Банк задач по математике

Задача 108

Пусть $X$ — банахово пространство. Предположим, что $A \in \mathcal{B}(X)$ — обратимый оператор. Покажите, что

\sigma \left(A^{-1}\right) = \left\{ \lambda ^{-1}: \lambda \neq 0, \lambda \in \sigma (A)\right\} .

?

Задача 109

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$ и $\lambda \in \mathbb {C}$ . Предположим, что существует последовательность $(x_{n})$ в $X$ , такая что

\left\| x_{n}\right\| = 1, \forall n \in \mathbb {N} \text{ and } A x_{n}-\lambda x_{n} \rightarrow 0 \text{ as } n \rightarrow \infty .

Докажите, что $\lambda \in \sigma (A)$ .

?

Задача 110

(a)(b)

Пусть $(a_{n})$ и $(b_{n})$ — комплексные последовательности, такие что

\left|a_{n-1}\right| > \left|a_{n}\right| \xrightarrow {(n \rightarrow \infty )} 0 \text{ and }\left|b_{n-1}\right| > \left|b_{n}\right| \xrightarrow {(n \rightarrow \infty )} 0.

Рассмотрим оператор $T: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}$ , определённый формулой

T x = \left(a_{1} x_{1}, a_{2} x_{2}+b_{1} x_{1}, a_{3} x_{3}+b_{2} x_{2}, \ldots \right), \quad x = \left(x_{j}\right) \in \ell ^{2}.

?

(a)

Покажите, что $T$ компактен.

(b)

Найдите все собственные значения и собственные векторы $T$ .

Задача 111

Пусть $X$ — банахово пространство и $A \in \mathcal{B}(X)$ , такой что $A^{n} = 0$ при некотором $n \in \mathbb {N}$ ( $A$ нильпотентен). Найдите $\sigma (A)$ .

?

Задача 112

Пусть $P \in \mathcal{B}(X)$ — проекция, т.е. линейный оператор на $X$ , такой что $P^{2} = P$ . Постройте резольвенту $R(P ; \lambda )$ оператора $P$

?

Задача 113

Пусть $C_{\mathbb {R}}$ — пространство всех непрерывных и ограниченных функций $x(t)$ на $\mathbb {R}$ с нормой $\left\| x\right\| = \sup_{\mathbb {R}}\left|x(t)\right|$ . На пространстве $C_{\mathbb {R}}$ определим оператор $A$ формулой

(A x)(t) = x(t+c)

где $c \in \mathbb {R}$ — константа. Докажите, что

\sigma (A) = \left\{ \lambda \in \mathbb {C}:\left|\lambda \right| = 1\right\}

?

Задача 114

(a)(b)

?

(a)

Пусть $H$ — гильбертово пространство и $a, b \in H$ . Рассмотрим оператор ранга один

U: H \rightarrow H, \quad U(x) = \langle x, a\rangle b, x \in H.

Вычислите $\left\| U\right\|$ и спектральный радиус $r(U)$ . Покажите, что

r(U) = \left\| U\right\| \Leftrightarrow a, b \text{ are linearly independent. }

(b)

Пусть $X$ — банахово пространство, $x^{*} \in X^{*}$ и $y \in X$ . Рассмотрим оператор ранга один

V: X \rightarrow X, \quad V(x) = x^{*}(x) y, x \in X.

Вычислите $\left\| V\right\|$ и спектральный радиус $r(V)$ . Покажите, что

r(V) = \left\| V\right\| \Leftrightarrow \left|x^{*}(y)\right| = \left\| x^{*}\right\| \left\| y\right\| .

Задача 115

Пусть $k \in C([0,1] \times [0,1])$ — заданная функция. Рассмотрим оператор

B \in \mathcal{B}(C[0,1]) \quad \text{ заданный формулой }(B u)(s) = \int _{0}^{s} k(s, t) u(t) d t

Найдите $\sigma (B)$ и $r(B)$ .

?

Задача 116

Пусть $X$ — банахово пространство и $A, B \in \mathcal{B}(X)$ . Предположим, что $A B = B A$ . Докажите, что

r(A+B) \leq r(A)+r(B),

где $r(T)$ — спектральный радиус оператора $T \in \mathcal{B}(X)$ .

?

Задача 117

Пусть $K \subset \mathbb {C}$ — произвольное непустое компактное множество. Постройте оператор $B \in \mathcal{B}\left(\ell^{p}\right), 1 \leq p \leq \infty$ , такой что $\sigma (B) = K$ .

?

Задача 118

Пусть $g \in C[0,1]$ — фиксированная функция, а $A \in \mathcal{B}(C[0,1])$ определён формулой

(A f)(t) = g(t) f(t), t \in [0,1].

Найдите $\sigma (A)$ и эффективно постройте резольвенту $R(A ; \lambda )$ . Найдите собственные значения и собственные векторы $A$ .

?

Задача 119

Пусть $X$ — банахово пространство и $A, B \in \mathcal{B}(X)$ . Покажите, что для любого $\lambda \in \rho (A) \cap \rho (B)$

R(B ; \lambda )-R(A ; \lambda ) = R(B ; \lambda )(A-B) R(A ; \lambda )

?

Задача 120

Пусть $k \in C([0,1] \times [0,1])$ задана. Рассмотрим оператор $B \in \mathcal{B}(C[0,1])$ , определённый формулой

(B u)(s) = \int _{0}^{s} k(s, t) u(t) d t

Найдите спектральный радиус $B$ . Каков спектр $B$ ? (Указание: докажите по индукции, что

\left|\left(B^{n} u\right)(s)\right| \leq \frac{M^{n}}{n!} s^{n}\left\| u\right\| _{\infty }, \forall n \in \mathbb {N},

для некоторой константы $M > 0$ ).

?

Задача 121

Определите спектры операторов левого и правого сдвига на $\ell^{2}$ :

\begin{aligned} & R\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \right) = \left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \\ & L\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \right) = \left(x_{2}, x_{3}, x_{4}, \ldots \right). \end{aligned}

Классифицируйте их по точечному, непрерывному и остаточному спектру.

?

Ограниченные операторы в банаховых пространствах и их спектры