Банк задач по математике

Задача 1.20.1

(1)(2)(3)(4)

Найти интервалы возрастания и убывания функции.

?

(1)

$f = 4 x^{3}-21 x^{2}+18 x+7$ ;

(2)

$f = 8 x^{3}-x^{4}$ ;

(3)

$f = x^{5}-5 x^{4}+5 x^{3}-1$ ;

(4)

$f = (x-1)^{3}(2 x+3)^{2}$ .

Задача 1.20.2

Найти интервалы возрастания и убывания функции.

?

(1)

$f = x e^{-3 x}$ ;

(2)

$f = e^{x} / x$ ;

(3)

$f = x^{2} e^{-x^{2}}$ ;

(4)

$f = x^{\alpha } e^{-x}, x > 0, \alpha > 0$ ;

(5)

$f = x^{2}-10 \ln x$ ;

(6)

$f = x^{2} \ln x$ ;

(7)

$f = x / \ln x$ ;

(8)

$f = 3^{1 /(x-3)}$ ;

(9)

$f = \operatorname {arctg} x-\ln x$ ;

(10)

$f = e^{\pi x} \cos \pi x$ .

Задача 1.20.3

(1)(2)(3)(4)

Найти интервалы возрастания и убывания функции.

?

(1)

$f = \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}+3 x+2}$ ;

(2)

$f = \frac{1}{x}+\frac{2 x}{x^{2}-1}$ ;

(3)

$f = \frac{x^{3}}{3-x^{2}}$ ;

(4)

$f = \frac{(3-x)^{3}}{(x-2)^{2}}$ .

Задача 1.20.4

Найти интервалы возрастания и убывания функции.

?

(1)

$f = \sqrt[3]{x} /(x+50)$ ;

(2)

$f = \sqrt{8 x^{2}-x^{4}}$ ;

(3)

$f = \sqrt{2 x^{3}+9 x^{2}}$ ;

(4)

$f = x \sqrt{(x+1)^{3}}$ ;

(5)

$f = x / \sqrt[3]{x^{2}-1}$ ;

(6)

$f = (x+1) \sqrt{x^{2}-1}$ ;

(7)

$f = (1+1 / x)^{x}$ .

Задача 1.20.5

(1)(2)

Найти интервалы возрастания и убывания функции.

?

(1)

$f = \frac{\sqrt{1+\left|x+2\right|}}{1+\left|x\right|}$ ;

(2)

$f = \frac{\sin x+\cos x}{1+\left|\cos x\right|}$ .

Задача 1.20.6

(1)(2)

Найти интервалы возрастания и убывания для функции $y = f(x)$ , заданной неявно уравнением:

?

(1)

$x^{2} y^{2}+y = 1, y > 0$ ;

(2)

$x^{3} y^{3} = x-y, x > 0$ .

Задача 1.20.7

Найти интервалы возрастания и убывания для функции $y = f(x)$ , заданной параметрически уравнениями

x = \frac{e^{-t}}{1-t}, \quad y = \frac{e^{t}}{1-t}, \quad t > 1

?

Задача 1.20.8

Выяснить, при каких значениях параметра $a$ функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой:

?

(1)

$f(x) = x^{3}-a x$ ;

(2)

$f(x) = \frac{a^{2}-1}{3} x^{3}+(a-1) x^{2}+2 x$

(3)

$f(x) = a x-\sin x$ ;

(4)

$f(x) = a x+3 \sin x+4 \cos x$ ;

(5)

$f(x) = (8 a-7) x-a \sin 6 x-\sin 5 x$

(6)

$f(x) = 4 x+\frac{a+1}{2} \ln \left(x^{2}-x+1\right)+\frac{a-5}{\sqrt{3}} \operatorname {arctg} \frac{2 x-1}{\sqrt{3}}$ .

Задача 1.20.9

Доказать, что если функция $f(x)$ непрерывна на интервале $(a ; b)$ и $f^{\prime }(x) > 0$ всюду на $(a ; b)$ , кроме конечного числа точек, то $f(x)$ строго возрастает на $(a ; b)$ .

?

Задача 1.20.10

Доказать, что для строгого возрастания функции $f(x)$ на некотором интервале необходимо и достаточно, чтобы для любых точек $x_{1}$ и $x_{2}\left(x_{1} < x_{2}\right)$ этого интервала существовала точка $\xi \in \left(x_{1} ; x_{2}\right)$ такая, что $f^{\prime }(\xi ) > 0$ .

?

Задача 1.20.11

Пусть функция $f(x)$ возрастает на интервале $(a ; b)$ . Следует ли из этого, что производная $f^{\prime }(x)$ также возрастает на интервале $(a ; b)$ ?

?

