Банк задач по математике

Задача 15

Пусть $X$ — нормированное пространство. Докажите, что $X$ является банаховым пространством тогда и только тогда, когда ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ сходится, где $(a_{n})$ — произвольная последовательность в $X$ , удовлетворяющая условию $\sum_{n = 1}^{\infty }\left\| a_{n}\right\| < \infty$ .

?

Задача 16

Пусть $X$ — банахово пространство. Докажите, что замкнутый единичный шар $\overline{B(0 ; 1)} \subset X$ компактен тогда и только тогда, когда $X$ конечномерно.

?

Задача 17

Пусть $X$ — банахово пространство, а $M$ — замкнутое подпространство $X$ . Докажите, что фактор-пространство $X / M$ также является банаховым пространством относительно фактор-нормы.

?

Задача 18

Покажите, что $\ell^{p}, 1 \leq p < \infty$ , с нормой $\left\| .\right\|_{p}$ является банаховым пространством.

?

Задача 19

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что $\ell^{\infty }$ с нормой $\left\| .\right\|_{\infty }$ является банаховым пространством.

(b)

Пусть $c_{0}$ — пространство последовательностей, сходящихся к 0. Покажите, что $c_{0}$ является замкнутым подпространством $\ell^{\infty }$ .

Задача 20

(a)(b)

?

(a)

Пусть $c_{00}$ — пространство последовательностей таких, что если $x = \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb {N}} \in c_{00}$ , то $x_{n} = 0$ для всех $n \geq n_{0}$ , где $n_{0}$ — некоторое целое число. Покажите, что $c_{00}$ с нормой $\left\| .\right\|_{\infty }$ НЕ является банаховым пространством.

(b)

Чему равно замыкание $c_{00}$ в $\ell^{\infty }$ ?

Задача 21

(a)(b)

Докажите, что:

?

(a)

если $1 \leq p < q < \infty$ , то $\ell^{p} \subset \ell^{q}$ и $\left\| x\right\|_{q} \leq \left\| x\right\|_{p}$ .

(b)

если $x \in \bigcup_{1 \leq p < \infty } \ell^{p}$ , то $\left\| x\right\|_{p} \rightarrow \left\| x\right\|_{\infty }$ при $p \rightarrow \infty$ .

Задача 22

(a)(b)

Докажите, что:

?

(a)

если $1 \leq p < \infty$ , то $\ell^{p}$ сепарабельно.

(b)

$\ell^{\infty }$ не сепарабельно.

Задача 23

(a)(b)

Пусть $C[0,1]$ — пространство всех непрерывных функций на $[0,1]$ .

?

(a)

Докажите, что если $C[0,1]$ снабжено равномерной нормой

\left\| f\right\| = \max _{x \in [0,1]}\left|f(x)\right|, \quad f \in C[0,1]

то $C[0,1]$ является банаховым пространством.

(b)

Приведите пример, показывающий, что $C[0,1]$ с нормой $L^{1}$

\left\| f\right\| _{1} = \int _{0}^{1}\left|f(x)\right| d x, \quad f \in C[0,1]

не является банаховым пространством.

Банаховы пространства