Банк задач по математике

Задача 97

Пусть $X$ — банахово пространство. Докажите, что если $T \in \mathcal{B}(X)$ произволен, а $A \in \mathcal{B}_0(X)$ , то $AT$ и $TA$ — компактные операторы. (Это называется свойством двустороннего идеала для компактных операторов).

?

Задача 98

(a)(b)

?

(a)

Пусть $X$ — банахово пространство. Покажите, что тождественный оператор $I: X \rightarrow X$ компактен тогда и только тогда, когда $X$ конечномерно.

(b)

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства и $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ . Предположим, что $A$ обладает свойством:

\exists c > 0:\left\| A x\right\| \geq c\left\| x\right\| , \forall x \in X,

Найдите условие(я) на $X$ , при которых $A$ может быть компактным оператором.

Задача 99

Пусть $H$ и $K$ — гильбертовы пространства и $A \in \mathcal{B}(H, K)$ . Покажите, что $A$ компактен тогда и только тогда, когда $A^{*} A$ компактен.

?

Задача 100

Пусть $X$ — это $c_{0}$ или $\ell^{p}, 1 \leq p \leq \infty$ . Рассмотрим оператор

U: X \rightarrow X, U(x) = U\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(0, x_{1}, 0, x_{3}, 0, x_{5}, \ldots \right).

Докажите, что $U$ не компактен, но $U^{2}$ компактен.

?

Задача 101

(a)(b)

Пусть $1 \leq p < \infty$ , и $\lambda = \left(\lambda_{n}\right)_{n \in \mathbb {N}} \subset \mathbb {K}$ с $\sup_{n \in \mathbb {N}}\left|\lambda_{n}\right| < \infty$ . Определим оператор умножения

M_{\lambda }: \ell ^{p} \rightarrow \ell ^{p}, M_{\lambda }(x) = \left(\lambda _{1} x_{1}, \lambda _{2} x_{2}, \ldots \right), x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in \ell ^{p}.

Докажите, что:

?

(a)

$M_{\lambda }$ непрерывен и $\left\| M_{\lambda }\right\| = \sup_{n \in \mathbb {N}}\left|\lambda_{n}\right|$ .

(b)

$M_{\lambda }$ является компактным оператором тогда и только тогда, когда $\lambda \in c_{0}$ .

Задача 102

Рассмотрим линейный оператор, определённый по формуле

T: \ell ^{2} \rightarrow \ell ^{2}, \quad x = \left(\xi _{1}, \xi _{2}, \xi _{3}, \ldots \right) \mapsto T x = \left(\frac{\xi _{1}}{1}, \frac{\xi _{2}}{2}, \frac{\xi _{3}}{3}, \ldots \right).

Покажите, что $T$ компактен.

?

Задача 103

Пусть $\left(c_{j}\right)_{j = 1}^{\infty }$ — последовательность комплексных чисел. Определим оператор $D$ на $\ell^{2}$ по формуле

D x = \left(c_{1} x_{1}, c_{2} x_{2}, \ldots \right), x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in \ell ^{2}.

Докажите, что $D$ компактен тогда и только тогда, когда $\lim_{j \rightarrow \infty } c_{j} = 0$ .

?

Задача 104

Пусть $g \in C[0,1]$ — фиксированная функция. Рассмотрим оператор $A \in \mathcal{B}(C[0,1])$ , определённый по формуле

(A u)(s): = g(s) u(s),

то есть оператор умножения на $g$ . Является ли этот оператор компактным?

?

Задача 105

(a)(b)(c)

Пусть $k \in L^{2}([0,1] \times [0,1])$ . Определим оператор $A: L^{2}([0,1]) \rightarrow L^{2}([0,1])$ по формуле

(A f)(x) = \int _{0}^{1} k(x, y) f(y) d y

?

(a)

Покажите, что $A$ ограничен.

(b)

При каком условии на $k$ оператор $A$ самосопряжён?

(c)

Покажите, что $A$ компактен.

Задача 106

Часть I

Рассмотрим оператор

U: C[0,1] \rightarrow C[0,1] \text{ заданный формулой }(U f)(x) = \int _{0}^{x} e^{t} f(t) d t, x \in [0,1]

и последовательность операторов

U_{n}: C[0,1] \rightarrow C[0,1] \text{ заданный формулой }\left(U_{n} f\right)(x) = \int _{0}^{x}\left(\sum _{k = 0}^{n} \frac{t^{k}}{k!}\right) f(t) d t, x \in [0,1].

Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\| U_{n}-U\right\| = 0$ .

Часть II 1. Пусть $M$ — множество $C^{1}$ -функций $f$ на $[0,1]$ . Докажите, что $M$ относительно компактно в $C[0,1]$ , если $f$ удовлетворяет следующим условиям

\left|f(0)\right| \leq k_{1} \quad \text{ and } \quad \int _{0}^{1}\left|f^{\prime }(x)\right|^{2} d x \leq k_{2}

где $k_{1}, k_{2}$ — положительные константы. (Указание: используйте теорему Арцела-Асколи). 2. Покажите, что оператор $U$ из части I компактен.

?

Задача 107

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство, а $A$ — компактный оператор на $X$ . Докажите, что существует $y \in X$ , такой что уравнение $A(x) = y$ не имеет решения, т.е. $A$ не сюръективен.

(b)

Пусть $1 \leq p < \infty$ , и оператор

U: \ell ^{p} \rightarrow \ell ^{p}, U(x) = \left(x_{1}, \frac{x_{2}}{2}, \frac{x_{3}}{3}, \ldots \right), x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in \ell ^{p}

Найдите элемент $y \in \ell^{p}$ , для которого уравнение $U(x) = y$ не имеет решения.

(c)

Рассмотрим оператор

A: c_{00} \rightarrow c_{00} \quad \text{ заданный формулой } A(x) = A\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(x_{1}, \frac{x_{2}}{2}, \frac{x_{3}}{3}, \ldots \right).

Докажите, что $A$ компактен и биективен. На $c_{00}$ рассматривается $\ell^{\infty }$ -норма.

Компактные операторы