Задача 1.20.12

(1)(2)

Функция $f(x)$ называется возрастающей в точке $x_{0}$ , если существует такое число $\delta > 0$ , что $f(x) < f\left(x_{0}\right)$ , если $x \in \left(x_{0}-\delta ; x_{0}\right)$ , и $f(x) > f\left(x_{0}\right)$ , если $x \in \left(x_{0} ; x_{0}+\delta \right)$ .

Доказать, что:

?

(1)

из возрастания функции $f(x)$ в каждой точке некоторого интервала следует возрастание $f(x)$ на этом интервале;

(2)

функция $f(x) = \begin{cases} x+x^{2} \sin (2 / x), & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}$ возрастает в точке $x = 0$ , но не является возрастающей ни в каком интервале, содержащем эту точку.

Задача 1.20.13

Найти точки максимума и минимума функции:

?

(1)

$y = x^{3}-4 x^{2}$

(2)

$y = x(x-3)^{2}(x+1)^{3}$

(3)

$y = 2 \sin x+\cos 2 x$

(4)

$y = \frac{1}{x^{3}-2 x^{2}-x+2}$

(5)

$y = (x-5) e^{x}$

(6)

$y = x^{2} e^{1 / x}$

(7)

$y = (2 x+1) \sqrt[3]{(x-2)^{2}}$ ;

(8)

$y = \frac{\sqrt[3]{1+\left|x\right|}}{1+\left|4 x+5\right|}$ .

Задача 1.20.14

Найти точку минимума функции

f(x) = \sum _{k = 1}^{n}\left(x-x_{k}\right)^{2}, \quad x_{k} \in \mathbb {R}, \quad n \in \mathbb {N}

?

Задача 1.20.15

Найти многочлен наименьшей степени, имеющий локальный максимум, равный 6 при $x = 1$ и локальный минимум, равный 2 при $x = 3$ .

?

Задача 1.20.16

Найти максимумы и минимумы функции.

?

(1)

$y = x^{4}-8 x^{2}+12$ ;

(2)

$y = \begin{cases} x^{2}+1, & x \neq 0 \\ 2, & x = 0\end{cases}$

(3)

$y = \frac{x^{4}}{4}-2 x^{3}+\frac{11}{2} x^{2}-6 x+3$ ;

(4)

$y = x^{4}-4 x^{3}+6 x^{2}-4 x+5$ ;

(5)

$y = \left(x^{3}-10\right)(x+5)^{2}$ ;

(6)

$y = (x+2)^{2}(x-3)^{3}$ .

Задача 1.20.17

Найти максимумы и минимумы функции.

?

(1)

$y = \frac{1}{x^{2}-x}$ ;

(2)

$y = \frac{x}{x^{2}+4}$ ;

(3)

$y = \frac{(x-1)^{2}}{x+1}$ ;

(4)

$y = \frac{(2-x)^{3}}{(3-x)^{2}}$ ;

(5)

$y = \frac{x^{3}+2 x^{2}}{(x-1)^{2}}$

(6)

$y = \frac{x^{4}}{(x+1)^{3}}$ .

Задача 1.20.18

Найти максимумы и минимумы функции.

?

(1)

$y = \sin x+\frac{1}{2} \sin 2 x$ ;

(2)

$y = \sin^{3} x+\cos^{3} x$ ;

(3)

$y = \frac{\sin x}{2+\cos x}$ ;

(4)

$y = x+\sin x$ ;

(5)

$y = x-2 \sin^{2} x$ ;

(6)

$y = x-2 \operatorname {arctg} x$ ;

(7)

$y = (x-2) \cos \pi x-\frac{1}{\pi } \sin \pi x$ ;

(8)

$y = \left(x^{2}+1\right) \operatorname {arctg} x-\frac{\pi }{4} x^{2}-x$ .

Задача 1.20.19

Найти максимумы и минимумы функции.

?

(1)

$y = (x-1) e^{3 x}$ ;

(2)

$y = \left(3-x^{2}\right) e^{x}$ ;

(3)

$y = \left(x^{2}-8\right) e^{-x}$ ;

(4)

$y = x^{3} e^{-4 x}$ ;

(5)

$y = x^{4} e^{-x^{2}}$ ;

(6)

$y = (x+1)^{5} e^{-x}$

(7)

$y = \left(x^{3}+3 x^{2}+6 x+6\right) e^{-x}$ ;

(8)

$y = (x+2) e^{1 / x}$ .

Задача 1.20.20

Найти максимумы и минимумы функции.

?

