§ 1.8

Предел последовательности

[280/34%]
Показать
LaTeX
Подпараграф
1.8.2 · Задачи[280/34%]
Задача 1.8.1

Доказать, что lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0, указав для каждого ε>0\varepsilon > 0 такое NN, что для любого n⩾Nn \geqslant N верно неравенство ∣xn∣<ε\left|x_{n}\right| < \varepsilon, если:

?
(1)

xn=1/nx_{n} = 1 / n;

(2)

xn=a/nx_{n} = a / n (aa — произвольное данное число);

(3)

xn=(−1)n+1nx_{n} = \frac{(-1)^{n+1}}{n};

(4)

xn=2+(−1)nnx_{n} = \frac{2+(-1)^{n}}{n};

(5)

xn=1+(−1)nnx_{n} = \frac{1+(-1)^{n}}{n};

(6)

xn=1nsin⁡πn2x_{n} = \frac{1}{n} \sin \frac{\pi n}{2}.

Отметить на числовой прямой (в случае 2) взять a=−1a = -1) первые шесть членов этих последовательностей.

Задача 1.8.2

Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞n+bn=1\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n+b}{n} = 1, где b∈Rb \in \mathbb {R};

(2)

lim⁡n→∞n2n+1=12\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n}{2 n+1} = \frac{1}{2};

(3)

lim⁡n→∞3n2n−1=32\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{3 n}{2 n-1} = \frac{3}{2};

(4)

lim⁡n→∞2−n2+n=−1\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{2-n}{2+n} = -1;

(5)

lim⁡n→∞n2+1n2=1\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n^{2}+1}{n^{2}} = 1;

(6)

lim⁡n→∞1np=0\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n^{p}} = 0, где p⩾1p \geqslant 1.

Задача 1.8.3

Пусть lim⁡n→∞xn=x\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x, а последовательность {yn}\left\{ y_{n}\right\} такова, что существуют натуральные pp и n0n_{0} такие, что yn=xn+py_{n} = x_{n+p} (или yn=xn−py_{n} = x_{n-p}) для любого n⩾n0n \geqslant n_{0}. Доказать, что последовательность yny_{n} сходится и lim⁡n→∞yn=x\lim_{n \rightarrow \infty } y_{n} = x. Иными словами, изменение (в частности, отбрасывание или добавление) конечного числа членов сходящейся последовательности оставляет ее сходящейся к тому же пределу.

?
Задача 1.8.4

Доказать, что lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0, указав для каждого ε>0\varepsilon > 0 такое NN, что для любого n⩾Nn \geqslant N верно неравенство ∣xn∣<ε\left|x_{n}\right| < \varepsilon, если:

?
(1)

xn=1nx_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}};

(2)

xn=22n−1x_{n} = \frac{2}{\sqrt{2 n-1}};

(3)

xn=13n−113x_{n} = \frac{1}{\sqrt[3]{3 n-11}};

(4)

xn=1nk,k∈Nx_{n} = \frac{1}{\sqrt[k]{n}}, k \in \mathbb {N}.

Задача 1.8.5

Доказать, что lim⁡n→∞nn2+n=1\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}} = 1.

?
Задача 1.8.6

Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞(−0,5)n=0\lim_{n \rightarrow \infty }(-0,5)^{n} = 0;

(2)

lim⁡n→∞(0,99)n=0\lim_{n \rightarrow \infty }(0,99)^{n} = 0.

Задача 1.8.7

Доказать, что если ∣q∣<1\left|q\right| < 1, то lim⁡n→∞qn=0\lim_{n \rightarrow \infty } q^{n} = 0.

?
Задача 1.8.8

Доказать, что {xn}\left\{ x_{n}\right\} — бесконечно малая последовательность, если:

?
(1)

xn=n2−1n3x_{n} = \frac{n^{2}-1}{n^{3}}

(2)

xn=2n+3n2x_{n} = \frac{2 n+3}{n^{2}}

(3)

xn=qnn,∣q∣⩽1x_{n} = \frac{q^{n}}{n},\left|q\right| \leqslant 1;

(4)

xn=2n+1(n+1)2nx_{n} = \frac{2 n+1}{(n+1) 2^{n}}

(5)

xn=sin⁡nnx_{n} = \frac{\sin n}{\sqrt{n}}.

Задача 1.8.9

Для того чтобы последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} была бесконечно малой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {∣xn∣}\left\{ \left|x_{n}\right|\right\} была бесконечно малой. Доказать.

?
Задача 1.8.10

Привести пример последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}, удовлетворяющей условию

∀ε>0∃N∀n⩾N:xn<ε \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall n \geqslant N: \quad x_{n} < \varepsilon

и такой, что:

?
(1)

она не имеет предела;

(2)

она имеет предел. Может ли этот предел быть равным 1?

Задача 1.8.11

Сформулировать на языке " ε−N\varepsilon -N " отрицание того, что {xn}\left\{ x_{n}\right\} — бесконечно малая последовательность, и записать его, используя символы ∃,∀\exists , \forall.

?
Задача 1.8.12

Доказать, что число aa не является пределом последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}, если:

?
(1)

xn=(−1)n,a=−1x_{n} = (-1)^{n}, a = -1;

(2)

xn=2−cos⁡πn2+cos⁡πn,a=3x_{n} = \frac{2-\cos \pi n}{2+\cos \pi n}, a = 3;

(3)

xn=cos⁡(πn/3),a=1/2x_{n} = \cos (\pi n / 3), a = 1 / 2;

(4)

xn=2(−1)nn,a=0x_{n} = 2^{(-1)^{n} n}, a = 0.

Задача 1.8.13

Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} расходится, если:

?
(1)

xn=(−1)nx_{n} = (-1)^{n};

(2)

xn=nx_{n} = n;

(3)

xn=sin⁡πn2x_{n} = \sin \frac{\pi n}{2};

(4)

xn=E[(−1)nn]x_{n} = \mathbb {E}\left[\frac{(-1)^{n}}{n}\right];

(5)

xn=sin⁡nx_{n} = \sin n;

(6)

xn=nn+1cos⁡2πn3x_{n} = \frac{n}{n+1} \cos \frac{2 \pi n}{3}.

Задача 1.8.14

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} расходится, а последовательность {yn}\left\{ y_{n}\right\} такова, что существуют натуральные pp и n0n_{0} такие, что yn=xn+py_{n} = x_{n+p} (или yn=xn−py_{n} = x_{n-p}) для любого n⩾n0n \geqslant n_{0}. Доказать, что последовательность {yn}\left\{ y_{n}\right\} расходится. Иными словами, изменение (в частности, добавление или отбрасывание) конечного числа членов расходнщейся последовательности оставляет ее расходящейся.

?
Задача 1.8.15

Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} расходится, если:

?
(1)

xn=(−1)nnx_{n} = (-1)^{n} n;

(2)

xn=n(−1)nx_{n} = n^{(-1)^{n}};

(3)

xn=n2−2nn+1x_{n} = \frac{n^{2}-2 n}{n+1};

(4)

xn=n2sin⁡πn4x_{n} = n^{2} \sin \frac{\pi n}{4};

(5)

xn=(0,5)((−1)n−1)nx_{n} = (0,5)^{\left((-1)^{n}-1\right) n}.

Задача 1.8.16

Привести пример такой последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}, что lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0 и из двух последовательностей {sign⁡xn},{(sign⁡xn)2}\left\{ \operatorname {sign} x_{n}\right\} ,\left\{ \left(\operatorname {sign} x_{n}\right)^{2}\right\} :

?
(1)

обе сходятся;

(2)

обе расходятся;

(3)

первая расходится, а вторая сходится.

Задача 1.8.17
?
(1)

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится, lim⁡n→∞xn=a\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = a. Доказать, что сходится и последовательность {∣xn∣}\left\{ \left|x_{n}\right|\right\} и lim⁡n→∞∣xn∣=∣a∣\lim_{n \rightarrow \infty }\left|x_{n}\right| = \left|a\right|.

(2)

Привести пример расходящейся последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}, для которой последовательность {∣xn∣}\left\{ \left|x_{n}\right|\right\} сходится.

Задача 1.8.18

У последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} подпоследовательности {x2k}\left\{ x_{2 k}\right\} и {x2k−1}\left\{ x_{2 k-1}\right\} имеют один и тот же предел. Доказать, что и сама последовательность сходится к этому пределу.

?
Задача 1.8.19

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} такова, что lim⁡k→∞x2k=a,lim⁡k→∞x2k−1=b,a≠b\lim_{k \rightarrow \infty } x_{2 k} = a, \lim_{k \rightarrow \infty } x_{2 k-1} = b, a \neq b. Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} расходится.

?
Задача 1.8.20

Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} расходится, если xnx_{n} равно:

?
(1)

log⁡a(2+(−1)n),a>0a≠1\log_{a}\left(2+(-1)^{n}\right), a > 0 \quad a \neq 1;

(2)

arcsin⁡(−1)nnn+1\arcsin \frac{(-1)^{n} n}{n+1};

(3)

2n+1−(−3)n(−2)n+3n+1\frac{2^{n+1}-(-3)^{n}}{(-2)^{n}+3^{n+1}}.

Задача 1.8.21

Доказать, что последовательность:

?
(1)

xn=1n∑k=1n(−1)n−kk,n∈Nx_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{n-k} k, n \in \mathbb {N}, сходится;

(2)

xn=1n∑k=1n(−1)k−1k,n∈Nx_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k-1} k, n \in \mathbb {N}, расходится.

Задача 1.8.22

Привести пример последовательностей {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\}, имеющих одно и то же множество значений и таких, что:

?
(1)

{xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\} сходнтся, но lim⁡n→∞xn≠lim⁡n→∞yn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} \neq \lim_{n \rightarrow \infty } y_{n};

(2)

{xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится, а {yn}\left\{ y_{n}\right\} расходится.

Задача 1.8.23

Последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\} сходятся и lim⁡n→∞xn≠lim⁡n→∞yn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} \neq \lim_{n \rightarrow \infty } y_{n}. Множества значений этих последовательностей совпадают. Доказать, что эти множества конечны.

?
Задача 1.8.24

Пусть lim⁡n→∞xn=x,mn=inf⁡k⩾n{xn},Mn=sup⁡k⩾n{xn},n∈N\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x, m_{n} = \inf_{k \geqslant n}\left\{ x_{n}\right\} , M_{n} = \sup_{k \geqslant n}\left\{ x_{n}\right\} , n \in \mathbb {N}. Доказать, что lim⁡n→∞mn=lim⁡n→∞Mn=x\lim_{n \rightarrow \infty } m_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty } M_{n} = x.

?
Задача 1.8.25

Доказать, что если xn⩾0,n∈N,lim⁡n→∞xn=ax_{n} \geqslant 0, n \in \mathbb {N}, \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = a, то:

?
(1)

lim⁡n→∞xn=a\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt{x_{n}} = \sqrt{a};

(2)

lim⁡n→∞xn3=a3\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[3]{x_{n}} = \sqrt[3]{a};

(3)

lim⁡n→∞xnp=ap,p∈N\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[p]{x_{n}} = \sqrt[p]{a}, p \in \mathbb {N}.

Задача 1.8.26

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если:

?
(1)

xn=9+1nx_{n} = \sqrt{9+\frac{1}{n}};

(2)

xn=(8−1n2)−1/3x_{n} = \left(8-\frac{1}{n^{2}}\right)^{-1 / 3};

(3)

xn=n+0,258n+13x_{n} = \sqrt[3]{\frac{n+0,25}{8 n+1}};

(4)

xn=n+1n2+1x_{n} = \frac{n+1}{\sqrt{n^{2}+1}};

(5)

lim⁡n→∞n+1n2+2n\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n+1}{\sqrt{n^{2}+2 n}};

(6)

xn=n2+n3n+2x_{n} = \frac{\sqrt[3]{n^{2}+n}}{n+2};

(7)

xn=n2+1+nn3+n3+nx_{n} = \frac{\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n}}{\sqrt[3]{n^{3}+n}+n};

(8)

xn=n2−1−n−1x_{n} = \sqrt{n^{2}-1}-n-1;

(9)

xn=n2+n−n2−nx_{n} = \sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}-n};

(10)

xn=n3+2n23−nx_{n} = \sqrt[3]{n^{3}+2 n^{2}}-n;

(11)

xn=n2(1+2n3−1)x_{n} = \frac{n}{2}\left(\sqrt[3]{1+\frac{2}{n}}-1\right).

Задача 1.8.27

Доказать, что сходящаяся последовательность достигает хотя бы одной из своих точных граней — верхней или нижней.

?
Задача 1.8.28

Является ли обязательно число aa пределом последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}, если:

?
(1)

существует такое натуральное число NN, что для любого ε>0\varepsilon > 0 и для любого n⩾Nn \geqslant N справедливо неравенство ∣xn−a∣<ε\left|x_{n}-a\right| < \varepsilon;

(2)

для любого ε>0\varepsilon > 0 существуют такие натуральные числа NN и n⩾Nn \geqslant N, что ∣xn−a∣<ε\left|x_{n}-a\right| < \varepsilon?

Задача 1.8.29

Пусть xn>0,n∈N,lim⁡n→∞xn=0x_{n} > 0, n \in \mathbb {N}, \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0. Доказать, что:

?
(1)

∀N∃n0⩾N∀n>n0:xn<xn0\forall N \exists n_{0} \geqslant N \quad \forall n > n_{0}: x_{n} < x_{n_{0}};

(2)

∀N∃n0⩾N∀n(1⩽n<n0):xn>xn0\forall N \exists n_{0} \geqslant N \quad \forall n\left(1 \leqslant n < n_{0}\right): x_{n} > x_{n_{0}}.

Задача 1.8.30

Пусть KK — множество всех сходящихся последовательностей, a K1,K2,…,K8K_{1}, K_{2}, \ldots , K_{8} — множества всех последовательностей, удовлетворяющих соответственно условиям:

?
(1)

∃ε>0∃N∃n⩾N:∣xn∣<ε\exists \varepsilon > 0 \exists N \quad \exists n \geqslant N:\left|x_{n}\right| < \varepsilon;

(2)

∃ε>0∃N∀n⩾N:∣xn∣<ε\exists \varepsilon > 0 \exists N \quad \forall n \geqslant N:\left|x_{n}\right| < \varepsilon;

(3)

∃ε>0∀N∃n⩾N:∣xn∣<ε\exists \varepsilon > 0 \quad \forall N \quad \exists n \geqslant N:\left|x_{n}\right| < \varepsilon

(4)

∀ε>0∃N∃n⩾N:∣xn∣<ε\forall \varepsilon > 0 \exists N \exists n \geqslant N:\left|x_{n}\right| < \varepsilon;

(5)

∃ε>0∀N∀n⩾N:∣xn∣<ε\exists \varepsilon > 0 \forall N \quad \forall n \geqslant N:\left|x_{n}\right| < \varepsilon;

(6)

∀ε>0∃N∀n⩾N:∣xn∣<ε\forall \varepsilon > 0 \exists N \quad \forall n \geqslant N:\left|x_{n}\right| < \varepsilon;

(7)

∀ε>0∃N∀n⩾N:∣xn∣<ε\forall \varepsilon > 0 \exists N \quad \forall n \geqslant N:\left|x_{n}\right| < \varepsilon;

(8)

∀ε>0∀N∀n⩾N:∣xn∣<ε\forall \varepsilon > 0 \quad \forall N \quad \forall n \geqslant N:\left|x_{n}\right| < \varepsilon.

  1. Какие из следующих включений верны:

    1. K6⊂K2K_{6} \subset K_{2};

    2. K2⊂K6K_{2} \subset K_{6};

    3. K7⊂K2K_{7} \subset K_{2};

    4. K8⊂KK_{8} \subset K;

    5. K⊂K8K \subset K_{8}?

  2. Для каких j=1,2,…,8j = 1,2, \ldots , 8 верно включение K,⊂KK, \subset K?

  3. Какие из множеств Kj(j=1,2,…,8)K_{j}(j = 1,2, \ldots , 8) содержат как сходящиеся, так и расходящиеся последовательности?

  4. Какие из множеств Kj(j=1,2,…,8)K_{j}(j = 1,2, \ldots , 8) содержат неограниченные последовательности?

  5. Какому из условий 1)-8) удовлетворяет любая последовательность?

  6. Какие из множеств Kj(j=1,2,…,8)K_{j}(j = 1,2, \ldots , 8) совпадают?

