Фундаментальные теоремы

Покажите, что $L^{2}[0,1]$ является подмножеством первой категории в $L^{1}[0,1]$.

Пусть $X \neq \left\{ 0\right\}$ — нормированное пространство, а $A \subset X$ не является нигде не плотным. Обозначим через $A^{\prime }$ производное множество $A$, то есть множество всех предельных точек $A$. Докажите, что

(Замечание: $\bar{A} = A \cup A^{\prime }$).

Пусть $X$ — банахово пространство и $A \subset X$ — плотное множество. Можно ли найти функцию $f: X \rightarrow \mathbb {R}$, такую что для каждого $x \in A$ имеем $\lim_{t \rightarrow x}\left|f(t)\right| = \infty$?

Покажите, что $\mathbb {Q}$ является подмножеством первой категории в $\mathbb {R}$.

Покажите, что множество кусочно-линейных функций на $\mathbb {R}$ является множеством первой категории.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $T \in \mathcal{B}(X, Y)$. Предположим, что $T$ биективен. Покажите, что существуют вещественные числа $a, b > 0$, такие что

Покажите, что график $T$ замкнут, но $T$ не ограничен. Противоречит ли это теореме о замкнутом графике?

(П.Р.О.) Пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом $\left\{ e_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$. Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в $H$. Докажите, что следующие два утверждения эквивалентны:

1. $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\langle x, x_{n} \right\rangle = 0, \quad \forall x \in H$.

2. $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\langle e_{m}, x_{n} \right\rangle = 0, \quad \forall m \in \mathbb {N}$ и $\left\{ \left\| x_{n}\right\| \right\}$ ограничено.

Пусть $H$ — гильбертово пространство и $T: H \rightarrow H$ — линейный оператор, являющийся симметричным, то есть

Докажите, что $T$ непрерывен.

Пусть $a = \left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right) = \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb {N}}$ — последовательность скаляров, такая что последовательность $\left(a_{n} x_{n}\right)_{n \in \mathbb {N}} \in c_{0}$ для всех последовательностей $x = \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb {N}} \in c_{0}$. Докажите, что $a \in \ell^{\infty }$.

(Аналогичная задача) Пусть $a = \left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right) = \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb {N}}$ — последовательность скаляров, такая что последовательность $\left(a_{n} x_{n}\right)_{n \in \mathbb {N}} \in c_{0}$ для всех последовательностей $x = \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb {N}} \in \ell^{\infty }$. Докажите, что $a \in c_{0}$.

(П.Р.О.) Пусть $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(x_{i}\right)_{i = 1}^{\infty }$ — последовательность скаляров, такая что ряд $\sum_{i = 1}^{\infty } x_{i} y_{i}$ сходится для всех $y = \left(y_{1}, y_{2}, \ldots \right) \in c_{0}$. Докажите, что $x \in \ell^{1}$.

(Очень похожая задача) Пусть $c = \left(c_{1}, c_{2}, \ldots \right) = \left(c_{i}\right)_{i = 1}^{\infty }$ — последовательность скаляров, такая что ряд $\sum_{i = 1}^{\infty } c_{i} a_{i}$ сходится для всех $a = \left(a_{1}, a_{2}, \ldots \right) \in \ell^{1}$. Докажите, что $x \in \ell^{\infty }$.

(Теорема о замкнутом графике) Пусть $X, Y$ и $Z$ — банаховы пространства. Предположим, что $T: X \rightarrow Y$ линеен, $J: Y \rightarrow Z$ линеен, ограничен и инъективен, и что $J T \equiv J \circ T: X \rightarrow Z$ ограничен. Покажите, что $T$ также ограничен.

Пусть $X$ — банахово пространство, а $E, F$ — два замкнутых подпространства $X$, такие что $X = E \oplus F$. Рассмотрим проекции на $E$ и на $F$, определённые по формулам

Используя теорему о замкнутом графике, покажите, что $P_{E} \in \mathcal{B}(X, E)$ и $P_{F} \in \mathcal{B}(X, F)$.

Пусть $\left(X,\left\| .\right\|_{1}\right)$ и $\left(X,\left\| .\right\|_{2}\right)$ — банаховы пространства. Предположим, что

Покажите, что две нормы $\left\| .\right\|_{1}$ и $\left\| .\right\|_{2}$ эквивалентны.