Вектор-функции. Кривые

Построить годограф вектор-функции $(-\infty < t < +\infty )$ :

Доказать, что годограф вектор-функции

лежит на сфере.

Доказать, что годограф вектор-функции

лежит в некоторой плоскости, и найти уравнение этой плоскости.

Доказать, что если $\lim_{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{r}(t) = \mathbf{a}$, то $\lim_{t \rightarrow t_{0}}\left|\mathbf{r}(t)\right| = \left|\mathbf{a}\right|$. Верно ли обратное утверждение?

Доказать, что вектор-функция $\mathbf{r}(t) = t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}$ является бесконечно малой при $t \rightarrow 0$.

Найти предел вектор-функции:

Доказать, что для того, чтобы вектор-функция $\mathbf{r}(t)$ имела при $t \rightarrow t_{0}$ предел, равный а, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде

где $\alpha (t)$ — бесконечно малая при $t \rightarrow t_{0}$ вектор-функция.

Доказать, что если $\lim_{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{r}(t) = \mathbf{a}$ и $\lim_{t \rightarrow t_{0}} f(t) = \lambda$, то

то:

Доказать, что если $\lim_{t \rightarrow t_{0}} r_{1}(t) = \mathbf{a}, \lim_{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{r}_{2}(t) = \mathbf{b}$ и $\lim_{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{r}_{3}(t) = \mathbf{c}$,

Доказать, что если скалярные функции $\lambda_{1}(t), \lambda_{2}(t)$ и векторфункции $\mathbf{r}_{1}(t), \mathbf{r}_{2}(t), \mathbf{r}_{3}(t)$ непрерывны в точке $t_{0}$, то в этой точке непрерывны и функции:

Найти производную вектор-функции $\mathbf{r}(t)$ и написать уравнение касательной в произвольной точке ее годографа, если:

Найти производную функций:

Доказать, что если длина векторов $\mathbf{r}(t)$ постоянна в окрестности точки $t_{0}$ и существует производная $\mathbf{r}^{\prime }\left(t_{0}\right)$, то векторы $\mathbf{r}\left(t_{0}\right)$ и $\mathbf{r}^{\prime }\left(t_{0}\right)$ ортогональны. Каков механический смысл этого факта?

Доказать, что для того, чтобы во всех точках некоторого интервала векторы $\mathbf{r}(t)$ и $\mathbf{r}^{\prime }(t)$ были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы скалярная функция $\left|\mathbf{r}(t)\right|$ была постоянной на этом интервале.

Доказать, что для того, чтобы дифференцируемая и не обращающаяся в нуль на интервале $(a ; b)$ вектор-функция $\mathbf{r}(t)$ имела постоянное направление (т. е. чтобы при любом $t \in (a ; b)$ вектор $\mathbf{r}(t)$ был коллинеарен, например, с вектором $\mathbf{r}((a+b) / 2)$), необходимо и достаточно, чтобы векторы $\mathbf{r}(t)$ и $\mathbf{r}^{\prime }(t)$ были коллинеарны.

Пусть вектор-функция $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$ имеет в точке $t_{0}$ производную. Будет ли дифференцируема в этой точке функция $\left|\mathbf{r}(t)\right|$? Верны ли в этой точке равенства $\left|\mathbf{r}^{\prime }\right| = |\mathbf{r}|^{\prime }$ и $\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime }\right) = \left|\mathbf{r}\right||\mathbf{r}|^{\prime }$?

Доказать, что если

где $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ — непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов, а $x, y, z$ — непрерывно дифференцируемые функции от $t$, то

Построить годографы вектор-функции и ее производной.

Пользуясь определением производной вектор-функции, доказать формулы:

Доказать, что если $\mathbf{r} = \mathbf{a} \cos \omega t+\mathbf{b} \sin \omega t$, где $\omega$, $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ — постоянные, то:

Доказать, что если $\mathbf{r} = \mathbf{a} e^{\omega t}+\mathbf{b} e^{-\omega t}$, где $\omega$, $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ — постоянные, то

Доказать, что если вектор-функция $\mathbf{r}(t)$ дифференцируема в точке $t_{0}$, то она и непрерывна в ней.

Пусть вектор-функция $\mathbf{r}(t)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $\mathbf{r}^{\prime \prime } = \left[\mathbf{r}^{\prime }, \mathbf{a}\right]$, где $\mathbf{a}$ — постоннный вектор. Выразить через а и $\mathbf{r}^{\prime }:$

Пусть для дважды дифференцируемой на отрезке $[a ; b]$ векторфункции $\mathbf{r}(t)$ во всех точках этого отрезка выполняются условия

Доказать, что тогда годограф вектор-функции $\mathbf{r}(t)$ лежит на некоторой плоскости.