Задача 1.8.31

Доказать, что если последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} удовлетворяет условию

∀ε>0∃a∃N∀n⩾N:∣xn−a∣<ε \forall \varepsilon > 0 \exists a \exists N \quad \forall n \geqslant N:\left|x_{n}-a\right| < \varepsilon

то {xn}\left\{ x_{n}\right\} — сходящаяся последовательность. Доказать, что верно и обратное.

?
Задача 1.8.32

Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} расходится тогда и только тогда, когда

∃ε>0∀a∀N∃n⩾N:∣xn−a∣⩾ε \exists \varepsilon > 0 \forall a \forall N \quad \exists n \geqslant N:\left|x_{n}-a\right| \geqslant \varepsilon

(сравните эту запись с определением расходящейся последовательности в (3)).

?
Задача 1.8.33

Последовательность {yk}\left\{ y_{k}\right\} получена перестановкой членов последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}, т. е. для любого nn существует knk_{n} такое, что xn=yknx_{n} = y_{k_{n}}, причем, если n1≠n2n_{1} \neq n_{2}, то kn1≠kn2k_{n_{1}} \neq k_{n_{2}}, и обратно, для любого kk существует такое nkn_{k}, что yk=xnky_{k} = x_{n_{k}}, причем, если k1≠k2k_{1} \neq k_{2}, то nk1≠nk2n_{k_{1}} \neq n_{k_{2}}.

Доказать, что:

?
(1)

если lim⁡n→∞xn=a\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = a, то и lim⁡k→∞yk=a\lim_{k \rightarrow \infty } y_{k} = a;

(2)

если {xn}\left\{ x_{n}\right\} расходится, то и {yk}\left\{ y_{k}\right\} расходится.

Иными словами, перенумерация элементов последовательности не меняет ее свойства сходимости или расходимости.

Задача 1.8.34

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если:

?
(1)

xn=9+n/(n+1)2+1/nx_{n} = \frac{9+n /(n+1)}{2+1 / n};

(2)

xn=3+0,5n0,3n+1+5x_{n} = \frac{3+0,5^{n}}{0,3^{n+1}+5}

(3)

xn=n3n+2x_{n} = \frac{n}{3 n+2}

(4)

xn=2−nn+1+n⋅2−nn+2x_{n} = \frac{2-n}{n+1}+\frac{n \cdot 2^{-n}}{n+2}

(5)

xn=(n−1n)5x_{n} = \left(\frac{n-1}{n}\right)^{5}

(6)

xn=n3+27n4−15x_{n} = \frac{n^{3}+27}{n^{4}-15}

(7)

xn=(n+5)3−n(n+7)2n2x_{n} = \frac{(n+5)^{3}-n(n+7)^{2}}{n^{2}};

(8)

xn=n2+12n+1−3n2+16n+1x_{n} = \frac{n^{2}+1}{2 n+1}-\frac{3 n^{2}+1}{6 n+1}

(9)

xn=(−1)n+1/n1/n2−(−1)nx_{n} = \frac{(-1)^{n}+1 / n}{1 / n^{2}-(-1)^{n}};

(10)

xn=3n5+3n+1x_{n} = \frac{3 n}{5+3^{n+1}};

(11)

xn=1+2+…+nn+2−n2x_{n} = \frac{1+2+\ldots +n}{n+2}-\frac{n}{2}.

Задача 1.8.35

Известно, что xn≠1,lim⁡n→∞xn=1x_{n} \neq 1, \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 1. Найти lim⁡n→∞yn\lim_{n \rightarrow \infty } y_{n}, если:

?
(1)

yn=2xn−1xn−2y_{n} = \frac{2 x_{n}-1}{x_{n}-2}

(2)

yn=xn−1xn2−1y_{n} = \frac{x_{n}-1}{x_{n}^{2}-1}

(3)

yn=xn2+xn−2xn−1y_{n} = \frac{x_{n}^{2}+x_{n}-2}{x_{n}-1};

(4)

yn=xn2−3xn+2xn2−1y_{n} = \frac{x_{n}^{2}-3 x_{n}+2}{x_{n}^{2}-1}.

Задача 1.8.36

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если:

?
(1)

xn=2n+2+3n+32n+3nx_{n} = \frac{2^{n+2}+3^{n+3}}{2^{n}+3^{n}}

(2)

xn=5⋅2n−3⋅5n+1100⋅2n+2⋅5nx_{n} = \frac{5 \cdot 2^{n}-3 \cdot 5^{n+1}}{100 \cdot 2^{n}+2 \cdot 5^{n}}

(3)

xn=2n+3−n2−n−3nx_{n} = \frac{2^{n}+3^{-n}}{2^{-n}-3^{n}};

(4)

xn=(−1)n⋅6n−5n+15n−(−1)n+1⋅6n+1x_{n} = \frac{(-1)^{n} \cdot 6^{n}-5^{n+1}}{5^{n}-(-1)^{n+1} \cdot 6^{n+1}};

(5)

xn=an1+an,a≠−1x_{n} = \frac{a^{n}}{1+a^{n}}, a \neq -1;

(6)

xn=an1+a2nx_{n} = \frac{a^{n}}{1+a^{2 n}};

(7)

xn=an−a−nan+a−n,a≠0x_{n} = \frac{a^{n}-a^{-n}}{a^{n}+a^{-n}}, a \neq 0.

Задача 1.8.37

Верно ли, что:

?
(1)

если an2→a2a_{n}^{2} \rightarrow a^{2}, то an→aa_{n} \rightarrow a;

(2)

если an3→a3a_{n}^{3} \rightarrow a^{3}, то an→aa_{n} \rightarrow a?

Задача 1.8.38

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} имеет конечный предел aa. На координатной плоскости проведены прямые AAnA A_{n} через точки A(a;a2)A\left(a ; a^{2}\right) и An(xn;xn2),n∈NA_{n}\left(x_{n} ; x_{n}^{2}\right), n \in \mathbb {N}. Пусть ana_{n} — абсцисса точки пересечения прямой AAnA A_{n} с осью OxO x. Найти lim⁡n→∞an\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n}.

?
Задача 1.8.39

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

(n+1)4−(n−1)4(n2+1)2−(n2−1)2\frac{(n+1)^{4}-(n-1)^{4}}{\left(n^{2}+1\right)^{2}-\left(n^{2}-1\right)^{2}}

(2)

(n2+3n+4)3−(n2+3n−4)3(n2+5n+6)3−(n2+5n−6)3\frac{\left(n^{2}+3 n+4\right)^{3}-\left(n^{2}+3 n-4\right)^{3}}{\left(n^{2}+5 n+6\right)^{3}-\left(n^{2}+5 n-6\right)^{3}}

(3)

n2n+1−n3n2+1\frac{n^{2}}{n+1}-\frac{n^{3}}{n^{2}+1};

(4)

n−33/n−3/n2+1/n3n-\frac{3}{3 / n-3 / n^{2}+1 / n^{3}}

(5)

(2+n)100−n100−200n99n98−10n2+1\frac{(2+n)^{100}-n^{100}-200 n^{99}}{n^{98}-10 n^{2}+1};

(6)

lg⁡210nlg⁡2n\frac{\lg^{2} 10 n}{\lg^{2} n};

(7)

ln⁡(n2−n+1)ln⁡(n10+n+1)\frac{\ln \left(n^{2}-n+1\right)}{\ln \left(n^{10}+n+1\right)};

(8)

lg⁡(n2+2ncos⁡n+1)1+lg⁡(n+1)\frac{\lg \left(n^{2}+2 n \cos n+1\right)}{1+\lg (n+1)};

(9)

n2((1+pn)q−(1+qn)p)n^{2}\left(\left(1+\frac{p}{n}\right)^{q}-\left(1+\frac{q}{n}\right)^{p}\right), где p,q∈Np, q \in \mathbb {N}.

Задача 1.8.40

Пусть ana_{n} — общий член, а SnS_{n} — сумма первых nn членов арифметической прогрессии с разностью d≠0d \neq 0.

Найти:

?
(1)

lim⁡n→∞Snn2\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{S_{n}}{n^{2}}

(2)

lim⁡n→∞Snan2(an≠0)\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{S_{n}}{a_{n}^{2}}\left(a_{n} \neq 0\right).

Задача 1.8.41

Пусть ∣q∣<1,Sn=∑k=0naqn\left|q\right| < 1, S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a q^{n}. Доказать, что lim⁡n→∞Sn=a1−q\lim_{n \rightarrow \infty } S_{n} = \frac{a}{1-q}.

?
Задача 1.8.42

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если:

?
(1)

xn=0,11…1⏟nx_{n} = 0, \underbrace{11 \ldots 1}_{n};

(2)

x1=0,4,x2=0,45,x3=0,454,x4=0,4545,x5=0,45454,…x_{1} = 0,4, x_{2} = 0,45, x_{3} = 0,454, x_{4} = 0,4545, x_{5} = 0,45454, \ldots, ..., x2k=0,4545…45,…x_{2 k} = 0,4545 \ldots 45, \ldots;

(3)

x1=0,2,x2=0,23,x3=0,234,x4=0,2342,x5=0,23423x_{1} = 0,2, x_{2} = 0,23, x_{3} = 0,234, x_{4} = 0,2342, x_{5} = 0,23423, x6=0,234234,…x_{6} = 0,234234, \ldots

Задача 1.8.43

Доказать, что lim⁡n→∞∑k=1n1k(k+1)=1\lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1.

?
Задача 1.8.44

Найти:

?
(1)

lim⁡n→∞(11⋅3+13⋅5+…+1(2n−1)(2n+1))\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\ldots +\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}\right);

(2)

lim⁡n→∞1n(11+3+13+5+…+12n−1+2n+1)\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{2 n-1}+\sqrt{2 n+1}}\right);

(3)

lim⁡n→∞(11⋅2⋅3+12⋅3⋅4+…+1n(n+1)(n+2))\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\ldots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\right).

Задача 1.8.45

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

8n−116n−1;\frac{\sqrt[n]{8}-1}{\sqrt[n]{16}-1} ;

(2)

316n−48n+1(2n−1)2\frac{3 \sqrt[n]{16}-4 \sqrt[n]{8}+1}{(\sqrt[n]{2}-1)^{2}};

(3)

31−8n−51−32n\frac{3}{1-\sqrt[n]{8}}-\frac{5}{1-\sqrt[n]{32}};

(4)

amn−1akn−1\frac{\sqrt[n]{a^{m}}-1}{\sqrt[n]{a^{k}}-1}, a>1,k,m∈Na > 1, k, m \in \mathbb {N}.

Задача 1.8.46

Привести примеры последовательностей {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\} таких, что lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞yn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty } y_{n} = 0 и:

?
(1)

lim⁡n→∞xnyn=0\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n}}{y_{n}} = 0

(2)

lim⁡n→∞xnyn=1\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n}}{y_{n}} = 1;

(3)

lim⁡n→∞xnyn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n}}{y_{n}} = +\infty;

(4)

lim⁡n→∞xnyn\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n}}{y_{n}} не существует.

Задача 1.8.47

Известно, что lim⁡n→∞xnyn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} = 0. Следует ли отсюда, что:

?
(1)

lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞yn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty } y_{n} = 0;

(2)

хотя бы одна из последовательностей {xn}\left\{ x_{n}\right\} или {yn}\left\{ y_{n}\right\} стремится к нулю?

Задача 1.8.48

Привести примеры расходящихся последовательностей {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\}, для которых сходится последовательность:

?
(1)

{xn+yn}\left\{ x_{n}+y_{n}\right\};

(2)

{xnyn}\left\{ x_{n} y_{n}\right\};

(3)

{xn/yn}\left\{ x_{n} / y_{n}\right\}.

Задача 1.8.49

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится, а последовательность {yn}\left\{ y_{n}\right\} расходится. Доказать, что при b≠0b \neq 0 последовательность {axn+byn}\left\{ a x_{n}+b y_{n}\right\} расходится.

?
Задача 1.8.50

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится и lim⁡n→∞xn=x,x≠0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x, x \neq 0, последовательность {yn}\left\{ y_{n}\right\} расходится. Доказать, что последовательность {xnyn}\left\{ x_{n} y_{n}\right\} не сходится.

?
Задача 1.8.51

Привести пример последовательностей {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\} таких, что {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится, {yn}\left\{ y_{n}\right\} расходится, а {xnyn}\left\{ x_{n} y_{n}\right\} сходится.

?
Задача 1.8.52

Пусть lim⁡n→∞xn=x,xn≠0,n∈N\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x, x_{n} \neq 0, n \in \mathbb {N}.

?
(1)

Существует ли lim⁡n→∞xn+1xn\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n+1}}{x_{n}}?

(2)

Доказать, что если этот предел существует и равен qq, то ∣q∣⩽1\left|q\right| \leqslant 1.

(3)

Может ли последовательность {xn+1/xn}\left\{ x_{n+1} / x_{n}\right\} быть неограниченной?

Задача 1.8.53

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

n2+1−n2−1\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1};

(2)

n+13−n−13\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1};

(3)

(n+2)(n+1)−n(n−1)\sqrt{(n+2)(n+1)}-\sqrt{n(n-1)};

(4)

n3+n2+20023−n\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2002}-n

(5)

n3/2(n+1+n−1−2n)n^{3 / 2}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2 \sqrt{n});

(6)

n33(1+3n33−1)\frac{n^{3}}{3}\left(\sqrt[3]{1+\frac{3}{n^{3}}}-1\right)

Задача 1.8.54

При каких а последовательность

xn=an2+bn+2−n,n∈N x_{n} = \sqrt{a n^{2}+b n+2}-n, \quad n \in \mathbb {N}

имеет предел? Чему равен этот предел?

?
Задача 1.8.55

Найти:

?
(1)

lim⁡n→∞((n+a1)(n+a2)−n)\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\sqrt{\left(n+a_{1}\right)\left(n+a_{2}\right)}-n\right)

(2)

lim⁡n→∞((n+a1)(n+a2)(n+a3)3−n)\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\sqrt[3]{\left(n+a_{1}\right)\left(n+a_{2}\right)\left(n+a_{3}\right)}-n\right);

(3)

lim⁡n→∞((n+a1)(n+a2)…(n+ap)p−n),p∈N\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\sqrt[p]{\left(n+a_{1}\right)\left(n+a_{2}\right) \ldots \left(n+a_{p}\right)}-n\right), p \in \mathbb {N}.

Задача 1.8.56

Пусть xn=(n+1)α−nα,n∈Nx_{n} = (n+1)^{\alpha }-n^{\alpha }, n \in \mathbb {N}. Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0 при 0<α<10 < \alpha < 1;

(2)

lim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty при α>1\alpha > 1.

Задача 1.8.57

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

1n(n2−1−n)\frac{1}{n\left(\sqrt{n^{2}-1}-n\right)};

(2)

n2+1−nn+1−n\frac{\sqrt{n^{2}+1}-n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}

(3)

2n−4n2−1n2+3−n\frac{2 n-\sqrt{4 n^{2}-1}}{\sqrt{n^{2}+3}-n}

(4)

n2+1−n2−1n2+n−n−1\frac{\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}}{\sqrt{n^{2}+n}-n-1}

(5)

n2+1−nn3+1−nn\frac{\sqrt{n^{2}+1}-n}{\sqrt{n^{3}+1}-n \sqrt{n}};

(6)

n3−n+13n+14−n4\frac{\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{n+1}}{\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n}}

(7)

n3+n4−nn+2+n+1\frac{\sqrt[4]{n^{3}+n}-\sqrt{n}}{n+2+\sqrt{n+1}}.

Задача 1.8.58

Найти:

?
(1)

lim⁡n→∞(2002n)n\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\frac{2002}{n}\right)^{n};

(2)

lim⁡n→∞(an)n\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\frac{a}{n}\right)^{n} (a- произвольное число);

(3)

lim⁡n→∞(2n+3n2)n\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\frac{2 n+3}{n^{2}}\right)^{n};

(4)

lim⁡n→∞(n+102n−1)n\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\frac{n+10}{2 n-1}\right)^{n}.

Задача 1.8.59

Найти lim⁡n→∞(1n2+1+1n2+2+…+1n2+n+1)\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n+1}}\right).

?
Задача 1.8.60

Пусть 0<a⩽10 < a \leqslant 1. Доказать, что lim⁡n→∞an=1\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{a} = 1.

