Теория Лебега

Если $f \geq 0$ и $\int_{E} f d \mu = 0$, докажите, что $f(x) = 0$ почти всюду на $E$. Указание: Пусть $E_{n}$ — подмножество $E$, на котором $f(x) > 1 / n$. Запишем $A = \bigcup E_{n}$. Тогда $\mu (A) = 0$ тогда и только тогда, когда $\mu \left(E_{n}\right) = 0$ для каждого $n$.

Если $\int_{\Lambda } f d \mu = 0$ для каждого измеримого подмножества $A$ измеримого множества $E$, то $f(x) = 0$ почти всюду на $E$.

Если $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций, докажите, что множество точек $x$, в которых $\left\{ f_{n}(x)\right\}$ сходится, измеримо.

Если $f \in \mathscr {L}(\mu )$ на $E$ и $g$ ограничена и измерима на $E$, то $f g \in \mathscr {L}(\mu )$ на $E$.

Положим

Покажите, что

но

Пусть

Тогда $f_{n}(x) \rightarrow 0$ равномерно на $R^{1}$, но

(Мы пишем $\int_{-\infty }^{\infty }$ вместо $\int_{R 1}$). Таким образом, равномерная сходимость не влечёт мажорируемой сходимости в смысле теоремы 11.32. Однако на множествах конечной меры равномерно сходящиеся последовательности ограниченных функций всё же удовлетворяют теореме 11.32.

Найдите необходимое и достаточное условие того, что $f \in \mathscr {R}(\alpha )$ на $[a, b]$. Указание: Рассмотрите пример 11.6(b) и теорему 11.33.

Если $f \in \mathscr {R}$ на $[a, b]$ и если $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) d t$, докажите, что $F^{\prime }(x) = f(x)$ почти всюду на $[a, b]$.

Докажите, что функция $F$, заданная формулой (96), непрерывна на $[a, b]$.

Если $\mu (X) < +\infty$ и $f \in \mathscr {L}^{2}(\mu )$ на $X$, докажите, что $f \in \mathscr {L}(\mu )$ на $X$. Если

это неверно. Например, если

то $f \in \mathscr {L}^{2}$ на $R^{1}$, но $f \notin \mathscr {L}$ на $R^{1}$.

Если $f, g \in \mathscr {L}(\mu )$ на $X$, определим расстояние между $f$ и $g$ как

Докажите, что $\mathscr {L}(\mu )$ — полное метрическое пространство.

Пусть

Рассмотрим функции

как точки $\mathscr {L}^{2}$. Докажите, что множество этих точек замкнуто и ограничено, но не компактно.

Докажите, что комплексная функция $f$ измерима тогда и только тогда, когда $f^{-1}(V)$ измеримо для каждого открытого множества $V$ на плоскости.

Пусть $\mathscr {R}$ — кольцо всех элементарных подмножеств $(0,1]$. Если $0 < a \leq b \leq 1$, определим

но определим

если $0 < b \leq 1$. Покажите, что это задаёт аддитивную функцию множества $\phi$ на $\mathscr {R}$, которая не регулярна и не может быть продолжена до счётно-аддитивной функции множества на $\sigma$-кольце.

Пусть $\left\{ n_{k}\right\}$ — возрастающая последовательность натуральных чисел, и пусть $E$ — множество всех $x \in (-\pi , \pi )$, при которых $\left\{ \sin n_{k} x\right\}$ сходится. Докажите, что $m(E) = 0$. Указание: Для каждого $A \subset E$

и

Пусть $E \subset (-\pi , \pi ), m(E) > 0, \delta > 0$. Используйте неравенство Бесселя, чтобы доказать, что существует лишь конечное число целых чисел $n$ таких, что $\sin n x \geq \delta$ при всех $x \in E$.

Пусть $f \in \mathscr {L}^{2}(\mu ), g \in \mathscr {L}^{2}(\mu )$. Докажите, что

тогда и только тогда, когда существует константа $c$ такая, что $g(x) = c f(x)$ почти всюду. (Сравните с теоремой 11.35).