Доказать, что если у дважды дифференцируемой на отрезке $[a ; b]$ вектор-функции $r(t)$ во всех точках этого отрезка векторы $\mathbf{r}^{\prime }(t)$ и $\mathbf{r}^{\prime \prime }(t)$ отличны от нуля и коллинеарны, то годограф векторфункции $\mathbf{r}(t)$ является отрезком прямой.

Доказать, что годографом вектор-функции $\mathbf{r}(t) = \mathbf{a}+t \mathbf{b}+t^{2} \mathbf{c}$, $t \in \mathbb {R}$, где $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$ — постоянные векторы, причем векторы $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$ не коллинеарны, является парабола. Что будет представлять собой годограф, если векторы b и с коллинеарны?

Доказать, что годограф вектор-функции $\mathbf{r}(t) = \mathbf{a}+\cos t \mathbf{b} + \sin t \mathbf{c}, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$, где $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$ — постоянные векторы, причем векторы $\mathbf{b}$ и с не коллинеарны, является эллипсом.

Доказать, что траектория материальной точки, движущейся под действием центральной силы, является плоской.

Траектория движения точки задана в цилиндрических координатах:

где $t$ — время, $\rho (t), \varphi (t), z(t)$ — известные функции. Найти:

Траектория движущейся точки задана в сферических координатах:

где $t$ — время, $\rho (t), \varphi (t), \theta (t)$ — известные функции. Найти величину мгновенной скорости.

Пусть $m$ — масса точки, $\mathbf{F} = \mathbf{F}(t)$ — действующая на нее сила, $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$ — закон движения точки, $\mathbf{a} = \mathbf{a}(t)$ — ее ускорение, $W = W(t)$ — кинетическая энергия ($t$ — время, $m$ — постоянная). Из закона Ньютона $\mathbf{F} = m \mathbf{a}$ вывести формулу $d W = (\mathbf{F}, d \mathbf{r})$.

При условиях предыдущей задачи доказать формулу $d \mathbf{N} = \mathbf{M} d t$, где $\mathbf{N}$ — момент количества движения точки относительно произвольно выбранного начала координат $O, \mathbf{M}$ — момент силы $\mathbf{F}$ относительно точки $O$. (Количеством движения материальной точки называется вектор, равный произведению ее массы на скорость. Если какой-либо вектор $\mathbf{b}$ приложен к точке $P$, то моментом вектора $\mathbf{b}$ относительно точки $O$ называется вектор $[\overline{O P}, \mathbf{b}]$.)

Привести пример дифференцируемой вектор-функции $\mathbf{r}(t)$, $a \leqslant t \leqslant b$, для которой не существует такой точки $\xi \in [a ; b]$, что $\mathbf{r}(b) -\mathbf{r}(a) = \mathbf{r}^{\prime }(\xi )(b-a)$ (т. е. показать, что для вектор-функций в этом смысле неверен аналог формулы конечных приращений Лагранжа).

Доказать, что для того, чтобы дифференцируемая на интервале $(a ; b)$ вектор-функция $\mathbf{r}(t)$ была постоянной (т.е. $\mathbf{r}(t) = \mathbf{c}, a < t < b$, c — постоянный вектор), необходимо и достаточно, чтобы производная $\mathbf{r}^{\prime }(t)$ тождественно равнялась нулю на интервале $(a ; b)$.

Составить параметрическое уравнение развернутой окружности, т. е. траектории конца туго натянутой нити, сматывающейся с неподвижной круглой плоской катушки.

Прямая $O L$, не перпендикулярная оси $O z$, равномерно вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью $\omega$. Точка $M$ движется по прямой $O L$ :

Доказать, что уравнения и

являются параметризациями одной и той же кривой.

Доказать, что уравнения

и

являются параметризациями одной и той же кривой. Как точка движется по этой кривой, когда параметр $t$ растет от $-\infty$ до $+\infty$?

Показать, что кривая $x = e^{a t} \cos t, y = e^{a t} \sin t, \quad z = e^{a t}$ лежит на конусе $z^{2} = x^{2}+y^{2}$.

Показать, что кривая

$x = t /\left(1+t^{2}+t^{4}\right), \quad y = t^{2} /\left(1+t^{2}+t^{4}\right), \quad z = t^{3} /\left(1+t^{2}+t^{4}\right)$ является сферической кривой.