(1)

$y = \sqrt{x} \ln x$ ;

(2)

$y = \frac{\ln^{2} x}{x}$ ;

(3)

$y = \frac{1}{\ln \left(x^{4}+4 x^{3}+30\right)}$

(4)

$y = x^{2}-4 x-1-\ln \left(x^{2}-4 x+4\right)$ ;

(5)

$y = \ln \cos x-\cos x$ ;

(6)

$y = \ln \left(x^{2}-1\right)-2 \operatorname {arctg} x$ .

Задача 1.20.21

Найти максимумы и минимумы функции.

?

(1)

$y = x+\sqrt{3-x}$ ;

(2)

$y = \sqrt[3]{x^{3}-2 x^{2}+x}$ ;

(3)

$y = \sqrt[3]{x^{2}}-x$ ;

(4)

$y = x \sqrt[3]{x-1}$ ;

(5)

$y = \sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt[3]{x^{2}-1}$ ;

(6)

$y = x / \sqrt[3]{x^{2}-4}$ ;

(7)

$y = \sqrt[3]{(x-2)^{2}(x-4)^{2}}$ ;

(8)

$y = \sqrt[3]{(1-x)(x-2)^{2}}$ ;

(9)

$y = \sqrt[3]{(3 x-2)^{2} /(x-1)}$ ;

(10)

$y = 1-\sqrt[3]{(x+1)^{2} /(x+2)^{2}}$ .

Задача 1.20.22

(1)(2)

Найти максимумы и минимумы функции.

?

(1)

$y = x^{x}$ ;

(2)

$y = x^{1 / x}$ .

Задача 1.20.23

Найти максимумы и минимумы функции.

?

(1)

$y = \left|x-5\right|(x-3)^{3}$ ;

(2)

$y = \max \left\{ 7 x-6 x^{2}, \left|x^{3}\right|\right\}$ ;

(3)

$y = \sqrt{1+2\left|x-1\right|} /(6+\left|3 x-2\right|)$ ;

(4)

$y = \sqrt[3]{x^{2}\left|2-x\right|}$ ;

(5)

$y = \left|x-1\right| \sqrt[3]{x+2}$ ;

(6)

$y = \left|x^{2}-1\right| e^{\left|x\right|}$ ;

(7)

$y = \left|x^{2}-4\right| e^{-\left|x\right|}$ ;

(8)

$y = e^{-\left|x-1\right|} /(x+1)$ .

Задача 1.20.24

(1)(2)(3)

Найти максимумы и минимумы функции.

?

(1)

$y = \sin (x+1)-\left|\cos x\right|, x \in (0 ; \pi )$ ;

(2)

$y = \sin \left|x-3\right|+\cos x, x \in (0 ; \pi )$ ;

(3)

$y = \frac{1+\left|\cos x\right|}{2+\cos x+\sqrt{3} \sin x}, x \in (0 ; \pi )$ .

Задача 1.20.25

(1)(2)(3)

Найти максимумы и минимумы функции.

?

(1)

$y(x) = \begin{cases} x, & x \leqslant 0, \\ x \ln x, & x > 0 ;\end{cases} \quad$

(2)

$y(x) = \begin{cases} 1+x, & x \leqslant 0, \\ (x)^{x^{3}}, & x > 0 ;\end{cases}$

(3)

$y(x) = \begin{cases} 1+x, & x \leqslant 0 \\ x^{x^{2} \ln x}, & x > 0\end{cases}$

Задача 1.20.26

(1)(2)(3)(4)

Исследовать на экстремум функцию:

?

(1)

$y = (x+1)^{n} e^{-x}, n \in \mathbb {N}$ ;

(2)

$y = \left(1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\ldots +\frac{x^{n}}{n !}\right) e^{-x}, n \in \mathbb {N}$ ;

(3)

$y = x^{k}(1-x)^{n}, k, n \in \mathbb {N}$ ;

(4)

$y = a e^{p x}+b e^{-p x}$ , $a, b, p \in \mathbb {R}$ .

Задача 1.20.27

Исследовать на экстремум в точке $x = a$ функцию

y = (x-a)^{n} \varphi (x), \quad n \in \mathbb {N}

$\varphi (x)$ непрерывна в точке $x = a$ и $\varphi (a) \neq 0$ .

?

Задача 1.20.28

(1)(2)(3)(4)

Исследовать на экстремум функцию $y = f(x)$ , заданную неявно уравнением:

?

(1)

$x^{3}+y^{3} = 3 x^{2}$ ;

(2)

$x+y = x y(y-x),\left|y\right| < \left|x\right|$ ;

(3)

$x^{4}-y^{4} = x^{2}-2 y^{2}, y > \left|x\right|$ ;

(4)

$\left(x^{2}-y^{2}\right)(x-y) = 1, y > \left|x\right|$ .

Задача 1.20.29

(1)(2)

Исследовать на экстремум функцию $y = f(x)$ , заданную параметрически уравнениями:

?