?
Задача 1.8.61

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

83n\sqrt[3 n]{8};

(2)

2nn→∞\sqrt[n \rightarrow \infty ]{2 n};

(3)

6n2\sqrt[n^{2}]{6};

(4)

10n−21+0,01n\frac{\sqrt[n]{10}-2}{1+\sqrt[n]{0,01}};

(5)

2+1nn\sqrt[n]{2+\frac{1}{n}};

(6)

5n+1n+5n\sqrt[n]{\frac{5 n+1}{n+5}}

(7)

2n+5n−0,5n\sqrt[n]{\frac{2 n+5}{n-0,5}}

(8)

3n+2nn\sqrt[n]{3^{n}+2^{n}}

(9)

3n−19n−1\frac{\sqrt[n]{3}-1}{\sqrt[n]{9}-1}

(10)

8n−12n−1\frac{\sqrt[n]{8}-1}{\sqrt[n]{2}-1}

(11)

4(n+2)/(n+1)4^{(n+2) /(n+1)}

(12)

(1+11n)1/(n+2)\left(1+11^{n}\right)^{1 /(n+2)};

(13)

a1/(n+p)a^{1 /(n+p)}, где a>0,p>0a > 0, p > 0.

Задача 1.8.62

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

n2n\sqrt[n]{n^{2}}

(2)

5nn\sqrt[n]{5 n}

(3)

2n2n\sqrt[2 n]{2 n}

(4)

n4n\sqrt[4 n]{n}

(5)

nn2\sqrt[n^{2}]{n}

(6)

n+3n\sqrt[n]{n+3}

(7)

1+2n1+2nn\frac{1+\sqrt[n]{2}}{1+\sqrt[n]{2 n}}

(8)

n3n+7n3n2n+3nn\frac{\sqrt[n]{n^{3}}+\sqrt[n]{7}}{3 \sqrt[n]{n^{2}}+\sqrt[n]{3 n}}

(9)

3n−2n\sqrt[n]{3 n-2};

(10)

n3+3nn\sqrt[n]{n^{3}+3 n}

(11)

2n2−5n+3n5+1n\sqrt[n]{\frac{2 n^{2}-5 n+3}{n^{5}+1}}.

Задача 1.8.63

Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞nqn=0\lim_{n \rightarrow \infty } n q^{n} = 0, где ∣q∣<1\left|q\right| < 1;

(2)

lim⁡n→∞n25n=0\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n^{2}}{5^{n}} = 0;

(3)

lim⁡n→∞n33n=0\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n^{3}}{3^{n}} = 0;

(4)

lim⁡n→∞nkan=0\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n^{k}}{a^{n}} = 0, где ∣a∣>1,k\left|a\right| > 1, k — натуральное число.

Задача 1.8.64

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

n3+3nn+3n+1\frac{n^{3}+3^{n}}{n+3^{n+1}};

(2)

n10−11+n1,1n\frac{n^{10}-1}{1+n 1,1^{n}}

(3)

3n+n⋅2nn\sqrt[n]{3^{n}+n \cdot 2^{n}}

(4)

n2+4nn+5nn\sqrt[n]{\frac{n^{2}+4^{n}}{n+5^{n}}}

(5)

10n−11,26nn\sqrt[n]{\frac{10}{n}-\frac{1}{1,26 n}}

Задача 1.8.65

Пусть 0<a<10 < a < 1. Доказать, что lim⁡n→∞log⁡ann=0\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\log_{a} n}{n} = 0.

?
Задача 1.8.66

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

nlg⁡nn2−1\frac{n \lg n}{n^{2}-1};

(2)

5n+lg⁡nn−3,5\frac{5 n+\lg n}{n-3,5};

(3)

log⁡2(n+3)n−1,3\frac{\log_{2}(n+3)}{n-1,3};

(4)

log⁡5(n2+1)n\frac{\log_{5}\left(n^{2}+1\right)}{n};

(5)

n−lg⁡nlog⁡2(4n+1)\frac{n-\lg n}{\log_{2}\left(4^{n}+1\right)}.

Задача 1.8.67

Доказать, что для любого alim⁡n→∞ann1=0a \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{a^{n}}{n^{1}} = 0.

?
Задача 1.8.68

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

(−2)n(n+2)r\frac{(-2)^{n}}{(n+2)^{r}}

(2)

1(0,3)nnl\frac{1}{(0,3)^{n} n^{l}};

(3)

n3n+1n1+1\frac{n 3^{n}+1}{n^{1}+1}

(4)

4n+n22n−1n4+(n′)2\frac{4^{n}+n^{2} 2^{n}-1}{n^{4}+\left(n^{\prime }\right)^{2}}

(5)

10n+n′2n+(n+1)′\frac{10^{n}+n^{\prime }}{2^{n}+(n+1)^{\prime }}

(6)

(−3)n2−n(n3)1\frac{(-3)^{n^{2}-n}}{\left(n^{3}\right)^{1}}

(7)

2n/2+(n+1)′n(3n+n′)\frac{2^{n / 2}+(n+1)^{\prime }}{n\left(3^{n}+n^{\prime }\right)}

Задача 1.8.69

Привести пример такой последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}, что:

?
(1)

xn>−1x_{n} > -1 для любого n∈Nn \in \mathbb {N}, а lim⁡n→∞xn=−1\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = -1;

(2)

xn<2x_{n} < 2 для любого n∈Nn \in \mathbb {N}, а lim⁡n→∞xn=2\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 2;

(3)

xn>100x_{n} > 100 для n=1,2,…,100n = 1,2, \ldots , 100, а lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0;

(4)

lim⁡n→∞xn=5\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 5 и для любого NN найдутся n⩾Nn \geqslant N и m⩾Nm \geqslant N такие, что xn<5x_{n} < 5, а xm>5x_{m} > 5.

Задача 1.8.70

Привести пример таких последовательностей {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\}, что:

?
(1)

xn<ynx_{n} < y_{n} для любого n∈Nn \in \mathbb {N}, но lim⁡n→∞xn=yn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = y_{n};

(2)

xn>ynx_{n} > y_{n} для n=1,2,…,1000n = 1,2, \ldots , 1000, но lim⁡n→∞xn<lim⁡n→∞yn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} < \lim_{n \rightarrow \infty } y_{n};

(3)

xn/yn⩾1000x_{n} / y_{n} \geqslant 1000 для любого n∈Nn \in \mathbb {N}, но lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞yn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty } y_{n}.

Задача 1.8.71

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

n′nn\frac{n^{\prime }}{n^{n}}

(2)

nsin⁡n′nn+n+1\frac{n \sin n^{\prime }}{n \sqrt{n}+\sqrt{n+1}}

(3)

narctg⁡nn2−2\frac{n \operatorname {arctg} n}{n^{2}-2}

(4)

1n2∑k=1n(−1)kk\frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k} k

(5)

(n2n2+1)(n−1)/(n+1)\left(\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\right)^{(n-1) /(n+1)}

(6)

(n+1n+2)(1−n)/(1−n)\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{(1-\sqrt{n}) /(1-n)}

(7)

(2n−15n+1)n2\left(\frac{2 n-1}{5 n+1}\right)^{n^{2}}

(8)

(3n2−n+12n2+n+1)n3/(1−n)\left(\frac{3 n^{2}-n+1}{2 n^{2}+n+1}\right)^{n^{3} /(1-n)}

(9)

1nin\frac{1}{\sqrt[n]{n^{i}}}

Задача 1.8.72

Пусть an≠0a_{n} \neq 0 и lim⁡n→∞∣anan+1∣=q\lim_{n \rightarrow \infty }\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| = q, где q>1q > 1. Доказать, что

lim⁡n→∞an=0 \lim _{n \rightarrow \infty } a_{n} = 0
?
Задача 1.8.73

Найти lim⁡n→∞an(1+a)(1+a2)(1+an),a>0\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{a^{n}}{(1+a)\left(1+a^{2}\right)\left(1+a^{n}\right)}, a > 0.

?
Задача 1.8.74

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно.

?
(1)

3n−2nn\sqrt[n]{3^{n}-2^{n}}

(2)

2n3+13n3−2n\sqrt[n]{\frac{2 n^{3}+1}{3 n^{3}-2}}

(3)

an+bnn,a>0,b>0\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}, a > 0, b > 0.

Задача 1.8.75

Найти:

?
(1)

lim⁡n→∞(1+1n2)n\lim_{n \rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n};

(2)

lim⁡n→∞(1−1n2)n\lim_{n \rightarrow \infty }\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}

(3)

lim⁡n→∞(1+1n)n\lim_{n \rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\sqrt{n}}.

Задача 1.8.76

Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞21/n=1\lim_{n \rightarrow \infty } 2^{1 / \sqrt{n}} = 1;

(2)

lim⁡n→∞a1/n=1,a>0\lim_{n \rightarrow \infty } a^{1 / \sqrt{n}} = 1, a > 0.

Задача 1.8.77

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

n3n\sqrt[3 n]{n};

(2)

np/nk,p,k∈Nn^{p / n^{k}}, p, k \in \mathbb {N};

(3)

n+an\sqrt[n]{n+a};

(4)

an+bn\sqrt[n]{a n+b};

(5)

n3−3n+1n\sqrt[n]{n^{3}-3 n+1}

(6)

n2−12n\sqrt[2 n]{n^{2}-1}

(7)

2nn2+2n−1n\sqrt[n]{2^{n} n^{2}+2 n-1}

(8)

1n−12nn\sqrt[n]{\frac{1}{n}-\frac{1}{2^{n}}}

(9)

n4n+2n2n−3n2n−3n+2\frac{\sqrt[n]{n^{4}}+2 \sqrt[n]{n^{2}}-3}{\sqrt[n]{n^{2}}-3 \sqrt{n}+2}

(10)

n4−2n+3n2+13n\sqrt[3 n]{\frac{n^{4}-2 n+3}{n^{2}+1}}

(11)

n−1n+1n2+3nn3+2n\sqrt[n^{2}]{\frac{n-1}{n+1}}+\sqrt[n]{3^{n} n^{3}+2}

Задача 1.8.78

Доказать, что если для любого n∈Nn \in \mathbb {N}

0<a/nk⩽xn⩽bnp,k,p∈N 0 < a / n^{k} \leqslant x_{n} \leqslant b n^{p}, \quad k, p \in \mathbb {N}

To

lim⁡n→∞xnn=1 \lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{x_{n}} = 1
?
Задача 1.8.79

Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞n=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } n = +\infty;

(2)

lim⁡n→∞(5−0,5n)=−∞\lim_{n \rightarrow \infty }(5-0,5 n) = -\infty;

(3)

lim⁡n→∞(−1)nn=∞\lim_{n \rightarrow \infty }(-1)^{n} n = \infty;

(4)

lim⁡n→∞an=∞\lim_{n \rightarrow \infty } a^{n} = \infty, где ∣a∣>1\left|a\right| > 1;

(5)

lim⁡n→∞n−1003=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[3]{n-100} = +\infty;

(6)

lim⁡n→∞n1/p=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } n^{1 / p} = +\infty, где p∈Np \in \mathbb {N};

(7)

lim⁡n→∞lg⁡n=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } \lg n = +\infty;

(8)

lim⁡n→∞log⁡an=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } \log_{a} n = +\infty, где a>1a > 1;

(9)

lim⁡n→∞log⁡an=−∞\lim_{n \rightarrow \infty } \log_{a} n = -\infty, где 0<a<10 < a < 1.

Задача 1.8.80

Доказать, что для того, чтобы lim⁡n→∞xn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \infty, необходимо и достаточно, чтобы lim⁡n→∞∣xn∣=+∞\lim_{n \rightarrow \infty }\left|x_{n}\right| = +\infty.

?
Задача 1.8.81

Пусть lim⁡n→∞yn=+∞(lim⁡n→∞yn=−∞)\lim_{n \rightarrow \infty } y_{n} = +\infty \left(\lim_{n \rightarrow \infty } y_{n} = -\infty \right) и для всех nn, начиная с некоторого, xn⩾cynx_{n} \geqslant c y_{n} (соответственно xn⩽cynx_{n} \leqslant c y_{n}), где c>0c > 0. Доказать, что lim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty (соответственно lim⁡n→∞xn=−∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = -\infty).

?
Задача 1.8.82

Пусть lim⁡n→∞yn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } y_{n} = +\infty и для всех nn, начиная с некоторого, ∣xn∣⩾cyn\left|x_{n}\right| \geqslant c y_{n}, где c>0c > 0. Доказать, что lim⁡n→∞xn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \infty.

?
Задача 1.8.83

Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞n2=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } n^{2} = +\infty;

(2)

lim⁡n→∞np=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } n^{p} = +\infty, где p⩾1p \geqslant 1;

(3)

lim⁡n→∞(2n−5)5=+∞\lim_{n \rightarrow \infty }(2 n-5)^{5} = +\infty;

(4)

lim⁡n→∞(lg⁡n)3=+∞\lim_{n \rightarrow \infty }(\lg n)^{3} = +\infty;

(5)

lim⁡n→∞(log⁡an)p=+∞\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\log_{a} n\right)^{p} = +\infty, где a>1,p⩾1a > 1, p \geqslant 1;

(6)

lim⁡n→∞(0,5−(−1)nn3)=∞\lim_{n \rightarrow \infty }\left(0,5-(-1)^{n} \sqrt[3]{n}\right) = \infty;

(7)

lim⁡n→∞(−n)n=∞\lim_{n \rightarrow \infty }(-n)^{n} = \infty;

(8)

lim⁡n→∞(4n−n)=−∞\lim_{n \rightarrow \infty }(4 \sqrt{n}-n) = -\infty.

Задача 1.8.84
?
(1)

Пусть xn≠0,lim⁡n→∞xn=0x_{n} \neq 0, \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0. Доказать, что lim⁡n→∞1xn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{x_{n}} = \infty.

(2)

Пусть xn≠0,lim⁡n→∞xn=∞x_{n} \neq 0, \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \infty. Доказать, что lim⁡n→∞1xn=0\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{x_{n}} = 0.

Задача 1.8.85

Доказать, что {xn}\left\{ x_{n}\right\}-- бесконечно большая последовательность, если xnx_{n} равно:

?
(1)

(n10)n\left(\frac{n}{10}\right)^{n}

(2)

n2n+8\frac{n^{2}}{n+8}

(3)

n!4n\frac{n !}{4^{n}}

(4)

12n−1\frac{1}{\sqrt[n]{2}-1}

(5)

21−nn\frac{2}{1-\sqrt[n]{n}}

(6)

5nn2\frac{5^{n}}{n^{2}}

(7)

annk\frac{a^{n}}{n^{k}}, где ∣a∣>1,k∈N\left|a\right| > 1, k \in \mathbb {N}.

Задача 1.8.86
?
(1)

Пусть lim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty и yn⩾cy_{n} \geqslant c для всех n∈Nn \in \mathbb {N}. Доказать, что lim⁡n→∞(xn+yn)=+∞\lim_{n \rightarrow \infty }\left(x_{n}+y_{n}\right) = +\infty.

(2)

Пусть lim⁡n→∞xn=−∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = -\infty и yn⩽cy_{n} \leqslant c для всех n∈Nn \in \mathbb {N}. Доказать, что lim⁡n→∞(xn+yn)=−∞\lim_{n \rightarrow \infty }\left(x_{n}+y_{n}\right) = -\infty. что:

Задача 1.8.87
?
(1)

Пусть lim⁡n→∞xn=a\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = a, где aa — это +∞+\infty или −∞-\infty. Доказать, =a= a; a) если для всех nn, начиная с некоторого, yn⩾c>0y_{n} \geqslant c > 0, то lim⁡n→∞xnyn=\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} = б) если для всех nn, начиная с некоторого, yn⩽c<0y_{n} \leqslant c < 0, то lim⁡n→∞xnyn=−a\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} = -a.

(2)

Пусть lim⁡n→∞xn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \infty и для всех nn, начиная с некоторого, ∣yn∣⩾c>0\left|y_{n}\right| \geqslant c > 0. Доказать, что lim⁡n→∞xnyn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} = \infty.

Задача 1.8.88

Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞(5/n−n)=−∞\lim_{n \rightarrow \infty }(5 / n-n) = -\infty;

(2)

lim⁡n→∞(lg⁡n+2cos⁡πn)=+∞\lim_{n \rightarrow \infty }(\lg n+2 \cos \pi n) = +\infty;

(3)

lim⁡n→∞nnn+1=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n \sqrt{n}}{n+1} = +\infty; b∈Rb \in \mathbb {R};

(4)

lim⁡n→∞(an+b)=+∞\lim_{n \rightarrow \infty }(a n+b) = +\infty при a>0,lim⁡n→∞(an+b)=−∞a > 0, \quad \lim_{n \rightarrow \infty }(a n+b) = -\infty при a<0a < 0,

(5)

lim⁡n→∞n4−100nn2+100=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n^{4}-100 n}{n^{2}+100} = +\infty;

(6)

lim⁡n→∞(n2−1−n)=+∞\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\sqrt{n^{2}-1}-\sqrt{n}\right) = +\infty;

(7)

lim⁡n→∞1n(n2−1−n)=−∞\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{\sqrt{n\left(\sqrt{n^{2}-1}-n\right)}} = -\infty.

