Банк задач по математике

Задача 1.18.1

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{n}\right)$ функцию.

?

(1)

$e^{5 x-1}$ ;

(2)

$\sin (2 x+3)$

(3)

$\cos \left(\frac{x}{2}+2\right)$ ;

(4)

$\frac{1}{1-2 x}$

(5)

$\frac{1}{3 x+4}$

(6)

$\frac{1}{\sqrt{1+4 x}}$

(7)

$\ln (e x+2)$ ;

(8)

$3^{2-x}$

(9)

$\frac{1}{(1-x)^{2}}$ .

Задача 1.18.2

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{n}\right)$ функцию.

?

(1)

$(x-1) e^{x / 2}$ ;

(2)

$\left(x^{2}-x\right) e^{-x}$

(3)

$\frac{x^{2}+3 e^{x}}{e^{2 x}}$

(4)

$(2 x+1) \sqrt{1-x}$

(5)

$(2 x-3) \ln (5 x+6)$ ;

(6)

$\ln \frac{1+2 x}{1-x}$

(7)

$\ln \frac{2-3 x}{3+2 x}$

(8)

$\ln \left(x^{2}+3 x+2\right)$

(9)

$\ln \left(2+x-x^{2}\right)$ .

Задача 1.18.3

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{n}\right)$ функцию.

?

(1)

$\left(1+x^{2}\right) \ln \sqrt{1+x}$

(2)

$(x-1)(x+\ln (1+x))$ ;

(3)

$(1-x) \ln (1+x)-(1+x) \ln (1-x)$ ;

(4)

$x \sqrt[3]{4-4 x+x^{2}}$

(5)

$\frac{x}{\sqrt[3]{9-6 x+x^{2}}}$ ;

(6)

$\ln \frac{x+4}{x^{2}-5 x+6}$

(7)

$\ln \left(6+11 x+6 x^{2}+x^{3}\right)$

(8)

$\ln \left(\frac{2 x^{2}-5 x+2}{2}\right)^{1 / x}$ ;

(9)

$(1-x) \ln \left(1+5 x+6 x^{2}\right)$ .

Задача 1.18.4

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{n}\right)$ функцию.

?

(1)

$\frac{1}{(x+1)(x-2)}$ ;

(2)

$\frac{2 x-3}{x+1}$

(3)

$\frac{x^{2}+1}{2 x-3}$

(4)

$\frac{x^{3}}{x-1}$

(5)

$\frac{2 x+5}{x^{2}+5 x+4}$

(6)

$\frac{3 x-1}{x^{2}+x-6}$

(7)

$\frac{x^{2}+4 x-1}{x^{2}+2 x-3}$

(8)

$\frac{1-2 x^{2}}{2+x-x^{2}}$

(9)

$\frac{3 x^{2}+5 x-5}{x^{2}+x-2}$ .

Задача 1.18.5

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{2 n}\right)$ функцию.

?

(1)

$\operatorname {sh}(x / 2)$ ;

(2)

$x \operatorname {ch} 3 x$

(3)

$x \sin^{2} 2 x$ ;

(4)

$x \operatorname {ch}^{2} x$

(5)

$\sin x \cos 2 x$ ;

(6)

$\sin^{3} x$ ;

(7)

$\operatorname {sh} x \operatorname {ch} 2 x$ ;

(8)

$\sin^{3} x \cos x$ .

Задача 1.18.6

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{2 n}\right)$ функцию.

?

(1)

$\frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}$

(2)

$\frac{x^{2}}{3 x^{2}-4}$

(3)

$\frac{1}{3 x^{4}+10 x^{2}+3}$

(4)

$\frac{x^{2}+2}{x^{3}+x^{2}+x+1}$

(5)

$\frac{x}{3} \ln \frac{x^{2}-1}{x^{2}-e}$

(6)

$(1+2 x) e^{-2 x}-(1-2 x) e^{2 x}$ ;

(7)

$\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ ;

(8)

$\frac{x^{5}-x^{3}}{\sqrt{1-2 x^{2}}}$ .

Задача 1.18.7

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{2 n+1}\right)$ функцию.

?

(1)

$\cos 3 x$ ;

(2)

$x^{2} \cos^{2} x$ ;

(3)

$\cos x 3 x \cos 5 x$ ;

(4)

$\sin x \sin 3 x$ ;

(5)

$\operatorname {ch} x \operatorname {ch} 3 x$ ;

(6)

$\operatorname {sh} x \operatorname {sh} 5 x$ ;

(7)

$\left(4 x-x^{3}\right) \operatorname {sh} 2 x$ .