(1)

$x = \frac{1}{t(t+1)}, y = \frac{(t+1)^{2}}{t}, t > 0$ ;

(2)

$x = \ln \sin \frac{t}{2}, y = \ln \sin t$ .

Задача 1.20.30

Доказать, что если в точке минимума существует правая производная, то она неотрицательна, а если существует левая производная, то она неположительна.

?

Задача 1.20.31

Пусть функция $f(x)$ определена на интервале $(a ; b)$ и непрерывна в точке $x_{0} \in (a ; b)$ . Доказать, что если $f(x)$ возрастает на интервале $(a ; x_{0})$ и убывает на интервале $\left(x_{0} ; b\right)$ , то $x_{0}$ является точкой максимума; если же $f(x)$ убывает на интервале $(a ; x_{0})$ и возрастает на интервале $\left(x_{0} ; b\right)$ , то $x_{0}$ — точка минимума.

?

Задача 1.20.32

Доказать, что функция

y(x) = \begin{cases} x^{2} \sin ^{2}(1 / x), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0\end{cases}

в точке $x = 0$ имеет нестрогий минимум.

?

Задача 1.20.33

Доказать, что функция

y(x) = \begin{cases} x^{2}(2+\cos (1 / x)), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0\end{cases}

имеет строгий минимум в точке $x = 0$ , но ни в каком интервале $(-\delta ; 0), \delta > 0$ , не является убывающей и ни в каком интервале $(0 ; \delta )$ , $\delta > 0$ , не является возрастающей.

?

Задача 1.20.34

(1)(2)(3)

Пусть

$f(x) = \begin{cases} \left|x\right|\left(2+\cos \frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x = 0,\end{cases} \quad g(x) = \begin{cases} e^{-1 /\left|x\right|}\left(\frac{6}{5}+\cos \frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x = 0.\end{cases}$

Доказать:

?

(1)

$f^{\prime }(0)$ не существует, $g^{(n)}(0) = 0, n \in \mathbb {N}$ ;

(2)

$f(x)$ и $g(x)$ в точке $x = 0$ имеют строгий минимум;

(3)

$f(x)$ и $g(x)$ ни в каком интервале $(-\delta ; 0), \delta > 0$ , не являются убывающими и ни в каком интервале $(0 ; \delta ), \delta > 0$ , не являются возрастающими.

Задача 1.20.35

(1)(2)

Пусть

f(x) = \begin{cases} e^{-1 / x^{2}}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases} \quad g(x) = \begin{cases} x e^{-1 / x^{2}}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0\end{cases}

Доказать:

?

(1)

$f^{(n)}(0) = g^{(n)}(0) = 0$

(2)

$f(x)$ в точке $x = 0$ имеет строгий минимум, $g(x)$ в точке $x = 0$ не имеет экстремума.

Задача 1.20.36

Пусть $f(x)$ — четная, дважды непрерывно дифференцируемая функция, причем $f^{\prime \prime }(0) \neq 0$ . Доказать, что точка $x = 0$ является точкой экстремума этой функции.

?

Задача 1.20.37

Найти наибольшее и наименьшее значения функции.

?

(1)

$y = x^{3}-6 x^{2}+9, x \in [-1; 2]$ ;

(2)

$y = \frac{1}{2} x^{3}-9 x^{2}+48 x, x \in [0 ; 9]$

(3)

$y = 2 x^{3}+3 x^{2}-120 x+100, x \in (-4 ; 5]$ ;

(4)

$y = x^{4}-8 x^{2}+3, x \in [-1 ; 2]$ ;

(5)

$y = x^{5}-5 x^{4}+5 x^{3}+1, x \in [-1 ; 2]$ .

Задача 1.20.38

(1)(2)(3)(4)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции.

?

(1)

$y = \frac{9}{x}+\frac{25}{1-x}, x \in (0 ; 1)$ ;

(2)

$y = \frac{1-x+x^{2}}{1+x-x^{2}}, x \in [0 ; 1]$ ;

(3)

$y = \frac{x^{2}+1}{x^{2}+x+1}, x \in \mathbb {R}$ ;

(4)

$y = \frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}, x \in [-1 ; 1]$ .

Задача 1.20.39

Найти наибольшее и наименьшее значения функции.

?

(1)

$y = x-2 \sqrt{x}, x \in [0 ; 5]$ ;

(2)

$y = x-2 \ln x, x \in [3 / 2 ; e]$ ;

(3)

$y = x \ln (x / 5), x \in [1 ; 5]$ ;

(4)

$y = \left|x^{2}+2 x-3\right|+1,5 \cdot \ln x, x \in [1 / 2 ; 2]$ ;

(5)

$y = (x-3) e^{\left|x+1\right|}, x \in [-2 ; 4]$ ;

(6)

$y = x^{x}, x \in (0 ; 1]$ .

Задача 1.20.40

(1)(2)(3)(4)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции.

?

(1)

$y = 2 \sin x+\sin 2 x, x \in [0 ; 3 \pi / 2]$ ;

(2)

$y = \cos^{2} x+\cos^{2}(\pi / 3+x)-\cos x \cos (\pi / 3+x), x \in \mathbb {R}$ ;

(3)

$y = 4 x+9 \pi^{2} / x+\sin x, x \in [\pi ; 2 \pi ]$

(4)

$y = 2 \operatorname {arctg} x+\arcsin \frac{2 x}{x^{2}+1}, x \in \mathbb {R}$ .

Задача 1.20.41

Найти экстремумы функции $y = f(x)$ на интервале $(a ; b)$ , а также ее наименьшее значение $m$ и наибольшее значение $M$ на отрезке $[a ; b]$ .

?

(1)

$y = (x-3)^{2} e^{\left|x\right|}, a = -1, b = 4$ ;

(2)

$y = (x-3)^{3} e^{\left|x+1\right|}, a = -2, b = 4$ ;

(3)

$y = e^{\sqrt{x^{2}\left|x+1\right|}}, a = -2, b = 1$ ;

(4)

$y = \ln \left(1+\sqrt{\left|x\right|(x+1)^{2}}\right), a = -2, b = 1$ ;

(5)

$y = \operatorname {arctg} \sqrt{\left|x\right|(x-1)^{2}}, a = -1, b = 2$ ;

(6)

$y = \operatorname {arcctg} \sqrt{x^{2}\left|1-x\right|}, a = -1, b = 2$ .

Задача 1.20.42

(1)(2)(3)

Найти экстремумы функции $y = f(x)$ на интервале $(a ; b)$ , а также ее наименьшее значение $m$ и наибольшее значение $M$ на отрезке $[a ; b]$ .

?

(1)

$y(x) = \begin{cases} -x^{2}, & x \leqslant 0, \\ 2 e x \ln x, & x > 0,\end{cases} \quad a = -1, \quad b = 2$ ;

(2)

$y = \begin{cases} 1+3 x, & x \leqslant 0, \\ (x)^{x^{2}}, & x > 0,\end{cases} \quad a = -1, \quad b = 2$

(3)

$y = \mathbb {E}\left[x\right] / x+x / 3, a = 1, b = 3$ .

Задача 1.20.43

(1)(2)(3)

Найти экстремумы функции $y = f(x)$ на интервале $(a ; b)$ , а также ее наименьшее значение $m$ и наибольшее значение $M$ на отрезке $[a ; b]$ .

?

(1)

$y = \cos (x+\pi / 3 \operatorname {sign} x)+\sin (x+\pi / 6), a = -\pi , b = \pi$ ;

(2)

$y = \sin (x-\pi / 4)-\cos (x-(3 \pi / 4) \operatorname {sign} x), a = -\pi , b = \pi$ ;

(3)

$y = \sin (x-\pi / 3)-\cos (x-(2 \pi / 3) \operatorname {sign} x), a = -\pi , b = \pi$ .

Задача 1.20.44

Найти номер $n$ наибольшего члена последовательности:

?

(1)

$\left\{ 105 n+3 n^{2}-n^{3}\right\}$ ;

(2)

$\left\{ \frac{\sqrt{n}}{n+1985}\right\}$ ;

(3)

$\left\{ \frac{\sqrt[3]{n}}{n+19}\right\}$ ;

(4)

$\left\{ \frac{n^{2}}{n^{3}+200}\right\}$ ;

(5)

$\left\{ \frac{n^{12}}{e^{n}}\right\}$ ;

(6)

$\left\{ \frac{n^{10}}{2^{n}}\right\}$ .

Задача 1.20.45

(1)(2)(3)(4)

Найти $\inf f$ и $\sup f$ .

?

(1)

$f = 1 / x+x^{2}, x \in (0 ; 1]$ ;

(2)

$f = \ln x-x, x \in (0 ;+\infty )$ ;

(3)

$f = 2 \operatorname {tg} x-\operatorname {tg}^{2} x, x \in (-\pi / 2 ; \pi / 2)$ ;

(4)

$f = \operatorname {tg} x-3 x, x \in [-\pi / 4 ; \pi / 2)$ .

Задача 1.20.46

(1)(2)(3)(4)

Найти $\inf f$ и $\sup f$ .

?