При каком условии на матрицу $\left(a_{i \jmath }\right)(i, j = 1,2,3)$ кривая

является плоской кривой?

Доказать, что проекция кривой Вивиани

на плоскость переменных $x$ и $z$ является дугой параболы.

Найти проекцию кривой $x = e^{t} \sin t, y = e^{t} \cos t, z = t,-\infty < t < +\infty$, на плоскость переменных $x$ и $y$.

Доказать, что проекция винтовой линии

на плоскость переменных $y$ и $z$ является синусоидой.

Доказать, что при переносе начала координат в точку $O_{1} = (0 ; 0 ; \beta b)$ и повороте осей абсцисс и ординат вокруг новой оси аппликат на угол $\beta$ представлению винтовой линии $x = a \cos t, y = a \sin t$, $z = b t$ можно придать вид $x_{1} = a \cos t_{1}, y_{1} = a \sin t_{1}, z_{1} = b t_{1}$. Это показывает, что винтовая линия способна скользить сама по себе.

Найти уравнение касательной к кривой:

Составить уравнение касательной к кривой

при $t = \pi / 2$. Какой угол образует эта касательная с осью $O z$?

Найти уравнение касательной прямой и нормальной плоскости кривой $x = t^{4}, y = t^{3}, z = t^{2}$ в произвольной ее точке.

Найти касательную к кривой Вивиани (см. задачу 42), параллельную плоскости $y = 0$.

В каких точках касательная к кривой $x = 3 t-t^{3}, y = 3 t^{2}, z = 3 t+t^{3}$ параллельна плоскости $3 x+y+z+2 = 0$?

Найти нормальную плоскость кривой $z = x^{2}+y^{2}, y = x$, перпендикулярную прямой $x = y = z$.

Найти касательную к кривой $x^{2}+y^{2} = 10, y^{2}+z^{2} = 25$ в точне $(1 ; 3 ; 4)$.

Найти косинусы углов с осями координат у касательных к кривой $x^{2} = 2 a z, y^{2} = 2 b z$.

К кривой $y^{2} = 2 p x, z^{2} = 2 q x$ проведена касательная в точке, в которой $x = (p+q) / 2$. Найти длину отрезка этой касательной от точки касания до плоскости $x = 0$.

Доказать, что нормальные плоскости кривой $x = a \cos t, y = a \sin \alpha \sin t, z = a \cos \alpha \sin t$ проходят через прямую $x = 0, z + y \operatorname {tg} \alpha = 0$.

Доказать, что касательные к кривой $x^{2} = 3 y, 2 x y = 9 z$ образуют постоянный угол с некоторым определенным направлением.

Координаты точек некоторой кривой удовлетворяют соотношению

Доказать, что касательные к этой кривой касаются шара $x^{2}+y^{2} + z^{2} = a^{2}$.

Доказать, что касательные к кривой

пересекают плоскость переменных $x$ и $y$ по окружности $x^{2}+y^{2} = 4 a^{2}$.

Написать уравнение касательной и нормальной плоскости кривой $x = t, y = t^{2}, z = t^{3}$ в точке $(1 ; 1 ; 1)$. Какая кривая получится в пересечении касательных с плоскостью переменных $x, y$?

Найти уравнение нормальной плоскости в произвольной точке кривой $x^{2}+y^{2} = 1, y^{2}+z^{2} = 1(y \neq \pm 1)$.

Доказать, что все нормальнье плоскости кривой Вивиани $x = a \sin^{2} t, y = a \sin t \cos t, z = a \cos t$ проходят через начало координат.

Доказать, что если все нормальные плоскости пространственной кривой проходят через фиксированную точку, то кривая является сферической.

Доказать, что кривая $x = e^{t} \cos t, y = e^{t} \sin t, z = e^{t}$ пересекает все образующие конуса $x^{2}+y^{2} = z^{2}$ под одним и тем же углом.

Доказать, что кривые пересечения цилиндров $y^{2}+z^{2} = b^{2}$ с поверхностью $x y = a z$ пересекают все образующие этой поверхности, принадлежащие одной системе, под прямым углом.

Доказать, что кривая $x = a \operatorname {tg} t, y = b \cos t, z = b \sin t$ лежит на поверхности параболоида и пересекает все его образующие одной системы под прямым углом.