Задача 1.8.89

Записать с помощью символов ∀,∃\forall , \exists определение того, что:

?
(1)

lim⁡n→∞xn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \infty;

(2)

lim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty;

(3)

lim⁡n→∞xn=−∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = -\infty

Задача 1.8.90

Сформулировать на "языке ε−N\varepsilon -N " и записать с помощью символов ∃,∀\exists , \forall отрицания того, что:

?
(1)

lim⁡n→∞xn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \infty;

(2)

lim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty;

(3)

lim⁡n→∞xn=−∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = -\infty.

Задача 1.8.91

Верны ли утверждения:

?
(1)

всякая бесконечно большая последовательность неограниченна;

(2)

всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой?

Задача 1.8.92

Сформулировать в позитивной форме утверждения:

?
(1)

последовательность не стремится к ∞\infty;

(2)

последовательность не стремится к+∞к+\infty;

(3)

последовательность не стремится κ−∞\mathbf{\kappa }-\infty.

Задача 1.8.93

Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} неограниченна, но не стремится к ∞\infty, если:

?
(1)

xn=n2cos⁡(πn/2)x_{n} = n^{2} \cos (\pi n / 2);

(2)

xn=n(−1)nx_{n} = n^{(-1)^{n}}

(3)

xn=n1+nsin⁡(πn/2),n∈Nx_{n} = \frac{n}{1+n \sin (\pi n / 2)}, n \in \mathbb {N}.

Задача 1.8.94

Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞n3−n+3n2+1=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n^{3}-n+3}{n^{2}+1} = +\infty;

(2)

lim⁡n→∞n3−100n2+100=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n^{3}-100}{n^{2}+100} = +\infty.

Задача 1.8.95

При каких а последовательность

xn=n4+1n3−2−an25n+2,n∈N x_{n} = \frac{n^{4}+1}{n^{3}-2}-\frac{a n^{2}}{5 n+2}, \quad n \in \mathbb {N}

сходится к:

?
(1)

+∞+\infty;

(2)

−∞-\infty;

(3)

конечному пределу?

Задача 1.8.96

При каких pp и qq из NN последовательность

xn=a0np+a1np−1+…+ap−1n+apb0nq+b1nq−1+…+bq−1n+bq,n∈N x_{n} = \frac{a_{0} n^{p}+a_{1} n^{p-1}+\ldots +a_{p-1} n+a_{p}}{b_{0} n^{q}+b_{1} n^{q-1}+\ldots +b_{q-1} n+b_{q}}, \quad n \in \mathbb {N}

где a0≠0,b0≠0a_{0} \neq 0, b_{0} \neq 0, имеет:

?
(1)

конечный предел;

(2)

бесконечный предел?

Задача 1.8.97

Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞n!=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt{n !} = +\infty;

(2)

lim⁡n→∞2n−1=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } 2^{\sqrt{n-1}} = +\infty;

(3)

lim⁡n→∞n2log⁡a(n+1)=+∞,a>1\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n^{2}}{\log_{a}(n+1)} = +\infty , a > 1;

(4)

lim⁡n→∞ln⁡n!n=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\ln n !}{n} = +\infty.

Задача 1.8.98

Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞nn−n+1=−∞\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n}{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}} = -\infty;

(2)

lim⁡n→∞n3(n+1−n−n−1)=−∞\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt{n^{3}}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}-\sqrt{n-1}) = -\infty.

Задача 1.8.99

При каких а последовательность

xn=n2+nα−n,n∈N x_{n} = \sqrt{n^{2}+n^{\alpha }}-n, \quad n \in \mathbb {N}

сходится к:

?
(1)

+∞+\infty;

(2)

конечному пределу? Во втором случае найти этот предел.

Задача 1.8.100

Доказать, что lim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty, если xnx_{n} равно:

?
(1)

(n+1)(n+2)…(2n−1)2nnn\frac{(n+1)(n+2) \ldots (2 n-1) 2 n}{n^{n}};

(2)

n!n\sqrt[n]{n !};

(3)

(1+1n)n2\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}};

(4)

(1+12n)n!\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)^{n !};

(5)

1n(1+2+…+n)\frac{1}{n}(1+\sqrt{2}+\ldots +\sqrt{n}).

Задача 1.8.101

Пусть lim⁡n→∞xn=∞,yn≠0,n∈N\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \infty , y_{n} \neq 0, n \in \mathbb {N}, и для всех nn, начиная с некоторого, ∣yn∣⩽C\left|y_{n}\right| \leqslant C. Доказать, что

lim⁡n→∞xnyn=∞ \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n}}{y_{n}} = \infty
?
Задача 1.8.102

Пусть lim⁡n→∞xn=x\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x, где xx — не равное нулю число, lim⁡n→∞yn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } y_{n} = \infty (или равно +∞,−∞+\infty ,-\infty). Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞xnyn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} = \infty (соответственно равно +∞,−∞+\infty ,-\infty) при x>0x > 0;

(2)

lim⁡n→∞xnyn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} = \infty (соответственно равно −∞,+∞-\infty ,+\infty) при x<0x < 0.

Задача 1.8.103

Пусть lim⁡n→∞xn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \infty. Верно ли, что:

?
(1)

если ∣yn∣⩽C,n∈N\left|y_{n}\right| \leqslant C, n \in \mathbb {N}, то lim⁡n→∞xnyn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} = \infty;

(2)

если yn⩾xn,n∈Ny_{n} \geqslant x_{n}, n \in \mathbb {N}, то lim⁡n→∞yn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } y_{n} = \infty;

(3)

если lim⁡n→∞yn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } y_{n} = \infty, то lim⁡n→∞(xn+yn)=∞\lim_{n \rightarrow \infty }\left(x_{n}+y_{n}\right) = \infty?

Задача 1.8.104
?
(1)

Пусть

lim⁡n→∞xn=+∞,lim⁡n→∞yn=+∞ \lim _{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty , \quad \lim _{n \rightarrow \infty } y_{n} = +\infty

или

lim⁡n→∞xn=−∞,lim⁡n→∞yn=−∞ \lim _{n \rightarrow \infty } x_{n} = -\infty , \quad \lim _{n \rightarrow \infty } y_{n} = -\infty

Доказать, что lim⁡n→∞xnyn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} = +\infty.

(2)

Пусть

lim⁡n→∞xn=+∞,lim⁡n→∞yn=−∞ \lim _{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty , \quad \lim _{n \rightarrow \infty } y_{n} = -\infty

Доказать, что lim⁡n→∞xnyn=−∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} = -\infty.

Задача 1.8.105

Указать такие последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\}, что

lim⁡n→∞xn=+∞,lim⁡n→∞yn=+∞ \lim _{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty , \quad \lim _{n \rightarrow \infty } y_{n} = +\infty

и, кроме того:

?
(1)

lim⁡n→∞(xn−yn)=+∞\lim_{n \rightarrow \infty }\left(x_{n}-y_{n}\right) = +\infty;

(2)

lim⁡n→∞(xn−yn)=1\lim_{n \rightarrow \infty }\left(x_{n}-y_{n}\right) = 1;

(3)

lim⁡n→∞(xn−yn)=−∞\lim_{n \rightarrow \infty }\left(x_{n}-y_{n}\right) = -\infty;

(4)

последовательность {xn−yn}\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} не имеет ни конечного, ни бесконечного предела.

Задача 1.8.106

Указать такие последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\}, что

lim⁡n→∞xn=+∞,lim⁡n→∞yn=+∞ \lim _{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty , \quad \lim _{n \rightarrow \infty } y_{n} = +\infty

и, кроме того:

?
(1)

lim⁡n→∞xnyn=0\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n}}{y_{n}} = 0

(2)

lim⁡n→∞xnyn=1\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n}}{y_{n}} = 1;

(3)

lim⁡n→∞xnyn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n}}{y_{n}} = +\infty;

(4)

последовательность {xn−yn}\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} не имеет ни конечного, ни бесконечного предела.

Задача 1.8.107

Указать такие последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\}, что и, кроме того:

lim⁡n→∞xn=0,lim⁡n→∞yn=∞ \lim _{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0, \quad \lim _{n \rightarrow \infty } y_{n} = \infty
?
(1)

lim⁡n→∞xnyn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} = 0;

(2)

lim⁡n→∞xnyn=1\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} = 1;

(3)

lim⁡n→∞xnyn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} = \infty;

(4)

последовательность {xnyn}\left\{ x_{n} y_{n}\right\} не имеет ни конечного, ни бесконечного предела.

Задача 1.8.108

Доказать, что если lim⁡n→∞xn=∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \infty, то последовательность {∑k=1nxn}\left\{ \sum_{k = 1}^{n} x_{n}\right\} неограниченна.

?
Задача 1.8.109

Указать сходящуюся подпоследовательность последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

(−1)n(-1)^{n};

(2)

sin⁡(πn4)\sin \left(\frac{\pi n}{4}\right);

(3)

n−5E[n−15]n-5 \mathbb {E}\left[\frac{n-1}{5}\right].

Задача 1.8.110

Привести пример последовательности, не имеющей ни одной сходящейся (к числу) подпоследовательности.

?
Задача 1.8.111

Привести пример неограниченной последовательности, имеющей сходящуюся (кк числу) подпоследовательность.

?
Задача 1.8.112

Доказать, что для того, чтобы aa (число, +∞+\infty или −∞-\infty) было частичным пределом последовательности, необходимо и достаточно, чтобы в любой окрестности aa содержалось бесконечно много членов этой последовательности.

?
Задача 1.8.113

Найти все частичные пределы последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

(−1)nn+1\frac{(-1)^{n}}{n+1}

(2)

n2n+5\frac{n^{2}}{n+5}

(3)

1−n31+n2\frac{1-n^{3}}{1+n^{2}}

(4)

(−1)n(-1)^{n};

(5)

3(−1)nn3^{(-1)^{n} n}

(6)

sin⁡(πn/4)\sin (\pi n / 4);

(7)

ncos⁡(πn/2)n \cos (\pi n / 2).

Задача 1.8.114

У последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} подпоследовательность {x2k}\left\{ x_{2 k}\right\} имеет пределом aa, а подпоследовательность {x2k−1}\left\{ x_{2 k-1}\right\} имеет пределом bb (a,ba, b — числа или +∞,−∞+\infty ,-\infty). Доказать, что только aa и bb нвляются частичными пределами последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}.

?
Задача 1.8.115

Доказать, что всякая монотонная последовательность имеет только один частичный предел.

?
Задача 1.8.116

Для последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} найти множество частичных пределов, lim‾⁡n→∞xn,lim‾⁡n→∞xn\varlimsup_{n \rightarrow \infty } x_{n}, \varliminf_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если:

?
(1)

xn=cos⁡πn3x_{n} = \cos \frac{\pi n}{3};

(2)

xn=(−1)n2n+1nx_{n} = (-1)^{n} \frac{2 n+1}{n};

(3)

xn=(1,5cos⁡2πn3)nx_{n} = \left(1,5 \cos \frac{2 \pi n}{3}\right)^{n};

(4)

{xn}={1,110,210,…,910,1102,2102,…,99102,…,110n,210n,…,10n−110n,…}.\left\{ x_{n}\right\} = \left\{ 1, \frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \ldots , \frac{9}{10}, \frac{1}{10^{2}}, \frac{2}{10^{2}}, \ldots , \frac{99}{10^{2}}, \ldots , \frac{1}{10^{n}}, \frac{2}{10^{n}}, \ldots , \frac{10^{n}-1}{10^{n}}, \ldots \right\} .

Задача 1.8.117

Для последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} найти lim‾⁡n→∞xn,lim‾⁡n→∞xn\varlimsup_{n \rightarrow \infty } x_{n}, \varliminf_{n \rightarrow \infty } x_{n}, а также sup⁡{xn},inf⁡{xn}\sup \left\{ x_{n}\right\} , \inf \left\{ x_{n}\right\}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

(−1)nn+1+(−1)n2\frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{1+(-1)^{n}}{2};

(2)

(−1)n3n−1n+2(-1)^{n} \frac{3 n-1}{n+2}

(3)

n2sin⁡(πn/2)+1n+1\frac{n^{2} \sin (\pi n / 2)+1}{n+1}

(4)

((−1)n−1)n2+n+1n\frac{\left((-1)^{n}-1\right) n^{2}+n+1}{n};

(5)

(1+cos⁡πn)n+lg⁡nlg⁡2n\frac{(1+\cos \pi n) n+\lg n}{\lg 2 n}.

Задача 1.8.118

Привести пример расходящейся последовательности, имеющей только один частичный предел.

?
Задача 1.8.119

Доказать, что последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограниченна и имеет один частичный предел.

?
Задача 1.8.120

У последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} подпоследовательности {x2k}\left\{ x_{2 k}\right\}, {x2k−1}\left\{ x_{2 k-1}\right\} и {x3k}\left\{ x_{3 k}\right\} сходятся. Доказать, что сходится и сама последовательность.

?
Задача 1.8.121

Доказать, что всякая неограниченная последовательность либо является бесконечно большой, либо имеет конечный частичный предел.

?
Задача 1.8.122

Последовательности {xk}\left\{ x_{k}\right\} и {yk}\left\{ y_{k}\right\} таковы, что для любого kk существует nn, такое, что yk=xnky_{k} = x_{n_{k}}. Известно, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} имеет предел. Следует ли отсюда, что и последовательность {yk}\left\{ y_{k}\right\} имеет предел?

?
Задача 1.8.123

Для последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} найти множество частичных пределов, lim‾⁡n→∞xn,lim‾⁡n→∞xn,sup⁡{xn},inf⁡{xn}\varlimsup_{n \rightarrow \infty } x_{n}, \varliminf_{n \rightarrow \infty } x_{n}, \sup \left\{ x_{n}\right\} , \inf \left\{ x_{n}\right\}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

(cos⁡(πn/2))n+1(\cos (\pi n / 2))^{n+1};

(2)

(1+(−1)nn)/n\left(1+(-1)^{n} n\right) / n;

(3)

(−n)sin⁡(πn/2)(-n)^{\sin (\pi n / 2)};

(4)

1n+sin⁡πn3\frac{1}{n}+\sin \frac{\pi n}{3}

(5)

(1−(−1)n)2n+12n+3\frac{\left(1-(-1)^{n}\right) 2^{n}+1}{2^{n}+3}

(6)

4(−1)n+2n\sqrt[n]{4^{(-1)^{n}}+2}

(7)

2(−1)nnn2^{(-1)^{n} n} n;

(8)

12(n−2−3E[n−13])(n−3−3E[n−13])\frac{1}{2}\left(n-2-3 \mathbb {E}\left[\frac{n-1}{3}\right]\right)\left(n-3-3 \mathbb {E}\left[\frac{n-1}{3}\right]\right).

Задача 1.8.124

Найти множество частичных пределов последовательностей:

?
(1)

{1,12,22,32,14,24,34,44,54,…,12n,…,2n+12n,…}\left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{5}{4}, \ldots , \frac{1}{2^{n}}, \ldots , \frac{2^{n}+1}{2^{n}}, \ldots \right\};

(2)

{1,12,22,32,14,24,34,44,…,94,…,12n,22n,…,3n2n,…}\left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \ldots , \frac{9}{4}, \ldots , \frac{1}{2^{n}}, \frac{2}{2^{n}}, \ldots , \frac{3^{n}}{2^{n}}, \ldots \right\}.

Задача 1.8.125

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} такова, что

x1=0,x2k=x2k−12,x2k+1=1+x2k,k∈N. x_{1} = 0, \quad x_{2 k} = \frac{x_{2 k-1}}{2}, \quad x_{2 k+1} = 1+x_{2 k}, \quad k \in \mathbb {N}.

Найти lim‾⁡n→∞xn,lim‾⁡n→∞xn\varlimsup_{n \rightarrow \infty } x_{n}, \varliminf_{n \rightarrow \infty } x_{n}.