(1)

$f = \left(x^{2}+4\right) e^{-x}, x \in (0 ;+\infty )$ ;

(2)

$f = e^{-x^{2}} \cos x^{2}, x \in \mathbb {R}$ ;

(3)

$f = (1 / x) e^{-1 / x}, x \in (0 ;+\infty )$ ;

(4)

$f = x^{x}, x \in (0 ; 1 / 2]$ .

Задача 1.20.47

(1)(2)(3)(4)

Найти $\inf f$ и $\sup f$ .

?

(1)

$f = x+\left(\frac{2}{x-2}\right)^{2}, x \in \left(\frac{3}{2} ; 5\right)$ ;

(2)

$f = (x+1)\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^{2}, x \in \left(\frac{3}{2}; 6\right)$ ;

(3)

$f = \frac{\sqrt{1+\left|x-2\right|}}{1+\left|x\right|}, x \in \mathbb {R}$ ;

(4)

$f = \frac{x^{2}+1}{x^{2}+3}, x \in (a ;+\infty ), a \in \mathbb {R}$ .

Задача 1.20.48

Найти интервалы выпуклости функции:

?

(1)

$f = x^{\alpha }, \alpha > 1, x > 0$

(2)

$f = x^{\alpha }, 0 < \alpha < 1, x > 0$

(3)

$f = e^{x}$

(4)

$f = \ln x$

(5)

$f = x \ln x$

(6)

$f = \operatorname {arctg} x$ .

Задача 1.20.49

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции.

?

(1)

$f = 2 x^{4}-3 x^{2}+x-1$ ;

(2)

$f = x^{5}-10 x^{2}+3 x$ ;

(3)

$f = \frac{1}{1-x^{2}}$ ;

(4)

$f = \frac{x^{3}}{12+x^{2}}$

(5)

$f = \sqrt[3]{x+3}$

(6)

$f = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$

(7)

$f = \sqrt[3]{4 x^{3}-12 x}$

(8)

$f = x / \sqrt[3]{x^{2}-1}$ .

Задача 1.20.50

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции.

?

(1)

$f = \cos x$ ;

(2)

$f = x+\sin x$

(3)

$f = e^{-x^{2}}$

(4)

$f = e^{1 / x}$

(5)

$f = \frac{10}{x} \ln \frac{x}{10}$

(6)

$f = x \sin \ln x$

(7)

$f = \operatorname {arctg} \frac{1}{x}$ ;

(8)

$f = e^{\operatorname {arctg} x}$

Задача 1.20.51

(1)(2)(3)(4)

Найти точки перегиба функции.

?

(1)

$f = x^{4}-6 x^{2}+5 x$ ;

(2)

$f = x^{4}-12 x^{3}+48 x^{2}$ ;

(3)

$f = 2 x^{4}+2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+1$

(4)

$f = \left(x^{2}-1\right)^{3}$

Задача 1.20.52

Найти точки перегиба функции.

?

(1)

$f = 4 x^{2}+1 / x ; 2$

(2)

$f = x^{2} /(x-1)^{3}$ ;

(3)

$f = \sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt[3]{x^{2}-4}$ ;

(4)

$f = \sqrt[3]{(1-x)(x-2)^{2}}$ ;

(5)

$f = \left|x-1\right| / x^{2}$ .

Задача 1.20.53

Найти точки перегиба функции.

?

(1)

$f = \left(x^{2}+1\right) e^{x}$ ;

(2)

$f = x^{3} e^{-4 x}$ ;

(3)

$f = x^{2} \ln x$ ;

(4)

$f = \ln x / \sqrt{x}$ ;

(5)

$f = e^{\cos x}$ .

Задача 1.20.54

Найти точки перегиба графика функций.

?

(1)

$f = 36 x(x-1)^{3}$ ;

(2)

$f = x+36 x^{2}-2 x^{3}-x^{4}$

(3)

$f = 1+x^{2}-x^{4} / 2$ ;

(4)

$f = x^{5} / 20-x^{4}+8 x^{3}-32 x^{2}$ ;

(5)

$f = \left(2 x^{2}-x-4\right) /\left(x^{2}-4 x+4\right)$ ;

(6)

$f = x^{4} /(x+1)^{3}$ .

Задача 1.20.55

(1)(2)(3)(4)

Найти точки перегиба графика функций.

?

(1)

$f = \sqrt[3]{1-x^{3}}$ ;

(2)

$f = \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x+1}$ ;

(3)

$f = 5+\sqrt[3]{(x-5)^{5}}$ ;

(4)

$f = \sqrt{\left(8-x^{3}\right) /(3 x)}$ .

Задача 1.20.56

(1)(2)(3)(4)

Найти точки перегиба графика функций.

?

(1)

$f = e^{2 x-x^{2}}$ ;

(2)

$f = x e^{-(x / 2)^{2}}$ ;

(3)

$f = 2 x^{2}+\ln x$ ;

(4)

$f = e^{-2 x} \sin^{2} x$ .