Задача 1.18.8

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{2 n+1}\right)$ функцию.

?

(1)

$\operatorname {sh}^{2} x$ ;

(2)

$\cos^{4} x$ ;

(3)

$\sin^{2} x \cos^{4} x$ ;

(4)

$\cos^{4} x+\sin^{4} x$ ;

(5)

$\cos^{6} x+\sin^{6} x$ ;

(6)

$\sin^{8} x+\cos^{8} x$ .

Задача 1.18.9

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{2 n+1}\right)$ функцию.

?

(1)

$\frac{x-1}{2-x^{2}-x^{4}}$ ;

(2)

$\frac{1}{x^{4}-8 x^{2}+15}$ ;

(3)

$x \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}$ ;

(4)

$\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{2-x^{2}}}$ ;

(5)

$\frac{1-\sqrt{1+x^{2}}}{1+\sqrt{1+x^{2}}}$ ;

(6)

$\ln \sqrt[3]{\frac{2+x^{2}}{x^{4}-3 x^{2}+2}}$ ;

(7)

$\frac{1}{1-x+x^{2}-x^{3}}$

Задача 1.18.10

(1)(2)(3)

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{3 n}\right)$ функцию:

?

(1)

$\frac{1}{2 x^{6}-10 x^{3}+12}$ ;

(2)

$\frac{5 x^{6}-11}{x^{6}-x^{3}-2}$

(3)

$\frac{1}{1+x+x^{2}}$ .

Задача 1.18.11

(1)(2)(3)

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{3 n+1}\right)$ функцию:

?

(1)

$\frac{x}{\left(1+x^{3}\right)^{2}}$ ;

(2)

$\ln \sqrt{\frac{e-x^{3}}{1-e x^{3}}}$

(3)

$\frac{5 x^{3}+28}{14+5 x^{3}-x^{6}}$ .

Задача 1.18.12

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с $o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)$ функцию.

?

(1)

$1 / x, x_{0} = 2$ ;

(2)

$\sqrt{x}, x_{0} = 1$ ;

(3)

$\sin (2 x-3), x_{0} = 1$ ;

(4)

$x e^{2 x}, x_{0} = -1$ ;

(5)

$x^{2} e^{-2 x}, x_{0} = -1$ ;

(6)

$\left(x^{2}-1\right) e^{2 x}, x_{0} = -1$ ;

(7)

$\sin (x+1) \sin (x+2), x_{0} = -1$ ;

(8)

$\left(x^{2}+4 x+2\right) e^{-3 x}, x_{0} = -2$ .

Задача 1.18.13

(1)(2)(3)(4)

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с $o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)$ функцию.

?

(1)

$\ln (2 x+1), x_{0} = 1 / 2$ ;

(2)

$\log_{3} \sqrt[3]{3 x-1 / 3}, x_{0} = 3$ ;

(3)

$\ln \left(2+x-x^{2}\right), x_{0} = 1$ ;

(4)

$\ln \left(x^{2}-7 x+12\right), x_{0} = 1$ .

Задача 1.18.14

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с $o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)$ функцию.

?

(1)

$\ln \sqrt[3]{7 x-2}, x_{0} = 1$ ;

(2)

$\ln \sqrt[4]{\frac{x-2}{5-x}}, x_{0} = 3$ ;

(3)

$x \ln \left(2-3 x+x^{2}\right), x_{0} = -2$ ;

(4)

$\ln \frac{(x-1)^{x-2}}{3-x}, x_{0} = 2$ ;

(5)

$\frac{2 x+1}{x-1} \ln x, x_{0} = 1$ ;

(6)

$\ln \left(5+14 x+14 x^{2}+6 x^{3}+x^{4}\right), x_{0} = -2$ .

Задача 1.18.15

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с $o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)$ функцию.

?

(1)

$\frac{2 x-1}{x-1}, x_{0} = 2$ ;

(2)

$\frac{(x-2)^{2}}{3-x}, x_{0} = 2$ ;

(3)

$\frac{x}{4+x}, x_{0} = 10$ ;

(4)

$\frac{x+5}{2 x-4}, x_{0} = -\frac{1}{10}$ ;

(5)

$\frac{x^{2}+3 x}{x+1}, x_{0} = 1$ ;

(6)

$\frac{x^{2}-3 x+3}{x-2}, x_{0} = 3$ ;

(7)

$\frac{x+7}{x(2 x+7)}, x_{0} = -2$ ;

(8)

$\frac{x-2}{(x-3)^{2}}, x_{0} = 2$ .