Рис. 24.8

Кривая, называемая локсодромией, определяется уравнением

где $\theta$ — широта, а $\varphi$ — долгота точки на шаре. Доказать, что она пересекает меридианы шара под углом $\alpha$, тангенс которого равен $a$.

Сформулируем определение стереографической проекции плоскости на касающуюся ее сферу. Пусть в пространстве $\mathbb {R}^{3}$ фиксирована декартова прямоугольная система координат $x, y, z$ и задан шар радиуса $a / 2$ с центром в точке $B = (0 ; 0 ; a / 2)$, касающийся плоскости переменных $x$ и $y$ (рис. 24.8). Его уравнение имеет вид

Соединим прямой верхнюю точку шара, т. е. точку $A = (0 ; 0 ; a)$, с произвольно фиксированной точкой $M = (x ; y ; 0)$ плоскости переменных $x$ и $y$. Тогда точка $M_{1} = \left(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}\right)$, в которой эта прямая пересечет сферу (53), называется стереографической проекцией точки $M$ на сферу (53), а точка $M$ — стереографической проекцией точки сферы $M_{1}$ на рассматриваемую плоскость. Стереографическая проекция устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и сферы с выколотой точкой $A$. Координаты точек $M$ и $M_{1}$ связаны соотношениями

Доказать, что стереографическая проекция дает конформное отображение, т. е. что кривые на плоскости пересекаются под тем же углом, что и их образы на сфере.

Доказать, что кривая $\rho = e^{\lambda \varphi }$, расположенная на плоскости переменных $x$ и $y$ так, что полярная ось совпадает с положительной частью оси $x$, при стереографической проекции (54) отображается на локсодромию.

Доказать, что окружности на шаре при стереографической проекции переходнт в окружности или прямые на плоскости.

Центральная проекция координатной плоскости переменных $x, y$ на полусферу $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2 a z, 0 \leqslant z < a$, состоит в следующем. Произвольно фиксированная точка $M = (x ; y ; 0)$ плоскости переменных $x$ и $y$ соединяется прямой с центром указанной полусферы, т. е. с точкой $A = (0 ; 0 ; a)$. Точка $M_{1}$, в которой эта прямая пересекает полусферу, принимается за изображение точки $M$ на полусфере.

Доказать, что эта проекция не является конформным отображением, т. е. она не сохраняет, вообще говоря, углы между кривыми.

Найти производную длины дуги по параметру для:

Пусть плоская кривая $\Gamma$ задана в полярных координатах уравнением $\rho = \rho (\varphi )$, где функция $\rho (\varphi )$ непрерывно дифференцируема на некотором отрезке $[a ; b]$. Доказать, что если $s = s(\varphi )$ есть длина дуги кривой $\Gamma$, отсчитываемая от ее начала, то

Найти производную длины дуги для следующей кривой, заданной в полярных координатах:

Доказать, что граница ограниченной выпуклой фигуры на плоскости является спрямляемой кривой.

Доказать, что при объединении кривых их длины складываются: если $\Gamma = \Gamma_{1} \cup \Gamma_{2}$, то $S_{\Gamma } = S_{\Gamma_{1}}+S_{\Gamma_{2}}$.

Найти кривизну и радиус кривизны в произвольной точке:

Найти кривизну и центр кривизны в произвольной точке:

Найти кривизну кривой в произвольной точке:

Найти эволюту кривой:

Найти кривизну в точке $M_{0}$ графика функции $y = y(x)$, заданной неявно уравнением $F(x, y) = 0$ :

Найти наибольшую кривизну кривой:

Доказать, что радиус кривизны параболы $x^{2} = 2 p y$ равен $R = p / \cos^{3} \alpha$, где $\alpha$ — угол наклона касательной к оси абсцисс.

Пусть $y = f(x)$ — дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке $[a ; b]$ функция и $\alpha = \alpha (x)$ — угол, образованный касательной к ее графику с осью $O x$ в точке $(x ; f(x))$. Доказать, что если $k(x)$ — кривизна графика в этой точке, то $k(x) = \left|d \alpha / d s\right|, a \leqslant x \leqslant b$ ($s$ — переменная длина дуги).

Пусть $\Gamma$ — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, лежащая на плоскости переменных $x, y$; $\alpha$ — угол наклона ее касательной в некоторой точке к оси $x ; k^{*} = d \alpha / d s$ ($s$ — переменная длина дуги); $R^{*} = 1 / k^{*} ;(\xi , \eta )$ — координаты центра кривизны в той же точке кривой $\Gamma$. Доказать, что