?
Задача 1.8.126

Доказать, что если последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} не достигает своей: а) верхней грани MM, то lim‾⁡n→∞xn=M\varlimsup_{n \rightarrow \infty } x_{n} = M; б) нижней грани mm, то lim‾⁡n→∞xn=m\varliminf_{n \rightarrow \infty } x_{n} = m.

?
Задача 1.8.127

Доказать, что у любой последовательности есть монотонная подпоследовательность.

?
Задача 1.8.128

Доказать, что для всякой последовательности {xn}lim‾⁡n→∞xn\left\{ x_{n}\right\} \varlimsup_{n \rightarrow \infty } x_{n} и lim‾⁡xn\varliminf x_{n} являются ее частичными пределами.

?
Задача 1.8.129
?
(1)

Пусть последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} ограниченна снизу, mn=inf⁡k⩾n{xk}m_{n} = \inf_{k \geqslant n}\left\{ x_{k}\right\}. Доказать, что последовательность {mn}\left\{ m_{n}\right\} сходится и

lim⁡n→∞mn=lim‾⁡n→∞xn. \lim _{n \rightarrow \infty } m_{n} = \varliminf _{n \rightarrow \infty } x_{n}.
(2)

Пусть последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} ограниченна сверху, Mn=sup⁡{xk}M_{n} = \sup \left\{ x_{k}\right\}. Доказать, что последовательность {Mn}\left\{ M_{n}\right\} сходится и k⩾nk \geqslant n

lim⁡n→∞Mn=lim‾⁡n→∞xn \lim _{n \rightarrow \infty } M_{n} = \varlimsup _{n \rightarrow \infty } x_{n}
Задача 1.8.130

Доказать, что множество частичных пределов последовательности замкнуто.

?
Задача 1.8.131

Пусть {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\} — ограниченные последовательности. Доказать, что

lim‾⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn⩽lim‾⁡n→∞(xn+yn) \varliminf _{n \rightarrow \infty } x_{n}+\varlimsup _{n \rightarrow \infty } y_{n} \leqslant \varlimsup _{n \rightarrow \infty }\left(x_{n}+y_{n}\right)
?
Задача 1.8.132

Доказать, что если последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\} :

?
(1)

ограниченны сверху, то

lim‾⁡n→∞(xn+yn)⩽lim‾⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn \varlimsup _{n \rightarrow \infty }\left(x_{n}+y_{n}\right) \leqslant \varlimsup _{n \rightarrow \infty } x_{n}+\varlimsup _{n \rightarrow \infty } y_{n}
(2)

ограниченны снизу, то

lim‾⁡n→∞(xn+yn)⩾lim‾⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn \varliminf _{n \rightarrow \infty }\left(x_{n}+y_{n}\right) \geqslant \varlimsup _{n \rightarrow \infty } x_{n}+\varliminf _{n \rightarrow \infty } y_{n}

[^fn1]

Задача 1.8.133

Пусть xn>0,n∈Nx_{n} > 0, n \in \mathbb {N}. Доказать, что:

?
(1)

lim‾⁡n→∞xn+1xn⩽lim‾⁡n→∞xnn\varliminf_{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n+1}}{x_{n}} \leqslant \varliminf_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{x_{n}}

(2)

lim‾⁡n→∞xnn⩽lim‾⁡n→∞xn+1xn\varlimsup_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{x_{n}} \leqslant \varlimsup_{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n+1}}{x_{n}}.

Задача 1.8.134

Привести пример последовательности, у которой множество частичных пределов совпадает с множеством значений последовательности и:

?
(1)

конечно;

(2)

счетно.

Задача 1.8.135

Указать последовательность, множеством частичных пределов которой является множество натуральных чисел.

?
Задача 1.8.136

Указать последовательность, частичными пределами которой были бы:

?
(1)

все числа вида 1/n,n∈N1 / n, n \in \mathbb {N};

(2)

все рациональные числа.

Может ли множество частичных пределов последовательности состоять только из этих чисел?

Задача 1.8.137

На плоскости даны несовпадающие точки A,B,CA, B, C. Точка A1A_{1} — середина отрезка CBC B, точка A2A_{2} — середина отрезка AA1A A_{1}, A3A_{3} — середина CA2,…,A2kC A_{2}, \ldots , A_{2 k} — середина AA2k−1,A2k+1A A_{2 k-1}, A_{2 k+1} — середина CA2k,…C A_{2 k}, \ldots Найти частичные пределы последовательности точек {An}\left\{ A_{n}\right\}.

?
Задача 1.8.138

Построить последовательность, множеством частичных пределов которой является отрезок [a;b][a ; b].

?
Задача 1.8.139

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} ограниченна,

lim⁡n→∞(xn−xn+1)=0,a=lim‾⁡n→∞xn,b=lim‾⁡n→∞xn,a≠b \lim _{n \rightarrow \infty }\left(x_{n}-x_{n+1}\right) = 0, \quad a = \varliminf _{n \rightarrow \infty } x_{n}, \quad b = \varlimsup _{n \rightarrow \infty } x_{n}, \quad a \neq b

Доказать, что любое число из отрезка [a,b][a, b] является частичным пределом последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}

?
Задача 1.8.140

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} такова, что xn+1>xn−αnx_{n+1} > x_{n}-\alpha_{n}, где αn>0,lim⁡n→∞αn=0\alpha_{n} > 0, \lim_{n \rightarrow \infty } \alpha_{n} = 0 Пусть a=lim‾⁡n→∞xn,b=lim⁡‾n→∞xna = \varliminf_{n \rightarrow \infty } x_{n}, b = \overline{\lim }_{n \rightarrow \infty } x_{n} Доказать, что любое c,a⩽c⩽bc, a \leqslant c \leqslant b, является частичным пределом последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}

?
Задача 1.8.141

Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} фундаментальна, если

?
(1)

xn=1n,n∈Nx_{n} = \frac{1}{n}, n \in \mathbb {N},

(2)

xn=n+13n−2,n∈Nx_{n} = \frac{n+1}{3 n-2}, n \in \mathbb {N},

(3)

xn=0,777⏟nцифр,n∈Nx_{n} = 0, \underbrace{77 \quad 7}_{n \text{цифр}}, n \in \mathbb {N},

(4)

xn=a+aq++aqn−1x_{n} = a+a q+\quad +a q^{n-1}, где ∣q∣<1,n∈N\left|q\right| < 1, n \in \mathbb {N},

(5)

{xn}={1,−1,12,−12,13,−13,…,1n,−1n,…}\left\{ x_{n}\right\} = \left\{ 1,-1, \frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{1}{3},-\frac{1}{3}, \ldots , \frac{1}{n},-\frac{1}{n}, \ldots \right\},

(6)

x1=1,xn=xn−1+(−1)n−1n1(n=2,3,)x_{1} = 1, x_{n} = x_{n-1}+\frac{(-1)^{n-1}}{n^{1}}(n = 2,3, \quad )

Задача 1.8.142

Пусть a0a_{0} — целое неотрицательное число, {an}\left\{ a_{n}\right\} — последовательность, члены которой — цифры Рассмотрим последовательность конечных десятичных дробей xn=a0,a1a2an,n∈Nx_{n} = a_{0}, a_{1} a_{2} a_{n}, n \in \mathbb {N} Доказать, что эта последовательность фундаментальна

?
Задача 1.8.143

Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится, если xnx_{n} равно

?
(1)

sin⁡a2+sin⁡2a22+sin⁡3a23++sin⁡na2n,a∈R\frac{\sin a}{2}+\frac{\sin 2 a}{2^{2}}+\frac{\sin 3 a}{2^{3}}+\quad +\frac{\sin n a}{2^{n}}, a \in \mathbb {R},

(2)

∑k=1nakqk\sum_{k = 1}^{n} a_{k} q^{k}, где ∣q∣<1,∣ak∣⩽C,k∈N\left|q\right| < 1,\left|a_{k}\right| \leqslant C, k \in \mathbb {N},

(3)

1+12!+…+1n!1+\frac{1}{2!} + \ldots + \frac{1}{n!},

(4)

11⋅2−12⋅3+(−1)n−1n(n+1)\frac{1}{1 \cdot 2}-\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}

Задача 1.8.144

Доказать, что фундаментальная последовательность ограниченна

?
Задача 1.8.145

Доказать, что у фундаментальной последовательности любая подпоследовательность фундаментальна

?
Задача 1.8.146

Доказать, что для того, чтобы последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

∀ε>0∃N∀n>N∣xn−xN∣<ε \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \forall n > N \quad \left|x_{n}-x_{N}\right| < \varepsilon
?
Задача 1.8.147

Пользуясь отрицанием условия Коши, доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} расходится, если xnx_{n} равно

?
(1)

0,2(−1)nn0,2^{(-1)^{n} n}

(2)

ncos⁡πn−12n\frac{n \cos \pi n-1}{2 n},

(3)

(−1)n(1+1n)n(-1)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n},

(4)

(1+(−1)nn)n\left(1+\frac{(-1)^{n}}{n}\right)^{n};

(5)

122+232+…+n(n+1)2\frac{1}{2^{2}}+\frac{2}{3^{2}}+\ldots +\frac{n}{(n+1)^{2}}.

Задача 1.8.148

Пусть {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\} — фундаментальные последовательности. Доказать, что:

?
(1)

{xn+yn}\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} — фундаментальная последовательность;

(2)

{xnyn}\left\{ x_{n} y_{n}\right\} — фундаментальная последовательность;

(3)

если ∣yn∣⩾c>0,n∈N\left|y_{n}\right| \geqslant c > 0, n \in \mathbb {N}, то {xn/yn}\left\{ x_{n} / y_{n}\right\} — фундаментальная последовательность.

Задача 1.8.149

Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится, если xnx_{n} равно:

?
(1)

∑k=1nsin⁡kαk(k+1),α∈R\sum_{k = 1}^{n} \frac{\sin k \alpha }{k(k+1)}, \alpha \in \mathbb {R};

(2)

∑k=1nakk2\sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{k^{2}}, где ∣ak∣⩽C,k∈N\left|a_{k}\right| \leqslant C, k \in \mathbb {N}.

Задача 1.8.150

Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} расходится, если xnx_{n} равно:

?
(1)

((−1)n+1−1)n+1n\sqrt[n]{\left((-1)^{n+1}-1\right)^{n}+1};

(2)

cos⁡n\cos n;

(3)

E[n2+13]−n23\mathbb {E}\left[\frac{n^{2}+1}{3}\right]-\frac{n^{2}}{3}

(4)

n2p−E[n2+1p],p∈N,p⩾3;\frac{n^{2}}{p}-\mathbb {E}\left[\frac{n^{2}+1}{p}\right], p \in \mathbb {N}, p \geqslant 3 ;

(5)

sin⁡n\sin n;

(6)

cos⁡(an+b)\cos (a n+b), где a,b∈R,a≠2kπ,k∈Na, b \in \mathbb {R}, a \neq 2 k \pi , k \in \mathbb {N};

(7)

tg⁡n\operatorname {tg} n.

Задача 1.8.151

Пусть ln,n∈Nl_{n}, n \in \mathbb {N}, — число натуральных чисел pp, удовлетворяющих неравенству

100n+1⩽p2⩽100(n+1). 100 n+1 \leqslant p^{2} \leqslant 100(n+1).

Доказать, что последовательность {ln}\left\{ l_{n}\right\} расходится.

?
Задача 1.8.152

Пусть ln,n∈Nl_{n}, n \in \mathbb {N}, — число натуральных чисел pp, удовлетворяющих неравенству

nk+1⩽pk+1⩽(n+1)k n^{k}+1 \leqslant p^{k+1} \leqslant (n+1)^{k}

где kk — данное натуральное число. Доказать, что последовательность {ln}\left\{ l_{n}\right\} расходится.

?
Задача 1.8.153

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} такова, что последовательность {∑k=1nxn}\left\{ \sum_{k = 1}^{n} x_{n}\right\} сходится. Доказать, что lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0.

?
Задача 1.8.154

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} монотонна и lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0. Доказать, что последовательность

Sn=x1−x2+…+(−1)n−1xn,n∈N S_{n} = x_{1}-x_{2}+\ldots +(-1)^{n-1} x_{n}, \quad n \in \mathbb {N}

сходится.

?
Задача 1.8.155

Доказать, что монотонная ограниченная последовательность фундаментальна.

?
Задача 1.8.156

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} такова, что ∣xn+1−xn∣⩽Cαn\left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leqslant C \alpha^{n}, где 0<α<1,n∈N0 < \alpha < 1, \quad n \in \mathbb {N}. Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится.

?
Задача 1.8.157

Доказать, что для любого x∈Rx \in \mathbb {R} последовательность сходится.

Sn=1+x1!+x22!+…+xnn!,n∈N S_{n} = 1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\ldots +\frac{x^{n}}{n !}, \quad n \in \mathbb {N}
?
Задача 1.8.158

Привести пример расходящейся последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} такой, что для любого p∈Np \in \mathbb {N}

lim⁡n∞∣xn+p−xn∣=0. \lim _{n \infty }\left|x_{n+p}-x_{n}\right| = 0.
?
Задача 1.8.159

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} не сходится. Доказать, что существует последовательность натуральных чисел {pn}\left\{ p_{n}\right\} такая, что последовательность {xn+pn−xn}\left\{ x_{n+p_{n}}-x_{n}\right\} не стремится к 0.

?
Задача 1.8.160

Для последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} обозначим

Mn=sup⁡k⩾n,l⩾n{∣xk−xl∣} M_{n} = \sup _{k \geqslant n, l \geqslant n}\left\{ \left|x_{k}-x_{l}\right|\right\}

Доказать: для того чтобы последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} удовлетворяла условию Коши, необходимо и достаточно, чтобы lim⁡n→∞Mn=0\lim_{n \rightarrow \infty } M_{n} = 0.

?
Задача 1.8.161

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} такова, что для всех nn, начиная с некоторого, 0<xn+1<xn0 < x_{n+1} < x_{n}, и последовательность {∑k=1nxn}\left\{ \sum_{k = 1}^{n} x_{n}\right\} сходится.

Доказать, что lim⁡n→∞nxn=0\lim_{n \rightarrow \infty } n x_{n} = 0.

?
Задача 1.8.162

Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится, и найти ее предел, если xnx_{n} равно:

?
(1)

n310n\frac{n^{3}}{10^{n}};

(2)

2000nn!\frac{2000^{n}}{n !}

(3)

x1=8,x2=81117,…,xn=81117…3n+56n−5,…x_{1} = 8, x_{2} = \frac{8}{1} \frac{11}{7}, \ldots , x_{n} = \frac{8}{1} \frac{11}{7} \ldots \frac{3 n+5}{6 n-5}, \ldots

Задача 1.8.163

Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится, если xnx_{n} равно:

?
(1)

(2n)!!(2n+1)!!\frac{(2 n) ! !}{(2 n+1) ! !};

(2)

1+122+133+…+1nn1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots +\frac{1}{n^{n}}

(3)

1+122+132+…+1n21+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots +\frac{1}{n^{2}}.

Задача 1.8.164

Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} имеет предел, и найти его, если:

?
(1)

x1=13,xn+1=12+xnx_{1} = 13, x_{n+1} = \sqrt{12+x_{n}};

(2)

x1=5k,xn+1=5xnkx_{1} = \sqrt[k]{5}, x_{n+1} = \sqrt[k]{5 x_{n}}, где k∈Nk \in \mathbb {N};

(3)

x1=ak,xn+1=axnkx_{1} = \sqrt[k]{a}, x_{n+1} = \sqrt[k]{a x_{n}}, где k∈N,a>0k \in \mathbb {N}, a > 0;

(4)

xn+1=43xn−xn2x_{n+1} = \frac{4}{3} x_{n}-x_{n}^{2} : а) x1=16x_{1} = \frac{1}{6}; б) x1=12x_{1} = \frac{1}{2}; в) x1=76x_{1} = \frac{7}{6};

(5)

x1=1,xn+1=1+1xn,n∈Nx_{1} = 1, x_{n+1} = 1+\frac{1}{x_{n}}, n \in \mathbb {N}. (Указание. Рассмотреть подпоследовательности {x2k}\left\{ x_{2 k}\right\} и {x2k−1}\left\{ x_{2 k-1}\right\}.)