Задача 1.18.16

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с $o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)$ функцию.

?

(1)

$\frac{x^{2}+4 x+4}{x^{2}+10 x+25}, x_{0} = -2$ ;

(2)

$\frac{x^{2}-4 x+5}{x^{2}-5 x+6}, x_{0} = 1$ ;

(3)

$\frac{x^{2}-5 x+7}{x^{2}-9 x+20}, x_{0} = -2$ ;

(4)

$\frac{2 x}{1-x^{2}}, x_{0} = 2$ ;

(5)

$\frac{x^{3}-5 x^{2}+4 x+5}{x^{2}-5 x+6}, x_{0} = 1$ ;

(6)

$x\left(\frac{1}{(x-1)^{3}}-1\right), x_{0} = 2$ .

Задача 1.18.17

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с $o\left(\left(x-x_{0}\right)^{2n}\right)$ функцию.

?

(1)

$e^{x^{2}+2 x-1}, x_{0} = -1$ ;

(2)

$(x+3) e^{3 x^{2}+18 x}, x_{0} = -3$ ;

(3)

$(x+2) \ln \left(2 x^{2}+8 x+11\right), x_{0} = -2$ ;

(4)

$(x-5) \ln \left(26-10 x+x^{2}\right), x_{0} = 5$ ;

(5)

$\ln \frac{\sqrt[3]{x+3}}{x^{2}+2 x+2}, x_{0} = -1$

Задача 1.18.18

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с $o\left(\left(x-x_{0}\right)^{2n}\right)$ функцию.

?

(1)

$\frac{1}{\sqrt{2 x-x^{2}}}, x_{0} = 1$ ;

(2)

$\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2 x+2}}, x_{0} = -1$ ;

(3)

$\frac{x-2}{\sqrt{x^{2}-4 x+8}}, x_{0} = 2$ ;

(4)

$\frac{x^{2}-2 x+1}{\sqrt[3]{x(2-x)}}, x_{0} = 1$

(5)

$\frac{(x+1)^{3}}{\sqrt{x^{2}+2 x+2}}, x_{0} = -1$ .

Задача 1.18.19

(1)(2)(3)

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с $o\left(\left(x-x_{0}\right)^{2n}\right)$ функцию.

?

(1)

$\frac{x-1}{x^{2}-2 x+5}, x_{0} = 1$ ;

(2)

$\frac{x-1}{3 x^{2}-6 x+5}, x_{0} = 1$ ;

(3)

$\frac{x-3}{x^{2}-4 x+8}, x_{0} = 2$ .

Задача 1.18.20

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с $o((x-x_{0})^{2 n+1})$ функцию

?

(1)

$e^{2 x^{2}+8 x+3}, x_{0} = -2$ ;

(2)

$e^{2 x^{2}-12 x}, x_{0} = 3$ ;

(3)

$2^{x-x^{2}}, x_{0} = 1 / 2$ ;

(4)

$(x+3) e^{2 x^{2}+8 x+5}, x_{0} = -2$ ;

(5)

$(x+1)^{2} 2^{x^{2}+2 x}, x_{0} = -1$ ;

(6)

$x(x-2) 2^{x^{2}-2 x-1}, x_{0} = 1$ ;

(7)

$\left(3 x^{2}-6 x+4\right) e^{2 x^{2}-4 x+5}, x_{0} = 1$ .

Задача 1.18.21

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с $o((x-x_{0})^{2 n+1})$ функцию

?

(1)

$\sin^{2}(x-1) \cos (x-1), x_{0} = 1$ ;

(2)

$\sin \frac{9}{2} x \cos \frac{3}{2} x, x_{0} = \frac{\pi }{6}$ ;

(3)

$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)(\sin x+\cos x), x_{0} = -\frac{\pi }{4}$ ;

(4)

$\left(x^{2}-\pi x\right) \cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right), x_{0} = \frac{\pi }{2}$

(5)

$\frac{x^{2}+x}{2 x+1} \cos \pi x, x_{0} = -\frac{1}{2}$ .

Задача 1.18.22

(1)(2)(3)(4)

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с $o((x-x_{0})^{2 n+1})$ функцию

?

