Банк задач по математике

Задача 122

(a)(b)

Пусть $T \in \mathcal{B}(X)$ — компактный оператор на банаховом пространстве $X$ . Предположим, что $\operatorname {dim} X = \infty$ . Покажите, что

?

(a)

$\operatorname {dim} \operatorname {ker}\left(T_{\lambda }^{n}\right) < \infty \quad \forall n \in \mathbb {N}$ ,

(b)

$\left\{ 0\right\} = \operatorname {ker}\left(T_{\lambda }^{0}\right) \subset \operatorname {ker}\left(T_{\lambda }^{1}\right) \subset \operatorname {ker}\left(T_{\lambda }^{2}\right) \subset \ldots$

Задача 123

Пусть $T \in \mathcal{B}(X)$ — компактный оператор на банаховом пространстве $X$ . Предположим, что $\operatorname {dim} X = \infty$ . Покажите, что

0 \in \sigma (T).

?

Задача 124

Пусть $T: X \rightarrow X$ — компактный оператор на нормированном пространстве $X$ и пусть $\lambda \neq 0$ . Тогда существует наименьшее целое число $r$ (зависящее от $\lambda$ ), такое что начиная с $n = r$ , ядра $\operatorname {ker}\left(T_{\lambda }^{n}\right)$ равны, и если $r > 0$ , включения

\operatorname {ker}\left(T_{\lambda }^{0}\right) \subset \operatorname {ker}\left(T_{\lambda }^{1}\right) \subset \ldots \subset \operatorname {ker}\left(T_{\lambda }^{r}\right)

все строгие.

?

Задача 125

Пусть $T: X \rightarrow X$ — компактный оператор на банаховом пространстве $X$ и пусть $\lambda \neq 0$ . Тогда существует наименьшее целое число $q$ (зависящее от $\lambda$ ), такое что начиная с $n = q$ , образы $T_{\lambda }^{n}(X)$ равны, и если $q > 0$ , включения

T_{\lambda }^{0}(X) \supset T_{\lambda }^{1}(X) \supset \ldots \supset T_{\lambda }^{q}(X)

все строгие.

?

Задача 126

(a)(b)

Пусть $A$ — обратимый оператор, а $K$ — компактный оператор в банаховом пространстве. Докажите, что

?

(a)

$\operatorname {dim}(\operatorname {ker}(A+K)) < \infty$ .

(b)

$\operatorname {codim}(\operatorname {Image}(A+K)) < \infty$ .

Задача 127

(a)(b)

Рассмотрим оператор $K: L^{2}([0,1]) \rightarrow L^{2}([0,1])$ , определённый формулой

(K f)(t) = \int _{0}^{1} k(t, s) f(s) d s

где $k(s, t) = \min \left\{ t, s: t, s \in [0,1]\right\}$ .

?

(a)

Докажите, что $K$ — компактный самосопряжённый оператор.

(b)

Найдите спектр $\sigma (K)$ и норму $\left\| K\right\|$ .

Задача 128

(a)(b)(c)

(Похожая задача) Рассмотрим оператор $K: L^{2}([0,1]) \rightarrow L^{2}([0,1])$ , определённый формулой

(K f)(t) = \int _{0}^{1} k(t, s) f(s) d s

где $k(s, t) = \max \left\{ t, s: t, s \in [0,1]\right\}$ .

?

(a)

Докажите, что $K$ — компактный самосопряжённый оператор.

(b)

Найдите спектр $\sigma (K)$ и норму $\left\| K\right\|$ .

(c)

Является ли $K$ положительным оператором?

Задача 129

(a)(b)

Пусть $S$ — оператор, определённый на $C[0,1]$ формулой

(S f)(x) = \int _{0}^{x} f(y) d y

?

(a)

Вычислите спектр $S$ .

(b)

Покажите, что $S$ компактен.

Задача 130

(a)(b)

Положим

(T f)(x) = \int _{0}^{1-x} f(y) d y, \quad f \in C[0,1], x \in [0,1]

?

(a)

Докажите, что $T$ — линейный ограниченный и компактный оператор на $C[0,1]$ .

(b)

Вычислите $\sigma (T)$ и собственные значения $T$ .

Задача 131

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $H$ и $\left(\lambda_{n}\right)$ — последовательность комплексных чисел. Предположим, что существует вложенная последовательность различных подпространств $\left(M_{n}\right)$ , такая что для всех $n \in \mathbb {N}$

\begin{array}{ll} \text{ (i) } & M_{n} \subsetneq M_{n+1} \\ \text{ (ii) } & \left(T-\lambda _{n} I\right) M_{n+1} \subset M_{n} \text{. } \end{array}

Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } \lambda_{n} = 0$ .

?

Задача 132

Пусть $T$ — компактный оператор на гильбертовом пространстве $H$ и произвольное $C > 0$ . Докажите, что существует конечное число линейно независимых собственных векторов $x_{1}, \ldots , x_{n}$ оператора $T$ , соответствующих собственным значениям $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ , таких что $\lambda_{i} > C$ для всех $i = 1, \ldots , n$ .

?

Компактные операторы и их спектры