Задача 1.20.57

(1)(2)

Найти точки перегиба функции $f$ :

?

(1)

$f = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi }} e^{-x^{2} / 2 \sigma^{2}}, \sigma > 0$ ;

(2)

$f = \frac{a x}{x^{2}+b^{2}}, a \neq 0, b \neq 0$ .

Задача 1.20.58

(1)(2)

Исследовать на точки перегиба многочлены:

?

(1)

$P_{3}(x) = a x^{3}+b x^{2}+c x+d, a \neq 0$

(2)

$P_{4}(x) = a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e, a \neq 0$ .

Задача 1.20.59

При каких значениях параметра $a$ функция $f = e^{x}+a x^{3}$ имеет точки перегиба?

?

Задача 1.20.60

Доказать, что график функции $y(x) = (x+1) /\left(x^{2}+1\right)$ имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой.

?

Задача 1.20.61

Доказать, что точки перегиба графика функций $y(x) = x \sin x$ лежат на кривой $y^{2}\left(4+x^{2}\right) = 4 x^{2}$ .

?

Задача 1.20.62

(1)(2)(3)

Пусть $f(x) = \begin{cases} x^{3}\left(2+\cos \left(1 / x^{2}\right)\right), & x \neq 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases}$

Доказать, что:

?

(1)

график функции $f(x)$ в точке $(0 ; 0)$ имеет касательную;

(2)

график функции $f(x)$ переходит с одной стороны касательной к нему в точке $(0,0)$ на другую ее сторону;

(3)

точка $(0 ; 0)$ не является точкой перегиба графика функции $f(x)$ .

Задача 1.20.63

(1)(2)

?

(1)

Может ли точка перегиба функции быть ее точкой экстремума?

(2)

Может ли всюду выпуклая вниз (вверх) функция иметь более одного экстремума?

Задача 1.20.64

(1)(2)

Доказать, что у любой дважды дифференцируемой функции:

?

(1)

между двумя точками экстремума лежит хотя бы одна точка перегиба;

(2)

между точками перегиба функции может и не быть точек экстремума.

Задача 1.20.65

(1)(2)

Доказать, что:

?

(1)

каждый многочлен нечетной степени $n > 1$ имеет хотя бы одну точку перегиба;

(2)

каждый многочлен четной степени с положительными коэффициентами не имеет точек перегиба.

Задача 1.20.66

Пусть $f(x)$ — непрерывно дифференцируемая на интервале $(a ; b)$ функция, и пусть для любых точек $x_{1}, x_{2}$ этого интервала существует единственная точка $c$ такая, что

\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}} = f^{\prime }(c)

Доказать, что $f(x)$ не имеет точек перегиба.

?

Задача 1.20.67

(1)(2)(3)(4)

Найти точки перегиба графика функции $y = f(x)$ , заданной параметрически уравнениями:

?

(1)

$x = t e^{t}, y = t e^{-t}, t > 0$

(2)

$x = \frac{t^{2}}{t-1}, y = \frac{t^{3}}{t-1}, t > 2 ;$

(3)

$x = \frac{2 t^{2}+2}{t}, y = \frac{t^{3}+3 t+1}{t^{2}}, 0 < t < 1$ ;

(4)

$x = \frac{t^{2}-2 t-5}{t^{2}+10 t+25}, y = \frac{t^{2}-4 t+5}{t^{2}+4 t-5}, t > 1$ .

Задача 1.20.68

Доказать, что если функции $f(x)$ и $g(x)$ удовлетворяют условинм $f^{(k)}\left(x_{0}\right) = g^{(k)}\left(x_{0}\right)(k = 0,1, \ldots , n-1)$ и $f^{(n)}(x) > g^{(n)}(x), x > x_{0}$ , то $f(x) > g(x)$ при $x > x_{0}$ .

?

Задача 1.20.69

Доказать неравенство.

?

(1)

$e^{x} \geqslant e x, x \in \mathbb {R}$ ;

(2)

$x-x^{2} / 2 < \ln (1+x) < x, x > 0$ ;

(3)

$\ln (1+x) > x /(x+1), x > 0$ ;

(4)

$1-2 \ln x \leqslant 1 / x^{2}, x > 0$ ;

(5)

$e^{x} > 1+\ln (1+x), x > 0$ ;

(6)

$\ln x /(x-1) \leqslant 1 / \sqrt{x}, x > 0, x \neq 1$ .

Задача 1.20.70

Доказать неравенство.

?