(1)

$\log_{2}\left(3 x^{2}-24 x+50\right), x_{0} = 4$ ;

(2)

$(x+2) \ln \left(2-x^{2}-2 x\right), x_{0} = -1$ ;

(3)

$\log_{5} \sqrt[3]{\frac{2 x-1}{3-2 x}}, x_{0} = 1$

(4)

$\left(x^{2}+4 x+2\right) \ln \left(-2 x^{2}-8 x-5\right), x_{0} = -2$ .

Задача 1.18.23

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с $o((x-x_{0})^{2 n+1})$ функцию

?

(1)

$\frac{x-2}{\sqrt[3]{x^{2}-4 x+5}}, x_{0} = 2$ ;

(2)

$\frac{x-1}{\sqrt{1+4 x-x^{2}}}, x_{0} = 2$

(3)

$\sqrt{\frac{x}{2-x}}, x_{0} = 1$ ;

(4)

$\frac{1-4 x+4 x^{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{1-x}}, x_{0} = \frac{1}{2}$ ;

(5)

$\frac{2 x-3}{x^{2}-3 x+2}, x_{0} = \frac{3}{2}$ ;

(6)

$\frac{2 x^{2}-8 x+5}{x^{2}-4 x+3}, x_{0} = 2$ ;

(7)

$\frac{(x+1)^{2}}{\left(2 x^{2}+4 x+1\right)\left(x^{2}+2 x+3\right)}, x_{0} = -1$ ;

(8)

$\left(3 x^{2}-6 x+1\right) \sqrt{2 x-x^{2}}, x_{0} = 1$ .

Задача 1.18.24

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0} = 1$ с $o\left(\left(x-x_{0}\right)^{3 n}\right)$ функцию $2^{x^{3}-3 x^{2}+3 x}$ .

?

Задача 1.18.25

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0} = 2$ с $o\left((x-2)^{2 n+2}\right)$ функцию $\sqrt{x /(4-x)}-\sqrt{(4-x) / x}$ .

?

Задача 1.18.26

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0} = 2$ с $o\left((x-2)^{3 n+1}\right)$ функцию $(x-2) / \sqrt[3]{(x-4)\left(x^{2}-2 x+4\right)}$ .

?

Задача 1.18.27

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0} = 1$ с $o\left((x-1)^{4 n+1}\right)$ функцию $\left(1-\sqrt{2 x-x^{2}}\right) /\left(1-\sqrt{x^{2}-2 x+2}\right)$ .

?

Задача 1.18.28

(1)(2)(3)

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с $o\left(\left(x-x_{0}\right)^{4 n}\right)$ функцию:

?

(1)

$\sin \left(x^{2}-2 x+3\right), x_{0} = 1$ ;

(2)

$\cos \left(x^{2}-4 x+3\right), x_{0} = 2$ ;

(3)

$\sin \left(3 x^{2}+6 x+4\right), x_{0} = -1$ .

Задача 1.18.29

(1)(2)(3)(4)

Представить формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0} \mathrm{c} o\left(\left(x-x_{0}\right)^{4 n+3}\right)$ функцию:

?

(1)

$\cos \left(\frac{8}{\pi } x^{2}-4 x+\pi \right), x_{0} = \frac{\pi }{4}$

(2)

$\sin \left(\frac{4}{\pi } x^{2}-2 x+\frac{3}{4} \pi \right), x_{0} = \frac{\pi }{4}$

(3)

$x \sin \left(x^{2}+2 \sqrt{\pi } x\right), x_{0} = -\sqrt{\pi }$

(4)

$x \sin \left(x^{2}+2 x+2\right) \cos \left(x^{2}+2 x\right), x_{0} = -1$ .

Задача 1.18.30

(1)(2)(3)

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{n}\right)$ функцию:

?

(1)

$x^{3}\left|x\right|+\cos^{2} x$ ;

(2)

$\sin |x|^{3}+e^{x}$ ;

(3)

$|x|^{2 k+1}, k \in \mathbb {N}$ .

Число $n$ выбрать наибольшим.

Задача 1.18.31

(1)(2)(3)

Найти $f^{(k)}(0)$ , если:

?

(1)

$f(x) = e^{-x^{2}}, k = 6 ;$

(2)

$f(x) = 1 /\left(1+x+x^{2}\right), k = 32$ ;

(3)

$f(x) = 1 /\left(1-x^{4}\right), k = 60$ .