Задача 1.8.165

Доказать, что последовательность {(1+1/n)n+1}\left\{ (1+1 / n)^{n+1}\right\} монотонно убывает и

lim⁡n→∞(1+1/n)n+1=e. \lim _{n \rightarrow \infty }(1+1 / n)^{n+1} = e.
?
Задача 1.8.166

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, где xnx_{n} равно:

?
(1)

(1+1n+k)n,k∈N\left(1+\frac{1}{n+k}\right)^{n}, k \in \mathbb {N};

(2)

(2n+12n)2n;\left(\frac{2^{n}+1}{2^{n}}\right)^{2^{n}} ;

(3)

(nn+1)n\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n};

(4)

(1+1n)2n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n};

(5)

(1+12n)n\left(1+\frac{1}{2 n}\right)^{n};

(6)

(1−1n)n\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}.

Задача 1.8.167

Пусть {kn}\left\{ k_{n}\right\} — последовательность натуральных чисел и lim⁡n→∞kn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } k_{n} = +\infty. Доказать, что

lim⁡n→∞(1+1/kn)kn=e. \lim _{n \rightarrow \infty }\left(1+1 / k_{n}\right)^{k_{n}} = e.
?
Задача 1.8.168

Доказать, что lim⁡n→∞ln⁡(1+1/n)=0\lim_{n \rightarrow \infty } \ln (1+1 / n) = 0.

(Указан ие. Доказать, что ln⁡(1+1/n)<1/n,n∈N\ln (1+1 / n) < 1 / n, n \in \mathbb {N}.)

?
Задача 1.8.169

Доказать, что монотонная последовательность имеет предел, если какая-либо ее подпоследовательность имеет предел.

?
Задача 1.8.170

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

nαn!,α>0\frac{n^{\alpha }}{n !}, \alpha > 0;

(2)

(n+k)!nn,k∈N\frac{(n+k) !}{n^{n}}, k \in \mathbb {N};

(3)

nn(2n)!\frac{n^{n}}{(2 n) !};

(4)

nn(n!)2\frac{n^{n}}{(n !)^{2}};

(5)

nn(n!)α,α>0\frac{n^{n}}{(n !)^{\alpha }}, \alpha > 0

(6)

log⁡a4nn!nn,a>0,a≠1\log_{a} \frac{4^{n} n !}{n^{n}}, a > 0, a \neq 1.

Задача 1.8.171

Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится, если xnx_{n} равно:

?
(1)

1n+1n+1+…+12n\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots +\frac{1}{2 n};

(2)

1+124+2242+…+n24n1+\frac{1^{2}}{4}+\frac{2^{2}}{4^{2}}+\ldots +\frac{n^{2}}{4^{n}};

(3)

(1+12)(1+122)…(1+12n)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \ldots \left(1+\frac{1}{2^{n}}\right).

Задача 1.8.172

Пусть xn>0x_{n} > 0 для всех n⩾n0n \geqslant n_{0}. Доказать, что последовательность Sn=∑k=1nxk,n∈NS_{n} = \sum_{k = 1}^{n} x_{k}, n \in \mathbb {N}, имеет предел, конечный или бесконечный.

?
Задача 1.8.173

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} ограниченна,

yn=max⁡1⩽k⩽n{xk},zn=min⁡1⩽k⩽n{xk},n∈N y_{n} = \max _{1 \leqslant k \leqslant n}\left\{ x_{k}\right\} , \quad z_{n} = \min _{1 \leqslant k \leqslant n}\left\{ x_{k}\right\} , \quad n \in \mathbb {N}

Доказать, что последовательности {yn}\left\{ y_{n}\right\} и {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходятся. Обязательно ли их пределы являются частичными пределами последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}?

?
Задача 1.8.174

Пусть xn+1⩾xn,yn+1⩽yn,n∈Nx_{n+1} \geqslant x_{n}, y_{n+1} \leqslant y_{n}, n \in \mathbb {N}, и lim⁡n→∞(xn−yn)=0\lim_{n \rightarrow \infty }\left(x_{n}-y_{n}\right) = 0. Доказать, что последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\} сходятся и lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞yn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty } y_{n}.

?
Задача 1.8.175

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

(1+1n(n+2))n\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n};

(2)

(2n+32n+1)n\left(\frac{2^{n}+3}{2^{n}+1}\right)^{n}

(3)

(n2+1n2−2)n2\left(\frac{n^{2}+1}{n^{2}-2}\right)^{n^{2}}

(4)

(n2+nn2+2n+2)n\left(\frac{n^{2}+n}{n^{2}+2 n+2}\right)^{n};

(5)

(n2−n+1n2+n+1)n\left(\frac{n^{2}-n+1}{n^{2}+n+1}\right)^{n}.

Задача 1.8.176

Доказать, что для любого n∈Nn \in \mathbb {N} :

?
(1)

(1+1n)n>e1−1/n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} > e^{1-1 / n}; (1+1n)<1n\left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}

(2)

1n−1n2<ln⁡(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}} < \ln ( n ,a>0,a≠1;, a > 0, a \neq 1 ;

Задача 1.8.177

Найти:

?
(1)

lim⁡n→∞1log⁡a(n+1)−log⁡an,a>0,a≠1\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{\log_{a}(n+1)-\log_{a} n}, a > 0, a \neq 1;

(2)

lim⁡n→∞nln⁡(1+1n)\lim_{n \rightarrow \infty } n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right).

Задача 1.8.178

Доказать, что для любого k∈Nlim⁡n→∞(1+1kn)n=ekk \in \mathbb {N} \quad \lim_{n \rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{k n}\right)^{n} = \sqrt[k]{e}.

?
Задача 1.8.179

Доказать, что для любого рационального числа r>0r > 0

lim⁡n→∞(1+rn)n=er \lim _{n \rightarrow \infty }\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n} = e^{r}
?
Задача 1.8.180

Доказать, что для любого действительного числа x>0x > 0

lim⁡n→∞(1+xn)n=ex \lim _{n \rightarrow \infty }\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} = e^{x}
?
Задача 1.8.181

Доказать, что lim⁡n→∞(1+xn)n=ex\lim_{n \rightarrow \infty }\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} = e^{x}, если:

?
(1)

x=−k,k∈Nx = -k, k \in \mathbb {N};

(2)

x=−1/k,k∈Nx = -1 / k, k \in \mathbb {N};

(3)

x∈R,x<0x \in \mathbb {R}, x < 0.

Задача 1.8.182

Пусть lim⁡n→∞xn=+∞,xn>0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty , x_{n} > 0. Доказать, что

lim⁡n→∞(1+1xn)xn=e. \lim _{n \rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}} = e.
?
Задача 1.8.183

Найти:

?
(1)

lim⁡n→∞(2n+32n−1)n\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\frac{2 n+3}{2 n-1}\right)^{n};

(2)

lim⁡n→∞(n−1n+1)n/2\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n / 2}.

Задача 1.8.184

Пусть {xn}\left\{ x_{n}\right\} — арифметическая прогрессия с разностью d≠0d \neq 0. Найти:

?
(1)

lim⁡n→∞(1a1a2+1a2a3+…+1anan+1)\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\ldots +\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}\right), если an≠0,n∈Na_{n} \neq 0, n \in \mathbb {N};

(2)

lim⁡n→∞1n(1a1+a2+1a2+a3+…+1an+an+1)\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}+\sqrt{a_{3}}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n+1}}}\right), если an>0,n∈Na_{n} > 0, n \in \mathbb {N}.

Задача 1.8.185

Пусть aa — цифра, a≠0a \neq 0. Найти

lim⁡n→∞10−n(a+aa+…+aa…a⏟n знаков ).  \lim _{n \rightarrow \infty } 10^{-n}(a+a a+\ldots +\underbrace{a a \ldots a}_{n \text{ знаков }}) \text{. }
?
Задача 1.8.186

Пусть p1,p2,…,pk,a1,a2,…,akp_{1}, p_{2}, \ldots , p_{k}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k} — положительнье числа. Существует ли

lim⁡n→∞p1a1n+1+p2a2n+1+…+pkakn+1p1a1n+p2a2n+…+pkakn? \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{p_{1} a_{1}^{n+1}+p_{2} a_{2}^{n+1}+\ldots +p_{k} a_{k}^{n+1}}{p_{1} a_{1}^{n}+p_{2} a_{2}^{n}+\ldots +p_{k} a_{k}^{n}}?

Если существует, то найти этот предел.

?
Задача 1.8.187

Пусть xn=(n+1)α−nα,n∈Nx_{n} = (n+1)^{\alpha }-n^{\alpha }, n \in \mathbb {N}. Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0 при 0<α<10 < \alpha < 1;

(2)

lim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty при α>1\alpha > 1.

Задача 1.8.188

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если xnx_{n} равно:

?
(1)

n2+3n−21+2+…+n\frac{n^{2}+3 n-2}{1+2+\ldots +n};

(2)

1+3+5+…+(2n−1)n3\frac{1+3+5+\ldots +(2 n-1)}{n^{3}};

(3)

1−2+3−…+(2n−1)−2nn2+1\frac{1-2+3-\ldots +(2 n-1)-2 n}{\sqrt{n^{2}+1}};

(4)

12+22+…+n2n3\frac{1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}}{n^{3}};

(5)

1⋅2+2⋅3+…+n(n+1)n3\frac{1 \cdot 2+2 \cdot 3+\ldots +n(n+1)}{n^{3}};

(6)

12+22+…+n2n2−n3\frac{1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}}{n^{2}}-\frac{n}{3};

(7)

12+32+…+(2n−1)2n3\frac{1^{2}+3^{2}+\ldots +(2 n-1)^{2}}{n^{3}};

(8)

1n((a+1n)2+(a+2n)2+…+(a+n−1n)2)\frac{1}{n}\left(\left(a+\frac{1}{n}\right)^{2}+\left(a+\frac{2}{n}\right)^{2}+\ldots +\left(a+\frac{n-1}{n}\right)^{2}\right).

Задача 1.8.189

Доказать, что последовательность

Sn=∑i=1n∑j=1ijn3,n∈N S_{n} = \sum _{i = 1}^{n} \sum _{j = 1}^{i} \frac{j}{n^{3}}, \quad n \in \mathbb {N}

имеет предел, и найти его.

?
Задача 1.8.190

Найти lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, если:

?
(1)

xn=(1−22⋅3)(1−23⋅4)…(1−2(n+1)(n+2)),n∈Nx_{n} = \left(1-\frac{2}{2 \cdot 3}\right)\left(1-\frac{2}{3 \cdot 4}\right) \ldots \left(1-\frac{2}{(n+1)(n+2)}\right), n \in \mathbb {N};

(2)

x1=1,xn=(1−122)(1−132)…(1−1n2),n∈N,n⩾2x_{1} = 1, x_{n} = \left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right), n \in \mathbb {N}, n \geqslant 2.

Задача 1.8.191

Пусть xn≠1,n∈N,lim⁡n→∞xn=1x_{n} \neq 1, n \in \mathbb {N}, \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 1. Найти

lim⁡n→∞xn+xn2+…+xnk−kxn−1,k∈N \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n}+x_{n}^{2}+\ldots +x_{n}^{k}-k}{x_{n}-1}, \quad k \in \mathbb {N}
?
Задача 1.8.192

Найти lim⁡n→∞(2n−1)!!(2n)!!\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !}.

?
Задача 1.8.193

Пусть lim⁡n→∞xn=0,a>0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0, a > 0. Доказать, что lim⁡n→∞axn=1\lim_{n \rightarrow \infty } a^{x_{n}} = 1.

?
Задача 1.8.194

Пусть p1,p2,…,pk,a1,a2,…,akp_{1}, p_{2}, \ldots , p_{k}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{k} — положительные числа. Существует ли

lim⁡n→∞p1a1n+p2a2n+…+pkaknn? \lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{p_{1} a_{1}^{n}+p_{2} a_{2}^{n}+\ldots +p_{k} a_{k}^{n}}?

Если существует, то найти этот предел.

?
Задача 1.8.195

Доказать, что

lim⁡n→∞a0np+a1np−1+…+ap−1n+apb0nq+b1nq−1+…+bq−1n+bqn=1 \lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{\frac{a_{0} n^{p}+a_{1} n^{p-1}+\ldots +a_{p-1} n+a_{p}}{b_{0} n^{q}+b_{1} n^{q-1}+\ldots +b_{q-1} n+b_{q}}} = 1

где p,q∈N,a0/b0>0p, q \in \mathbb {N}, a_{0} / b_{0} > 0.

?
Задача 1.8.196

Доказать, что lim⁡n→∞n1/n=1\lim_{n \rightarrow \infty } n^{1 / \sqrt{n}} = 1.

?
Задача 1.8.197

Доказать, что если lim⁡n→∞xn=+∞,xn>0,n∈N\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty , x_{n} > 0, n \in \mathbb {N}, то

lim⁡n→∞xn1/xn=1 \lim _{n \rightarrow \infty } x_{n}^{1 / x_{n}} = 1
?
Задача 1.8.198

Найти:

?
(1)

lim⁡n→∞n(n+12n−1)n\lim_{n \rightarrow \infty } n\left(\frac{n+1}{2 n-1}\right)^{n};

(2)

lim⁡n→∞nlg⁡nn(1+1/n)n2\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n \sqrt[n]{\lg n}}{(1+1 / n)^{n^{2}}}

Задача 1.8.199

Пусть ∣q∣<1,Sn=q+2q2+3q3+…+nqn,n∈N\left|q\right| < 1, S_{n} = q+2 q^{2}+3 q^{3}+\ldots +n q^{n}, \quad n \in \mathbb {N}.

Доказать, что существует lim⁡n→∞Sn\lim_{n \rightarrow \infty } S_{n}, и найти его.

?
Задача 1.8.200

Найти

lim⁡n→∞lg⁡(5n2+3n+1)n+1 \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\lg \left(5 n^{2}+3 n+1\right)}{\sqrt{n}+1}
?
Задача 1.8.201

Доказать, что для любых a>0,a≠1,α>0a > 0, a \neq 1, \alpha > 0

lim⁡n→∞log⁡annα=0 \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\log _{a} n}{n^{\alpha }} = 0
?
Задача 1.8.202

Пусть lim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty и xn>0,n∈Nx_{n} > 0, n \in \mathbb {N}. Доказать, что для любого a>0,a≠1a > 0, a \neq 1,

lim⁡n→∞log⁡axnxn=0 \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\log _{a} x_{n}}{x_{n}} = 0
?
Задача 1.8.203
?
(1)

Доказать, что если последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\} таковы, что то

lim⁡n→∞(∣xn+yn∣−∣xn−yn∣)=+∞ \lim _{n \rightarrow \infty }\left(\left|x_{n}+y_{n}\right|-\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) = +\infty lim⁡n→∞∣xn∣=lim⁡n→∞∣yn∣=lim⁡n→∞xnyn=+∞ \lim _{n \rightarrow \infty }\left|x_{n}\right| = \lim _{n \rightarrow \infty }\left|y_{n}\right| = \lim _{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} = +\infty
(2)

Доказать, что верно и обратное утверждение.

Задача 1.8.204
?
(1)

Пусть lim⁡n→∞xn=+∞,mn=inf⁡k⩾n{xk},n∈N\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty , m_{n} = \inf_{k \geqslant n}\left\{ x_{k}\right\} , n \in \mathbb {N}. Доказать, что lim⁡n→∞mn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } m_{n} = +\infty.

(2)

Пусть lim⁡n→∞xn=−∞,Mn=sup⁡k⩾n{xk},n∈N\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = -\infty , M_{n} = \sup_{k \geqslant n}\left\{ x_{k}\right\} , n \in \mathbb {N}. Доказать, что lim⁡n→∞Mn=−∞\lim_{n \rightarrow \infty } M_{n} = -\infty.

Задача 1.8.205

Пусть {pn}\left\{ p_{n}\right\} — последовательность натуральных чисел, и пусть последовательность

Sn=1p1+1p2+…+1pn,n∈N S_{n} = \frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p_{2}}+\ldots +\frac{1}{p_{n}}, \quad n \in \mathbb {N}

сходится. Доказать, что сходится и последовательность

σn=(1+1p1)(1+1p2)…(1+1pn),n∈N. \sigma _{n} = \left(1+\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1+\frac{1}{p_{2}}\right) \ldots \left(1+\frac{1}{p_{n}}\right), \quad n \in \mathbb {N}.
?
Задача 1.8.206

Пусть Sn=1+∑k=1n1k!,n∈NS_{n} = 1+\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k !}, n \in \mathbb {N}. Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞Sn=e\lim_{n \rightarrow \infty } S_{n} = e;

(2)

e−Sn⩽n+2n!(n+1)2e-S_{n} \leqslant \frac{n+2}{n !(n+1)^{2}}.

