[0 ; 100]$ функцию $f$, что для всех $x \in [0 ; 100]$ верно неравенство

Функцию $f$, непрерывную на $\mathbb {R}$, называют кусочно линейной на $\mathbb {R}$, если существуют такие числа $a$ и $b, a < b$, что функция $f$ линейна на промежутках $(-\infty ; a],[b ;+\infty )$ и кусочно линейна на $[a ; b]$. Доказать, что, каково бы ни было число $\varepsilon$, не существует кусочно линейной на $\mathbb {R}$ функции $f$, для которой $\left|x^{2}-f(x)\right| < 1$ для всех $x \in \mathbb {R}$.

Доказать, что всякая кусочно линейная функция может быть задана формулой

Найти формулу, указанную в предыдущей задаче, для кусочно линейной на отрезке функции $f$, если:

Доказать, что кусочно линейная на $\mathbb {R}$ функция равномерно непрерывна на $\mathbb {R}$.

Пусть

Доказать, что ни при каком $a$ не существует кусочно линейной на $[-1 / \pi ; 1 / \pi ]$ функции $g$ такой, что $\left|f(x)-g(x)\right| < 1 / 2$ для любого $x \in [-1 / \pi ; 1 / \pi ]$.

Сформулировать в позитивной форме утверждение, что функция, определенная на отрезке, не может быть аппроксимирована с любой точностью кусочно линейной функцией.

Доказать, что если функция $f$ определена, но разрывна на отрезке $[a ; b]$, то ее нельзя аппроксимировать с любой точностью кусочно линейной функцией.

Доказать, что если функцию $f$ на промежутке можно аппроксимировать с любой точностью кусочно линейной функцией, то $f$ равномерно непрерывна на этом промежутке.

Доказать, что если функцию $f$ на промежутке $[c ;+\infty )$ можно аппроксимировать с любой степенью точности кусочно линейной функцией, то $f$ имеет асимптоту при $x \rightarrow +\infty$ (функция кусочно линейна на $[c ;+\infty )$, если она непрерывна на $[c ;+\infty )$, линейна на $[d ;+\infty )$ при некотором $d > c$ и кусочно линейна на $[c ; d]$).