Задача 1.18.32

Пусть $P_{n}(x)$ — многочлен степени не выше $n$ . Доказать, что

P_{n}(x) = \sum _{k = 0}^{n} \frac{P_{n}^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k !}\left(x-x_{0}\right)^{k}

?

Задача 1.18.33

(1)(2)(3)(4)

Представить функцию $f(x)$ в виде многочлена по степеням $x-x_{0}$ , если:

?

(1)

$f(x) = x^{3}, x_{0} = 1$

(2)

$f(x) = x^{4}+8 x^{3}+24 x^{2}+32 x+17, x_{0} = -2$ ;

(3)

$f(x) = 1+x+x^{2}+x^{3}, x_{0} = -1$ ;

(4)

$f(x) = \left(x^{3}-8\right)^{2}, x_{0} = 2$ .

Задача 1.18.34

Пусть $f(x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)$ . Доказать, что

f^{\prime }(x) = \sum _{k = 1}^{n} k a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k-1}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n-1}\right)

?

Задача 1.18.35

Пусть $f\left(x_{0}+h\right) = f\left(x_{0}\right)+\sum_{k = 1}^{n-1} \frac{h^{k}}{k !} f^{(k)}\left(x_{0}\right)+\frac{h^{n}}{n !} f^{(n)}\left(x_{0}+\theta h\right)$ , где $0 < \theta < 1$ , и пусть существует $f^{(n+1)}\left(x_{0}\right) \neq 0$ . Доказать, что

\lim _{h \rightarrow 0} \theta = \frac{1}{n+1}.

?

Задача 1.18.36

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{2}\right)$ функцию:

?

(1)

$e^{\operatorname {tg} x}$

(2)

$e^{\sqrt{1+2 x}}$

(3)

$\operatorname {ch}(\sin x)$ ;

(4)

$\cos (\operatorname {sh}(x / \sqrt{5}))$

(5)

$\left(1-x+x^{2}\right)^{3}$ ;

(6)

$\ln \cos x$ .

Задача 1.18.37

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{3}\right)$ функцию:

?

(1)

$\left(1-x+x^{2}\right) /\left(1+x+x^{2}\right)$ ;

(2)

$\sqrt{1+2 x-x^{2}}-\sqrt[3]{1-3 x+x^{3}}$ ;

(3)

$\sqrt[3]{1-3 x \cos 2 x}$ ;

(4)

$\operatorname {arctg}(\sin x)$

(5)

$e^{\sin x}$

(6)

$\ln^{3}(1-x / 2)$ ;

(7)

$(1+x)^{1 / x}$ ;

(8)

$\sqrt[3]{1+3 \sin x}$

(9)

$\ln (1+\arcsin x)$ .

Задача 1.18.38

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{4}\right)$ функцию:

?

(1)

$e^{x / \sin x}$

(2)

$1 /(\sin x+\cos x)$

(3)

$\operatorname {tg}(\operatorname {sh} 3 x)$

(4)

$\sin (\operatorname {arctg} x)$

(5)

$x /\left(e^{x}-1\right)$

(6)

$\sqrt{\cos x}$

(7)

$x / \arcsin x$

(8)

$x / \operatorname {arctg} x$

(9)

$e^{x \sin x}$ .

Задача 1.18.39

Представить формулой Маклорена с $o\left(x^{5}\right)$ функцию:

?

(1)

$\left(1-2 x+3 x^{2}+4 x^{3}\right)^{3}$ ;

(2)

$\ln \left(1+x+x^{2}+x^{3}\right)$ ;

(3)

$\frac{1}{\cos x}$ ;

(4)

$e^{x / \sqrt{1+x^{2}}}$ ;

(5)

$\ln \frac{\sin x}{x}$ ;

(6)

$\frac{1}{1-\ln^{2}(1+x)}$ ;

(7)

$(1+x)^{\sin x}$ .

Задача 1.18.40

(1)(2)(3)(4)

Представить формулой Тейлора функцию $f(x)$ в окрестности точки $x_{0}$ с $o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)$ :

?

(1)

$f(x) = \operatorname {th} x, x_{0} = 0, n = 6$ ;

(2)

$f(x) = \frac{1-2 x \sqrt{e}+e x^{2}}{\sqrt{-\ln \left(2 x-x^{2} \sqrt{e}\right)}}, x_{0} = \frac{1}{\sqrt{e}}, n = 9$ ;

(3)

$f(x) = \left(6-\sqrt{1-10 x^{4}}\right)^{\cos 2 x^{3}}, x_{0} = 0, n = 9$ ;

(4)

$f(x) = \left(x^{2}-1\right)^{1973}, x_{0} = 1, n = 1973$ .