Задача 1.8.207

Доказать, что разность e−Sn,n∈Ne-S_{n}, n \in \mathbb {N} (SnS_{n} из задачи 206), убывает с ростом nn быстрее, чем разность e−(1+1/n)ne-(1+1 / n)^{n}.

?
Задача 1.8.208

Доказать, что lim⁡n→∞(1+∑k=1n(−1)kk!)=1e\lim_{n \rightarrow \infty }\left(1+\sum_{k = 1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k !}\right) = \frac{1}{e}.

?
Задача 1.8.209

Доказать, что число е иррационально.

?
Задача 1.8.210

Пусть σn=3−∑k=1n1k(k+1)(k+1)!,n∈N\sigma_{n} = 3-\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+1) !}, n \in \mathbb {N}. Доказать, что:

?
(1)

lim⁡n→∞σn=e\lim_{n \rightarrow \infty } \sigma_{n} = e;

(2)

разность σn\sigma_{n} — е убывает быстрее, чем разность e−Sne-S_{n}, где SnS_{n} из задачи 206.

Задача 1.8.211

Доказать, что для любого n∈Nn \in \mathbb {N}

e<(1+1/n)n(1+1/(2n)) e < (1+1 / n)^{n}(1+1 /(2 n))
?
Задача 1.8.212

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} такую, что x1=a,xn+1=qxn+dx_{1} = a, x_{n+1} = q x_{n}+d, n∈Nn \in \mathbb {N}, называют арифметико-геометрической прогрессией со знаменателем qq и разностью dd.

Доказать, что:

?
(1)

при ∣q∣<1\left|q\right| < 1 эта последовательность сходится, и найти ее предел;

(2)

при ∣q∣>1\left|q\right| > 1 и a≠d/(1−q)a \neq d /(1-q) эта последовательность расходится.

Задача 1.8.213

Пусть {xn}\left\{ x_{n}\right\} — арифметико-геометрическая прогрессия со знаменателем q≠1q \neq 1 и разностью dd (см. задачу 212), Sn=x1+…+xnS_{n} = x_{1}+\ldots +x_{n}, n∈Nn \in \mathbb {N}.

Найти:

?
(1)

lim⁡n→∞Snn\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{S_{n}}{n};

(2)

lim⁡n→∞(Sn−nxn)\lim_{n \rightarrow \infty }\left(S_{n}-n x_{n}\right).

Задача 1.8.214

В треугольнике ABC1A B C_{1} проведена биссектриса C1C2C_{1} C_{2}, в треугольнике AC1C2A C_{1} C_{2} проведена биссектриса C2C3C_{2} C_{3}, в треугольнике AC2C3A C_{2} C_{3} — биссектриса C3C4C_{3} C_{4} и т. д. Доказать, что последовательность величин углов Cn+1CnA,n∈NC_{n+1} C_{n} A, n \in \mathbb {N}, имеет предел, и найти его, если угол BACB A C равен α\alpha.

?
Задача 1.8.215

Вписанная в треугольник A1B1C1A_{1} B_{1} C_{1} окружность касается его сторон B1C1,C1A1B_{1} C_{1}, C_{1} A_{1} и A1B1A_{1} B_{1} в точках A2,B2,C2A_{2}, B_{2}, C_{2} соответственно, вписанная в треугольник A2B2C2A_{2} B_{2} C_{2} окружность касается его сторон B2C2,C2A2,A2B2B_{2} C_{2}, C_{2} A_{2}, A_{2} B_{2} в точках A3,B3,C3A_{3}, B_{3}, C_{3} соответственно и т. д. Найти предел последовательности величин углов BnAnCnB_{n} A_{n} C_{n} при n→∞n \rightarrow \infty.

?
Задача 1.8.216

В трапеции ABCDA B C D (AD∥BC)(A D \parallel B C) точки B1B_{1} и C1C_{1} — середины диагоналей ACA C и BDB D, в трапеции AB1C1DA B_{1} C_{1} D точки B2B_{2} и C2C_{2} — середины диагоналей AC1A C_{1} и B1DB_{1} D и т. д. Найти lim⁡n→∞∣BnCn∣\lim_{n \rightarrow \infty }\left|B_{n} C_{n}\right|, если ∣AD∣=a\left|A D\right| = a в случаях: а) ∣AD∣>∣BC∣\left|A D\right| > \left|B C\right|; б) ∣AD∣<∣BC∣\left|A D\right| < \left|B C\right|.

?
Задача 1.8.217

Пусть a>0,x1=a,xn+1=a+xn,n∈Na > 0, x_{1} = \sqrt{a}, x_{n+1} = \sqrt{a+x_{n}}, n \in \mathbb {N}. Доказать, что существует lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, и найти его.

?
Задача 1.8.218

Исследовать на сходимость последовательность:

?
(1)

x1=0,xn+1=xn+1xn+2,n∈Nx_{1} = 0, x_{n+1} = \frac{x_{n}+1}{x_{n}+2}, n \in \mathbb {N};

(2)

x1=1/2,xn+1=(1−xn)2,n∈Nx_{1} = 1 / 2, x_{n+1} = \left(1-x_{n}\right)^{2}, n \in \mathbb {N}.

Задача 1.8.219

Пусть x1=a,0<a<1,xn+1=1+qxn2,n∈Nx_{1} = a, 0 < a < 1, x_{n+1} = 1+q x_{n}^{2}, n \in \mathbb {N}. При каких q∈[0;1]q \in [0 ; 1] последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится?

?
Задача 1.8.220

Пусть x1>0,xn+1=12(xn+axn)x_{1} > 0, x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right), где a>0,n∈Na > 0, n \in \mathbb {N}. Доказать, что существует lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, и найти его.

?
Задача 1.8.221

Пусть x1>0,xn+1=13(2xn+125xn2),n∈Nx_{1} > 0, x_{n+1} = \frac{1}{3}\left(2 x_{n}+\frac{125}{x_{n}^{2}}\right), n \in \mathbb {N}. Доказать, что существует lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, и найти его.

?
Задача 1.8.222

Пусть x1=2,xn+1=2+xn,n∈Nx_{1} = \sqrt{2}, x_{n+1} = \sqrt{2+\sqrt{x_{n}}}, n \in \mathbb {N}. Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится.

?
Задача 1.8.223

Доказать, что:

?
(1)

последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\}, где x1=a,a>−1,xn+1=11+xnx_{1} = a, a > -1, x_{n+1} = \frac{1}{1+x_{n}}, имеет предел, и найти его;

(2)

у последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}, где x1=a,0<a<1,xn+1=1−xn2x_{1} = a, 0 < a < 1, x_{n+1} = 1 -x_{n}^{2}, ее подпоследовательности {x2k}\left\{ x_{2 k}\right\} и {x2k−1}\left\{ x_{2 k-1}\right\} имеют пределы, являющиеся корнями уравнения x=x2(2−x2)x = x^{2}\left(2-x^{2}\right).

Задача 1.8.224

Исследовать на сходимость последовательность (n∈N)(n \in \mathbb {N}) :

?
(1)

x1=−3,xn+1=1+6xnx_{1} = -3, x_{n+1} = 1+\frac{6}{x_{n}};

(2)

x1=−713,xn+1=1+xn2xnx_{1} = -\frac{7}{13}, x_{n+1} = \frac{1+x_{n}}{2 x_{n}};

(3)

x1=817,xn+1=1xn−32x_{1} = \frac{8}{17}, x_{n+1} = \frac{1}{x_{n}}-\frac{3}{2};

(4)

x1=67,xn+1=4−3xnx_{1} = \frac{6}{7}, x_{n+1} = 4-\frac{3}{x_{n}}.

Задача 1.8.225

Пусть x1>0,xn+1=axn+b,n∈Nx_{1} > 0, x_{n+1} = \frac{a}{x_{n}}+b, n \in \mathbb {N}, где a>0,b>0a > 0, b > 0. Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится, и найти ее предел.

?
Задача 1.8.226

Пусть a∈R,x1=a2,xn+1=a2+xn22a \in \mathbb {R}, x_{1} = \frac{a}{2}, x_{n+1} = \frac{a}{2}+\frac{x_{n}^{2}}{2}. Найти все значения aa, при которых последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится, и найти ее предел.

?
Задача 1.8.227
?
(1)

Пусть 0<x1<1,xn+1=xn(2−xn),n∈N0 < x_{1} < 1, x_{n+1} = x_{n}\left(2-x_{n}\right), n \in \mathbb {N} : a) доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится и lim⁡n→∞xn=1\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 1; б) исследовать последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} на сходимость, если x1∉∉(0;1)x_{1} \notin \notin (0 ; 1).

(2)

Пусть 0<x1<1/a,xn+1=xn(2−axn),n∈N0 < x_{1} < 1 / a, x_{n+1} = x_{n}\left(2-a x_{n}\right), n \in \mathbb {N}, где a>0a > 0. Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходитсн и lim⁡n→∞xn=1/a\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 1 / a.

(3)

Пусть 0<x1<a,xn+1=xn(a−xn),n∈N0 < x_{1} < a, x_{n+1} = x_{n}\left(a-x_{n}\right), n \in \mathbb {N}. Доказать, что: а) lim⁡n→∞xn=a−1\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = a-1 при a>1a > 1; б) lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0 при 0<a⩽10 < a \leqslant 1.

Задача 1.8.228

Последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\} удовлетворяют условиям:

?
(1)

x1=a>0,y1=b>0,xn+1=12(xn+yn),yn+1=xnyn,n∈Nx_{1} = a > 0, y_{1} = b > 0, x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_{n}+y_{n}\right), y_{n+1} = \sqrt{x_{n} y_{n}}, n \in \mathbb {N};

(2)

x1=a>0,y1=b>0,xn+1=12(xn+yn),yn+1=2xnynxn+ynx_{1} = a > 0, y_{1} = b > 0, x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_{n}+y_{n}\right), y_{n+1} = \frac{2 x_{n} y_{n}}{x_{n}+y_{n}}, n∈Nn \in \mathbb {N}.

Доказать, что последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\} сходятся и lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞yn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty } y_{n}. В случае 2) найти этот предел.

Задача 1.8.229

При каких aa и bb из R\mathbb {R} сходится (соответственно расходится) последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\}, если x1=a,x2=bx_{1} = a, x_{2} = b и:

?
(1)

xn+2=2xn+1−xnx_{n+2} = 2 x_{n+1}-x_{n};

(2)

xn+2=4xn+1−3xnx_{n+2} = 4 x_{n+1}-3 x_{n};

(3)

xn+2=−2xn+1−xnx_{n+2} = -2 x_{n+1}-x_{n};

(4)

xn+2=xn+1+2xn,n∈Nx_{n+2} = x_{n+1}+2 x_{n}, n \in \mathbb {N}?

Задача 1.8.230

Пусть x1=a,xn+1=xn/(4−xn),n∈Nx_{1} = a, x_{n+1} = x_{n} /\left(4-x_{n}\right), n \in \mathbb {N}. Доказать, что последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} имеет предел, и найти его, если:

?
(1)

0<a<30 < a < 3;

(2)

3,5<a<43,5 < a < 4.

Задача 1.8.231

Доказать сходимость последовательности и найти ее предел, если:

?
(1)

x1=4,xn+1=6+xnx_{1} = 4, x_{n+1} = \sqrt{6+x_{n}};

(2)

x1=1,xn+1=6+xn3x_{1} = 1, x_{n+1} = \sqrt[3]{6+x_{n}};

(3)

x1=3,xn+1=12+xn,n∈Nx_{1} = 3, x_{n+1} = \sqrt{12+x_{n}}, n \in \mathbb {N}.

Задача 1.8.232

Доказать, что последовательность x1=a,xn+1=xn2+xnx_{1} = a, x_{n+1} = \frac{x_{n}}{2+x_{n}}, n∈Nn \in \mathbb {N}, имеет предел, и найти его, если:

?
(1)

a<0a < 0;

(2)

a<−2a < -2;

(3)

−1<a<0-1 < a < 0.

Задача 1.8.233

Доказать, что последовательность x1=a,xn+1=1+bxnx_{1} = a, x_{n+1} = 1+\frac{b}{x_{n}}, n∈Nn \in \mathbb {N}, где b<−1/4b < -1 / 4, расходится.

?
Задача 1.8.234

Пусть x1=a,xn+1=xn2+3xn+1,n∈Nx_{1} = a, x_{n+1} = x_{n}^{2}+3 x_{n}+1, n \in \mathbb {N}.

Установить, имеет ли эта последовательность предел (конечный или бесконечный), и найти его, если:

?
(1)

a=−5/4a = -5 / 4

(2)

a=−3/4a = -3 / 4

(3)

a=−7/4a = -7 / 4

(4)

a=−9/4a = -9 / 4.

Задача 1.8.235

Доказать, что существует lim⁡n→∞xn\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}, и найти его, если

x1=2,xn+1=2−1/xn. x_{1} = 2, \quad x_{n+1} = 2-1 / x_{n}.
?
Задача 1.8.236

Доказать, что последовательность

x1=a,xn+1=1−1/4xn,n∈N x_{1} = a, \quad x_{n+1} = 1-1 / 4 x_{n}, \quad n \in \mathbb {N}

сходится, и найти ее предел, если:

?
(1)

a>1/2a > 1 / 2

(2)

a<0a < 0;

(3)

0<a<1/40 < a < 1 / 4.

Задача 1.8.237

Доказать, что если x1>0,xn+1=a(xn+1/xn),n∈Nx_{1} > 0, x_{n+1} = a\left(x_{n}+1 / x_{n}\right), n \in \mathbb {N}, то:

?
(1)

lim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty при a⩾1a \geqslant 1;

(2)

lim⁡n→∞xn=a/(1−a)\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = \sqrt{a /(1-a)} при 0<a<10 < a < 1.

Задача 1.8.238

Исследовать на сходимость последовательность (n∈N)(n \in \mathbb {N}) :

?
(1)

x1=9/10,xn+1=1/(2xn−1)x_{1} = 9 / 10, x_{n+1} = 1 /\left(2 x_{n}-1\right);

(2)

x1=2,xn+1=6/(xn−1)x_{1} = 2, x_{n+1} = 6 /\left(x_{n}-1\right).

Задача 1.8.239

Пусть x1=a,xn+1=xn2+(1−2p)xn+p2,n∈Nx_{1} = a, x_{n+1} = x_{n}^{2}+(1-2 p) x_{n}+p^{2}, n \in \mathbb {N}.

Найти все значения aa и pp, при которых последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится.

?
Задача 1.8.240

Доказать, что последовательность

x1=a,xn+1=bxnc+dxn,n∈N x_{1} = a, \quad x_{n+1} = \frac{b x_{n}}{c+d x_{n}}, \quad n \in \mathbb {N}

имеет предел, и найти его (a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb {R} и таковы, что c+dxn≠0c+d x_{n} \neq 0 для любого n∈N,bd≠0,∣b∣≠∣c∣,ad≠b−c)n \in \mathbb {N}, b d \neq 0,\left|b\right| \neq \left|c\right|, a d \neq b-c).

?
Задача 1.8.241

Доказать, что последовательность

x1=a,xn+1=1+b/xn,n∈N x_{1} = a, \quad x_{n+1} = 1+b / x_{n}, \quad n \in \mathbb {N}

где 0>b>−1/40 > b > -1 / 4, сходится; найти ее предел.

?
Задача 1.8.242

Пусть x1>0,xn+1=axn+b/xn,n∈Nx_{1} > 0, x_{n+1} = a x_{n}+b / x_{n}, n \in \mathbb {N}, где a>0,b>0a > 0, b > 0. Доказать, что существует конечный или бесконечный предел этой последовательности, и найти его.

?
Задача 1.8.243

Доказать, что существует единственная последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} такая, что x1=1,xn=xn+1+xn+2,xn>0,n∈Nx_{1} = 1, x_{n} = x_{n+1}+x_{n+2}, x_{n} > 0, n \in \mathbb {N}. Доказать, что эта последовательность имеет предел, и найти его.

?
Задача 1.8.244

Последовательность xnx_{n} такова, что

xn+2=52xn+1+xn,n∈N,x1=a x_{n+2} = \frac{5}{2} x_{n+1}+x_{n}, \quad n \in \mathbb {N}, \quad x_{1} = a

Как следует выбрать x2x_{2}, чтобы эта последовательность сходилась? Чему будет равен ее предел?

?
Задача 1.8.245

Доказать, что последовательность

Sn=1−12α+13α−…+(−1)n−1nα,n∈N S_{n} = 1-\frac{1}{2^{\alpha }}+\frac{1}{3^{\alpha }}-\ldots +\frac{(-1)^{n-1}}{n^{\alpha }}, \quad n \in \mathbb {N}

где α>0\alpha > 0, сходится.