(1)

$\cos x \geqslant 1-x^{2} / 2, x \in \mathbb {R}$ ;

(2)

$\operatorname {ch} x \geqslant 1+x^{2} / 2, x \in \mathbb {R}$ ;

(3)

$\operatorname {tg} x > x+x^{3} / 3,0 < x < \pi / 2$ ;

(4)

$\operatorname {arctg} x \leqslant x, x \geqslant 0$ ;

(5)

$\sin x \geqslant 2 x / \pi , 0 \leqslant x \leqslant \pi / 2$

(6)

$x-x^{3} / 6 < \sin x < x-x^{3} / 6+x^{5} / 120, x \in \mathbb {R}$ ;

(7)

$\sin x+\operatorname {tg} x > 2 x, 0 < x < \pi / 2$ ;

(8)

$x-x^{3} / 3 < \operatorname {arctg} x < x-x^{3} / 6,0 < x \leqslant 1$

(9)

$(\sin x / x)^{3} \geqslant \cos x, 0 < \left|x\right| \leqslant \pi / 2$ .

Задача 1.20.71

Доказать неравенство.

?

(1)

$\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{y} \leqslant \sqrt[n]{x-y}, x \geqslant y \geqslant 0$ ;

(2)

$\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n} \leqslant \frac{x^{n}+y^{n}}{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, n \in \mathbb {N}$ ;

(3)

$\left(x^{\alpha }+y^{\alpha }\right)^{1 / \alpha } > \left(x^{\beta }+y^{\beta }\right)^{1 / \beta }, x > 0, y > 0,0 < \alpha < \beta$ ;

(4)

$\frac{x-y}{x} < \ln \frac{x}{y} < \frac{x-y}{y}, x > y > 0$ ;

(5)

$\frac{x \ln x+y \ln y}{x+y} > \ln \frac{x+y}{2}, x > 0, y > 0$ .

Задача 1.20.72

Доказать неравенство $x^{\alpha }-1 \leqslant \alpha (x-1), \quad x > 0, \quad 0 < \alpha < 1$ .

?

Задача 1.20.73

Доказать неравенство Юнга: если $a > 0, b > 0, p > 1$ и $1 / p + 1 / q = 1$ , то

a^{1 / p} b^{1 / q} \leqslant a / p+b / q

причем знак равенства имеет место только при $a = b$ .

?

Задача 1.20.74

Доказать неравенство Гёльдера: если $x_{i} \geqslant 0, y_{i} \geqslant 0(i = 1,2, \ldots , n), p > 1$ и $1 / p+1 / q = 1$ , то

\sum _{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} \leqslant \left(\sum _{i = 1}^{n} x_{i}^{p}\right)^{1 / p}\left(\sum _{i = 1}^{n} y_{i}^{q}\right)^{1 / q}.

?

Задача 1.20.75

Доказать неравенство Минковского: если $x_{i} \geqslant 0, y_{i} \geqslant 0$ $(i = 1,2, \ldots , n), p > 1$ , то

\left(\sum _{i = 1}^{n}\left(x_{i}+y_{i}\right)^{p}\right)^{1 / p} \leqslant \left(\sum _{i = 1}^{n} x_{i}^{p}\right)^{1 / p}+\left(\sum _{i = 1}^{n} y_{i}^{p}\right)^{1 / p}.

?

Задача 1.20.76

Пусть функция $f(x)$ определена на отрезке $[-2 ; 2]$ и не имеет бесконечного числа нулей. Пусть существует $f^{\prime \prime }(x)$ на этом отрезке, $f^{\prime \prime }(x) = x^{2} f(x), f^{\prime }(0) = 0, f(0) > 0$ . Доказать, что при всех $x \in [-2 ; 2]$ справедливо неравенство $f(x) > 0$ .

?

Задача 1.20.77

Пусть на отрезке $[a ; b]$ задана дважды дифференцируемая функция $f(x)$ , не имеющая бесконечного числа нулей, такая, что $f^{\prime \prime }(x) = e^{x} f(x), f(b) = 0$ . Доказать, что $f(x) \neq 0$ при $x \neq b$ .

?

Задача 1.20.78

Пусть на отрезке $[a ; b]$ задана дважды дифференцируемая функция $f(x)$ , имеющая бесконечное число нулей, такая, что $f(x) \not\equiv 0$ на отрезке $[a ; b]$ . Доказать, что на этом отрезке существует общий нуль функций $f(x), f^{\prime }(x), f^{\prime \prime }(x)$ .

?

Задача 1.20.79

Пусть на отрезке $[a ; b]$ задана дважды дифференцируеман функция $f(x)$ , не имеющая бесконечного числа нулей, такая, что $f^{\prime \prime }(x) = 2^{x} f(x)$ . Доказать, что функция $f(x)$ не может иметь на отрезке $[a ; b]$ более одного нуля.

?

Исследование функций