Задача 1.18.41

(1)(2)(3)(4)

Найти такие числа $A$ и $B$ , чтобы при $x \rightarrow 0$ были справедливы асимптотические равенства:

?

(1)

$A e^{x}-\frac{B}{1-x} = -\frac{1}{2} x^{2}-\frac{5}{6} x^{3}+o\left(x^{3}\right)$ ;

(2)

$\sin x(A+B \cos x) = x+o\left(x^{4}\right)$ ;

(3)

$A \arcsin x+B \operatorname {arctg} x = \frac{1}{2} x^{3}-\frac{1}{8} x^{5}+o\left(x^{6}\right)$ ;

(4)

$\operatorname {tg} x = \frac{x+A x^{3}}{1+B x^{2}}+o\left(x^{6}\right)$ .

Задача 1.18.42

С помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (25) приближенно вычислить (с точностью до $10^{-3}$ ):

?

(1)

$\sqrt{127}$

(2)

$\sqrt[4]{83}$

(3)

$\sqrt[5]{250}$

(4)

$\sqrt[3]{e}$

(5)

$\sin 85^{\circ }$ ;

(6)

$\cos 72^{\circ }$ ;

(7)

$\ln 1,3$ ;

(8)

$\operatorname {arctg} 0,8$ .

Задача 1.18.43

Оценить с помощью формулы Тейлора (25) абсолютную погрешность приближенных формул:

?

(1)

$e^{x} \approx \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k !}, 0 \leqslant x \leqslant 1$ ;

(2)

$\sin x \approx x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !},\left|x\right| \leqslant 1$ ;

(3)

$\cos x \approx 1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !},\left|x\right| \leqslant 0,5$ ;

(4)

$\operatorname {tg} x \approx x+\frac{x^{3}}{3},\left|x\right| \leqslant 0,1$ ;

(5)

$\ln (1+x) \approx x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4},\left|x\right| \leqslant 0,1$ ;

(6)

$\sqrt{1+x} \approx 1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}+\frac{x^{3}}{16}, 0 \leqslant x \leqslant 0,2$ .

Задача 1.18.44

Вычислить с помощью формулы Тейлора (25):

?

(1)

$е$ с точностью до $10^{-7}$ ;

(2)

$\sqrt{10}$ с точностью до $10^{-3}$ ;

(3)

$\sin 1^{\circ }$ с точностью до $10^{-6}$ ;

(4)

$\cos 5^{\circ }$ с точностью до $10^{-5}$ ;

(5)

$\sqrt[3]{30}$ с точностью до $10^{-4}$ ;

(6)

$\lg 11$ с точностью до $10^{-4}$ .

Задача 1.18.45

Доказать, что для всех $n \in \mathbb {N}(n \geqslant 2)$ выполняется равенство

e = 1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\ldots +\frac{1}{n !}+\frac{\theta }{n ! n}

где $0 < \theta < 1$ .

?

Задача 1.18.46

Пусть функция $f(x)$ такова, что при всех $x \in \mathbb {R}$ справедливы неравенства

f(x) > 0, \quad f^{\prime }(x) > 0, \quad f^{\prime \prime }(x) > 0, \quad f^{\prime \prime \prime }(x) > 0

Доказать, что существует число $a > 0$ такое, что $f(x) > a x^{2}$ при любом $x > 0$ .

?

Задача 1.18.47

Пусть $f(x) \in C^{(2)}[0 ; 1], f(0) = f(1) = 0$ , и пусть существует число $M$ такое, что для всех $x \in (0 ; 1)$ выполняется неравенство $\left|f^{\prime \prime }(x)\right| \leqslant M$ . Доказать, что

\left|f^{\prime }(x)\right| \leqslant M / 2 \quad \text{ при } \quad x \in (0 ; 1).

?

Задача 1.18.48

Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема на $\mathbb {R}$ , и пусть $M_{k} = \sup_{x \in \mathbb {R}}\left|f^{(k)}(x)\right| < +\infty \quad (k = 0,1,2)$ . Доказать, что $M_{1}^{2} \leqslant 2 M_{0} M_{2}$ .

?

Задачи