?
Задача 1.8.246
?
(1)

Пусть lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0. Доказать, что

lim⁡n→∞1n(x1+x2+…+xn)=0 \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n}\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right) = 0
(2)

Пусть lim⁡n→∞xn=a\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = a. Доказать, что

lim⁡n→∞1n(x1+x2+…+xn)=a \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n}\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right) = a
(3)

Привести пример расходящейся последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}, для которой существует

lim⁡n→∞1n(x1+x2+…+xn) \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n}\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)
Задача 1.8.247

Найти lim⁡n→∞1n(1+12+…+1n)\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{n}}\right).

?
Задача 1.8.248

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} такова, что lim⁡n→∞(xn+1−xn)=a\lim_{n \rightarrow \infty }\left(x_{n+1}-x_{n}\right) = a. Доказать, что lim⁡n→∞xnn=a\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n}}{n} = a.

?
Задача 1.8.249
?
(1)

Пусть xn>0,n∈N,lim⁡n→∞xn=ax_{n} > 0, n \in \mathbb {N}, \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = a Доказать, что

lim⁡n→∞n1/x1+1/x2+1/xn=a \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{n}{1 / x_{1}+1 / x_{2} + 1 / x_{n}} = a
(2)

Пусть lim⁡n→∞xn=x,lim⁡n→∞yn=y\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x, \lim_{n \rightarrow \infty } y_{n} = y, где y≠0y \neq 0 и y1+y2++yn≠0y_{1}+y_{2}+\quad +y_{n} \neq 0 для любого n∈Nn \in \mathbb {N} Доказать, что

lim⁡n→∞x1+x2+xny1+y2+yn=xy \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{x_{1}+x_{2} + x_{n}}{y_{1}+y_{2}+y_{n}} = \frac{x}{y}

(здесь yy — число, xx — число, +∞+\infty или −∞-\infty)

Задача 1.8.250
?
(1)

Пусть lim⁡n→∞xn=1,xn>0,n∈N\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 1, x_{n} > 0, n \in \mathbb {N} Доказать, что

lim⁡n→∞x1x2xnn=1 \lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{x_{1} x_{2} x_{n}} = 1
(2)

Пусть lim⁡n→∞xn=x,xn>0,n∈N,x≠0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x, x_{n} > 0, n \in \mathbb {N}, x \neq 0 Доказать, что

lim⁡n→∞x1x2xnn=x \lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \quad x_{n}} = x
(3)

Привести пример расходящейся последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}, длн которой существует

lim⁡n→∞x1x2xnn \lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{x_{1} x_{2} x_{n}}
Задача 1.8.251

Пусть xn>0,n∈Nx_{n} > 0, n \in \mathbb {N}, и lim⁡n→∞xn+1xn=x\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n+1}}{x_{n}} = x Доказать, что

lim⁡n→∞xnn=x \lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{x_{n}} = x
?
Задача 1.8.252

Найти

?
(1)

lim⁡n→∞n1nn\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\sqrt[n]{n^{1}}}{n}

(2)

lim⁡n→∞npn1n\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\sqrt[p]{n}}{\sqrt[n]{n^{1}}}

(3)

lim⁡n→∞(n+l)(n+2)(2n)n\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{(n+l)(n+2)(2 n)}

(4)

lim⁡n→∞4nn′(3n)n\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{4^{n} n^{\prime }}{(3 n)^{n}}

(5)

lim⁡n→∞3nn1nn\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{3^{n} n^{1}}{n^{n}}

Задача 1.8.253

(Теорема Штольца) Пусть последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} строго монотонна, начиная с некоторого номера, и lim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = +\infty Последовательность {yn}\left\{ y_{n}\right\} такова, что

lim⁡n→∞yn+1−ynxn+1−xn=a \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{y_{n+1}-y_{n}}{x_{n+1}-x_{n}} = a

Доказать, что и lim⁡n→∞ynxn=a\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{y_{n}}{x_{n}} = a, где aa — число, +∞,−∞+\infty ,-\infty или ∞\infty

?
Задача 1.8.254

Пусть {xn}\left\{ x_{n}\right\} — строго монотонная, начиная с некоторого номера, последовательность, lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0 Пусть lim⁡n→∞yn=0\lim_{n \rightarrow \infty } y_{n} = 0 и

lim⁡n→∞yn+1−ynxn+1−xn=a \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{y_{n+1}-y_{n}}{x_{n+1}-x_{n}} = a

Доказать, что и lim⁡n→∞ynxn=a\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{y_{n}}{x_{n}} = a, где aa — число, +∞,−∞+\infty ,-\infty или ∞\infty

?
Задача 1.8.255

Пусть p∈Np \in \mathbb {N} Найти

?
(1)

lim⁡n→∞1np+1(1p+2p+…+np)\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n^{p+1}}\left(1^{p}+2^{p}+\ldots +n^{p}\right);

(2)

lim⁡n→∞(1np(1p+2p+…+np)−np+1)\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\frac{1}{n^{p}}\left(1^{p}+2^{p}+\ldots +n^{p}\right)-\frac{n}{p+1}\right).

Задача 1.8.256

Пусть lim⁡n→∞xn=a,lim⁡n→∞yn=b\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = a, \lim_{n \rightarrow \infty } y_{n} = b. Доказать, что

lim⁡n→∞x1yn+x2yn−1+…+xn−1y2+xny1n=ab \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{x_{1} y_{n}+x_{2} y_{n-1}+\ldots +x_{n-1} y_{2}+x_{n} y_{1}}{n} = a b
?
Задача 1.8.257

Функция ff неограниченна сверху (снизу) на множестве XX. Доказать, что существует последовательность {xn},xn∈X,n∈N\left\{ x_{n}\right\} , x_{n} \in X, n \in \mathbb {N}, такая, что lim⁡n→∞f(xn)=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } f\left(x_{n}\right) = +\infty (соответственно lim⁡n→∞f(xn)=−∞\lim_{n \rightarrow \infty } f\left(x_{n}\right) = -\infty).

?
Задача 1.8.258

Доказать, что если функция неограниченна на отрезке, то существует точка этого отрезка, в каждой окрестности которой функция неограниченна. Верно ли это утверждение для интервала?

?
Задача 1.8.259

Пусть lim⁡n→∞xn=0,Sn=x1+x2+…+xn,n∈N\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0, S_{n} = x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}, n \in \mathbb {N}.

Может ли последовательность {Sn}\left\{ S_{n}\right\} иметь только два частичных предела, если:

?
(1)

xnx_{n} — действительные числа;

(2)

xnx_{n} — комплексные числа?

Задача 1.8.260

Последовательность xnx_{n} такова, что для любого k>1,k∈Nk > 1, k \in \mathbb {N}, ее подпоследовательность {xpk}\left\{ x_{p k}\right\} имеет предел, равный 1. Следует ли отсюда, что и последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} сходится к 1?

?
Задача 1.8.261

Доказать, что всякую ограниченную последовательность можно разбить на счетное множество последовательностей, имеющих один и тот же предел.

?
Задача 1.8.262

Пусть {xn}\left\{ x_{n}\right\} и {yn}\left\{ y_{n}\right\} — ограниченные последовательности с общим множеством частичных пределов. Доказать, что найдется такая перестановка {zn}\left\{ z_{n}\right\} последовательности {yn}\left\{ y_{n}\right\} (см. задачу 33), что

lim⁡n→∞(xn−zn)=0. \lim _{n \rightarrow \infty }\left(x_{n}-z_{n}\right) = 0.
?
Задача 1.8.263

Дано счетное множество последовательностей {xn(k)}\left\{ x_{n}^{(k)}\right\} (k=1,2,…)(k = 1,2, \ldots ) таких, что xn(k)>0x_{n}^{(k)} > 0 для любых n,k∈Nn, k \in \mathbb {N} и lim⁡n→∞xn(k)=+∞\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}^{(k)} = +\infty для любого k∈Nk \in \mathbb {N}. Доказать, что существует последовательность {bn}\left\{ b_{n}\right\} такая, что

lim⁡n→∞bn=0 и lim⁡n→∞bnxn(k)=0 для любого k∈N.  \lim _{n \rightarrow \infty } b_{n} = 0 \quad \text{ и } \quad \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{b_{n}}{x_{n}^{(k)}} = 0 \text{ для любого } k \in \mathbb {N} \text{. }
?
Задача 1.8.264

Привести пример возрастающей ограниченной последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} такой, что последовательность {(n+l)(xn+1−xn)}\left\{ (n+l)\left(x_{n+1}-x_{n}\right)\right\} неограниченна.

?
Задача 1.8.265
?
(1)

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} ограниченна. Доказать, что последовательность {n(xn+1−xn)}\left\{ n\left(x_{n+1}-x_{n}\right)\right\} не может иметь пределом +∞+\infty.

(2)

Привести пример сходящейся последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\}, для которой lim⁡n→∞n(xn+1−xn)=∞\lim_{n \rightarrow \infty } n\left(x_{n+1}-x_{n}\right) = \infty.

Задача 1.8.266

Доказать сходимость ограниченной сверху последовательности, удовлетворяющей условию:

?
(1)

xn+1−xn⩾−1/2n,n∈Nx_{n+1}-x_{n} \geqslant -1 / 2^{n}, n \in \mathbb {N};

(2)

xn+1−xn⩾−1/n2,n∈Nx_{n+1}-x_{n} \geqslant -1 / n^{2}, n \in \mathbb {N};

(3)

xn+1−xn⩾αn,n∈Nx_{n+1}-x_{n} \geqslant \alpha_{n}, n \in \mathbb {N}, где αn\alpha_{n} таковы, что последовательность {∑k=1nαk}\left\{ \sum_{k = 1}^{n} \alpha_{k}\right\} сходится.

Задача 1.8.267

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} такова, что для любых m,n∈N0⩽xm+n⩽xm+xnm, n \in \mathbb {N} 0 \leqslant x_{m+n} \leqslant x_{m}+x_{n}.

Доказать, что последовательность {xn/n}\left\{ x_{n} / n\right\} сходится.

?
Задача 1.8.268

Пусть {xn}\left\{ x_{n}\right\} — возрастающая неограниченная последовательность, xn≠0,n∈Nx_{n} \neq 0, n \in \mathbb {N}. Пусть KnK_{n} — число членов этой последовательности, не превосходящих n(n∈N)n(n \in \mathbb {N}). Доказать, что если существует один из пределов

lim⁡n→∞Knn или lim⁡n→∞nxn \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{K_{n}}{n} \quad \text{ или } \quad \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{n}{x_{n}}

то существует и другой, и эти пределы равны.

?
Задача 1.8.269

(Признак Лейбница.) Последовательность {an}\left\{ a_{n}\right\} такова, что

lim⁡n→∞(an+1−an)=0,∣an+2−an+1∣⩽∣an+1−an∣,(an+2−an+1)(an+1−an)⩽0,n∈N. \begin{gathered} \lim _{n \rightarrow \infty }\left(a_{n+1}-a_{n}\right) = 0, \\ \left|a_{n+2}-a_{n+1}\right| \leqslant \left|a_{n+1}-a_{n}\right|, \quad \left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)\left(a_{n+1}-a_{n}\right) \leqslant 0, \quad n \in \mathbb {N}.\end{gathered}

Доказать, что последовательность {an}\left\{ a_{n}\right\} сходится.

?
Задача 1.8.270

Последовательность {xn}\left\{ x_{n}\right\} имеет ограниченную вариацию, если ограниченна последовательность

σn=∣x2−x1∣+∣x3−x2∣+…+∣xn+1−xn∣,n∈N. \sigma _{n} = \left|x_{2}-x_{1}\right|+\left|x_{3}-x_{2}\right|+\ldots +\left|x_{n+1}-x_{n}\right|, \quad n \in \mathbb {N}.

Доказать, что:

?
(1)

монотонная ограниченная последовательность имеет ограниченную вариацию;

(2)

последовательность с ограниченной вариацией сходится;

(3)

для всякой последовательности с ограниченной вариацией существуют возрастающие ограниченные последовательности {an}\left\{ a_{n}\right\} и {bn}\left\{ b_{n}\right\} такие, что xn=an−bn,n∈Nx_{n} = a_{n}-b_{n}, n \in \mathbb {N}.

Задача 1.8.271

Пусть xn≠0,n∈N,lim‾⁡n→∞xn+1xn<1x_{n} \neq 0, n \in \mathbb {N}, \varlimsup_{n \rightarrow \infty } \frac{x_{n+1}}{x_{n}} < 1. Доказать, что

lim⁡n→∞xn=0. \lim _{n \rightarrow \infty } x_{n} = 0.
?
Задача 1.8.272

Пусть все члены последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} различны. Доказать, что множество подпоследовательностей последовательности {xn}\left\{ x_{n}\right\} несчетно.

?
Задача 1.8.273

Пусть lim⁡n→∞an=a,a>0,an>0,n∈N\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} = a, a > 0, a_{n} > 0, n \in \mathbb {N}, и пусть lim⁡n→∞bn=b\lim_{n \rightarrow \infty } b_{n} = b, b∈Rb \in \mathbb {R}. Доказать, что

lim⁡n→∞anbn=ab \lim _{n \rightarrow \infty } a_{n}^{b_{n}} = a^{b}
?
Задача 1.8.274

Найти:

?
(1)

lim⁡n→∞n(e1/n−1)\lim_{n \rightarrow \infty } n\left(e^{1 / n}-1\right);

(2)

lim⁡n→∞Cnα\lim_{n \rightarrow \infty } C_{n}^{\alpha }, где Cnα=α(α−1)…(α−(n−1))n!,α∈RC_{n}^{\alpha } = \frac{\alpha (\alpha -1) \ldots (\alpha -(n-1))}{n !}, \alpha \in \mathbb {R}.

Задача 1.8.275
?
(1)

Доказать, что последовательность

xn=1+12+13+…+1n−ln⁡n,n∈N x_{n} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}-\ln n, \quad n \in \mathbb {N}

имеет предел (его называют постолнной Эйлера).

(2)

Доказать, что

lim⁡n→∞(1n+1n+1+…+12n)=ln⁡2. \lim _{n \rightarrow \infty }\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots +\frac{1}{2 n}\right) = \ln 2.
Задача 1.8.276

В треугольнике ABCA B C проведены медианы AD,BEA D, B E и CFC F. На стороне ACA C взнта точка M0,M0≠A,M0≠CM_{0}, M_{0} \neq A, M_{0} \neq C, и по ней найдена на ACA C точка M1M_{1} следующим образом: проведены отрезки [M0N0]∥[CF](N0∈AB)\left[M_{0} N_{0}\right] \parallel [C F] \left(N_{0} \in A B\right), затем [N0P0]∥[AD](P0∈BC)\left[N_{0} P_{0}\right] \parallel [A D] \quad \left(P_{0} \in B C\right) и, наконец, [P0M1]∥[BE]\left[P_{0} M_{1}\right] \parallel [B E]. Отправляясь от точки M1M_{1}, аналогично находится точка M2M_{2} и т. д.

Доказать, что последовательность точек {Mn}\left\{ M_{n}\right\} сходится, и найти ее предел.

?
Задача 1.8.277

Точка движется в круге равномерно и прямолинейно, отскакивая от его границы по закону отражения. Центральный угол, под которым видны две первые точки встречи с границей круга, равен 1 рад. Доказать, что в любом секторе будут находиться точки встречи с границей.

?
Задача 1.8.278

Доказать, что lim⁡n→∞n((n+1)α−nα)=+∞,0<α\lim_{n \rightarrow \infty } n\left((n+1)^{\alpha }-n^{\alpha }\right) = +\infty , 0 < \alpha.

?
Задача 1.8.279

Найти:

?
(1)

lim⁡n→∞log⁡an!nα\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\log_{a} n !}{n^{\alpha }};

(2)

lim⁡n→∞1n∣ln⁡(n2+1−n)∣p\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n}\left|\ln \left(\sqrt{n^{2}+1}-n\right)\right|^{p};

(3)

lim⁡n→∞(an+bn)n2n\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b})^{n}}{2^{n}}, где a>0,b>0a > 0, b > 0.

Задача 1.8.280

Доказать, что из всякого бесконечного множества интервалов, объединение которых покрывает отрезок [a;b][a ; b], можно выделить конечное подмножество интервалов, объединение которых также покрывает [a;b][a ; b].

?