Ограниченные самосопряжённые операторы и их спектры

$T_{\lambda }: H \rightarrow T_{\lambda }(H)$ биективно;

$T_{\lambda }(H)$ плотно в $H$;

$T_{\lambda }(H)$ замкнуто в $H$.

Пусть $A \in \mathcal{B}(X)$, где $X$ — банахово пространство. Предположим, что существует $m > 0$ такой, что

Покажите, что образ $A$ замкнут в $X$.

Пусть $A \in \mathcal{B}(H)$ самосопряжён, где $H$ — гильбертово пространство. Пусть $\lambda \in \mathbb {C}$ такое, что $\operatorname {Im} \lambda \neq 0$. Докажите, что

Докажите, что $\lambda$ является регулярной точкой $A$.

Докажите, что

Докажите, что хотя бы одно из чисел $\left\| A\right\|$ или $-\left\| A\right\|$ является элементом $\sigma (A)$.

Существует система (конечная или бесконечная) ортонормированных собственных векторов $\left\{ e_{1}, e_{2}, \ldots \right\}$ оператора $T$ и соответствующих собственных значений $\left\{ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \right\}$ оператора $T$ таких, что $\left|\lambda_{1}\right| \geq \left|\lambda_{2}\right| \geq \ldots$. Если система бесконечна, то $\lambda_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$.

Упомянутые выше собственные векторы и собственные значения удовлетворяют следующему уравнению: